1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点考点 1 13 3平面向量数量积平面向量数量积 玩前必备 1两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，AOB(0180)叫作向量 a 与 b 的夹角，记作当0时，a 与 b 同向；当180时，a 与 b 反向；当90时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 ab. 2平面向量的数量积 已知两个向量a和b， 它们的夹角为， 我们把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)， 记作ab， 即ab|a|b|cos . 3平面向量数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影|b|cos 的乘积或 b
2、的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影|a|cos 的乘积 注意：b 在 a 方向上的投影为|b|cos ab |a| ，而 a 在 b 方向上的投影为|a|cos ab |b| ，投影是一个数量，它可 以为正，可以为负，也可以为 0. 4平面向量数量积的重要性质 (1) abab0； (2)当 a 和 b 同向时，ab|a|b|；当 a 和 b 反向时，ab|a|b|；特别地，aa |a|2，|a| aa； (3)cos ab |a|b|； 5平面向量数量积的坐标运算 设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)， (1) abx1x2y1y2，(2) |a|2x12y12或
3、|a| x12y12.(3) abx1x2y1y20. (4) cos x1x2y1y2 x12y12 x22y22 玩转典例 题型题型一一平面向量数量积的计算平面向量数量积的计算 例例 1（2020兖州区模拟）等腰直角三角形ABC中， 2 ACB ，2ACBC，点P是斜边AB上一点， 且2BPPA，那么(CP CACP CB ) A4B2C2D4 【解答】解：直角三角形ABC中， 2 ACB ，2ACBC，点P是斜边AB上一点，且2BPPA 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 如图所示： 121 333 CPCAABCACB ， 22 22 212121 () ()2204 333333 CP
4、 CACP CBCACBCACBCACBCA CB ， 故选：D 例例 2（2019新课标）已知(2,3)AB ，(3, )ACt ，| 1BC ，则(AB BC ) A3B2C2D3 【答案】C 【解析】(2,3)AB ，(3, )ACt ，(1,3)BCACABt ， | 1BC ，30t 即(1,0)BC ，则2AB BC 故选：C 玩转跟踪 1.（2018新课标）已知向量a ，b 满足| 1a ，1a b ，则(2)(aab ) A4B3C2D0 【答案】B 【解析】向量a ，b 满足| 1a ，1a b ，则 2 (2)2213aabaa b ，故选：B 2.（2020上海）三角形A
5、BC中，D是BC中点，2AB ，3BC ，4AC ，则AD AB 【答案】 19 4 【解析】在ABC中，2AB ，3BC ，4AC ， 由余弦定理得， 222 416911 cos 222416 ABACBC BAC AB AC ， 1111 24 162 AB AC ，且D是BC的中点， 1 () 2 AD ABABACAB 21 () 2 ABAB AC 111 (4) 22 19 4 3.（2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中60BAD ，E 为CD中点， 则AE BD 、 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 【答案】1 【解析】将表示为，然
6、后利用向量的运算法则及数量积的定义即可求解 在菱形 ABCD 中，60BAD ，所以三角形 ABD 是正三角形，从而 ()AE BDADDEBD AD BD DE BD 故答案为 1 题型二题型二利用数量积求模长利用数量积求模长 例例 3（2020香坊区模拟）已知单位向量, a b 的夹角为，且 1 tan 2 ，若向量53mab ，则| (m ) A2B3C26D2或26 【解答】解： 1 tan 2 ，0，为锐角， 2 5 cos 5 ，且| | 1ab ， 22 2 5 ( 53 )596 5146 5 1 12 5 maba b ， |2m 故选：A 例例 4（2020江西省南昌市第十
7、中学校高三模拟（理） ）设, x yR，向量( ,1),ax (2, ),by ( 2,2)c ， 且ac ，/ /bc ，则ab _. 【答案】 10 【解析】a c 220 x 1x(1,1)a ， / /bc 420y2y (2, 2)b (3, 1)ab |ab 22 3110 。 玩转跟踪 1.（2020全国 1 卷）设, a b为单位向量，且| 1ab ，则|ab _. 【答案】 3 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 【解析】整理已知可得： 2 abab ，再利用, a b 为单位向量即可求得2 1a b ，对ab rr 变形 可得： 22 2abaa bb ，问题得解. 【详解】
8、因为, a b 为单位向量，所以1ab rr 所以 222 2221ababaa bba b 解得：2 1a b ,所以 222 23ababaa bb ,故答案为： 3 2.（2020北京卷）已知正方形ABCD的边长为 2，点P满足 1 () 2 APABAC ，则|PD _； PB PD _ 【答案】(1). 5 (2).1 【解析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标， 利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD 的值. 【详解】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点0,0A、2
9、,0B、2,2C、0,2D， 111 2,02,22,1 222 APABAC ， 则点2,1P，2,1PD ，0, 1PB ， 因此， 2 2 215PD ，021 ( 1)1PB PD .故答案为： 5；1. 题型题型三三利用数量积求夹角利用数量积求夹角 例例 5（2020临汾模拟）已知夹角为的向量a ，b 满足()2a ab ，且| 2| 2ab ，则向量a ，b 的关 系是() A互相垂直B方向相同C方向相反D成120角 【解答】解：由()2a ab ，可得 2 2aa b ，即 2 | cos2aab ， 即 2 22 1 cos2 ，所以cos1 ，即，所以a 、b 方向相反故选：
10、C 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 例例 6 （2020江西省南昌市新建二中高三二模 （理） ） 已知向量a ，b 满足1a ，1, 3b ， 若2aab ， 则a 与b 的夹角为_. 【答案】120 【解析】由2aab 知， 2 2aa b ，又1a ，即 2 1a 则 1a b ，所以 11 cos, 1 22 a b a b ab ，故夹角为120， 故答案为：120. 玩转跟踪 1.（2020全国 3 卷）已知向量a a，b b满足| 5a ，| 6b ，6a b ，则cos ,=a ab （） A. 31 35 B. 19 35 C. 17 35 D. 19 35 【答案】D 【解
11、析】计算出aab 、ab 的值，利用平面向量数量积可计算出cos, a ab 的值. 【详解】5a ，6b ， 6a b ， 2 2 5619aabaa b . 2 22 2252 6367ababaa bb ， 因此， 1919 cos, 5 735 aab a ab aab .故选：D. 2.（2020山东高三下学期开学）已知向量(4, 3),( 1,2)ab ，, a b 的夹角为，则sin_. 【答案】 5 5 【解析】依题意0,，所以 2 102 55 cos,sin1 cos 55|55 a b a b . 故答案为： 5 5 题型题型四四利用数量积求解垂直问题利用数量积求解垂直问
12、题 例例 7（2020河南省鹤壁市高级中学高三二模）已知非零向量a ，b 满足|ab |=|，则“ 22abab ”是 “ab ”的（） 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解: 【答案】C 【解析】 22 2222 |22224444ababababaa bbaa bb =， | | 0ab ，等价于0a bab ，故选 C。 例例 8（2020吉林省高三二模（理） ）已知(1,3),(2,2),( , 1)abcn ，若()acb ，则n等于（） A3B4C5D6 【答案】C 【解析】由题可知(1,4)acn ，因为()acb
13、，所以有122 40n ，得5n 。 玩转跟踪 1.（2020全国 2 卷）已知单位向量a ,b 的夹角为 45，k a b 与a 垂直，则k=_. 【答案】 2 2 【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值. 【详解】由题意可得： 2 1 1 cos45 2 a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a ba ， 即： 2 2 0 2 kaa bk ，解得： 2 2 k .故答案为： 2 2 2.（2020 届山东省淄博市高三二模）已知向量a =（4，3） ，b =（6，m） ，且ab ，则 m=_. 【答案】8. 【解析】向量4,36,abmab
14、（）， （），则04 6308a bmm ， . 题型题型五五利用数量积求射影利用数量积求射影 例例 9 9(湖北，7)已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为() A. 3 2 2 B. 3 15 2 C3 2 2 D3 15 2 答案A 解析由已知得AB (2，1)，CD (5，5)，因此AB 在CD 方向上的投影为 AB CD |CD | 15 5 2 3 2 2 . 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转跟踪 1.（2020天水市第一中学高三月考（文） ）已知 12 , e e 为单位向量且夹角为 3 ，设 12a ee ， 2
15、b e ，a 在b 方向上的投影为_ 【答案】 3 2 【解析】由题可知 1,b 故，a 在b 方向上的投影为 即答案为 3 2 . 玩转练习 1.（2020新建区校级模拟）如图，在ABC中，,3,| 2ADAB DCBD AD ，则AC AD 的值为() A3B8C12D16 【解答】解：在ABC中，,3,| 2ADAB DCBD AD ， ()AC ADABBCAD (4)ABBD AD 4()ABADABAD ( 34)ABAD AD 2 34AB ADAD 2 04216；故选：D 2.（2020内蒙古模拟）已知向量(1,2)ab ，( 3,0)ab ，则(a b ) A1B1C3D3
16、 【解答】解：因为(1,2)ab ，( 3,0)ab ， 2( 2a ，2)( 1,1)a ；2(4b ，2)(2,1)b ； ( 1)21 11a b ；故选：B 3 （2020随州模拟）已知向量a ，b 满足| | 2aab ，向量b 在向量a 方向上的投影为 3，则向量a 与 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 向量b 的夹角为() A30B45C60D90 【解答】解：向量a ，b 满足| | 2aab ，向量b 在向量a 方向上的投影为 3， 设向量a 与向量b 的夹角为，则 222 24aaa bb ，| cos3b ， | 2 3b ，2 3cos3， 3 cos 2 ，30，故选
17、：A 4（2020湘潭一模） 在平行四边形ABCD中，60BAD，3ABAD，E为线段CD的中点， 若6AE AB ， 则(AC BD ) A4B6C8D9 【解答】解：如图，设ADa； 由题得： 2 2 111 ()3cos60(3 )6 222 AE ABADAB ABAD ABABaaa ， 1a（负值舍） ； 22 22 () ()138AC BDABADADABADAB ；故选：C 5 （2020齐齐哈尔一模）已知两个单位向量a ，b 的夹角为120，(1)ctatb 若1a c 则实数t的 值为() A1B1C2D2 【解答】解：两个单位向量a ，b 的夹角为120， 1 2 a
18、b ， 2 1a ，又(1)ctatb ，1a c ， 2 1 (1) (1)(1)1 2 a tatbtata btt ，解得1t 故选：A 6.（2020福州一模）已知两个单位向量 12 ,e e ，若 121 (2)eee ，则 12 ,e e 的夹角为() A 2 3 B 3 C 4 D 6 【解答】解：由题意得，两个单位向量 12 ,e e ， 因为 121 (2)eee ，所以 121 (2)0eee ，所以 2 112 21ee e ，所以 1 cose ， 12 2 12 1 2| e e e ee ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 又因为 1 e ， 2 0e ，所以 1
19、 e ， 2 3 e ，故选：B 7.（2020湖南省长沙市明达中学高三二模（理）已知向量a 和b 的夹角为 3 ，且2,3ab ，则 (2)(2 )ab ab （） A10B7 C4D1 【答案】D 【解析】 22abab 22 23 2aa bb 8+3cos 3 a b 188+323 1 2 181， 故选 D。 8 （2020江西省名高三第二次大联考（理） ）若1a ，2b ，则ab 的取值范围是（） A1,9B 1,9C1,3D1,3 【答案】C 【解析】设向量a ，b 的夹角为，因为1a ，2b ， 2 22 254cos1,9abaa bb ，则 2 1,3abab 。 9 （
20、2020黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理） ）已知在边长为 3 的等边ABC中， 1 2 BDDC ，则 AD AC （） A6B9C12D6 【答案】A 【解析】 1 ()() 3 AD ACABACBDABABCC 1 3 AB ACBACC 1 | |cos| |cos 3 ABACAACCBC 111 3 33 36 232 。 10 （2020河南省实验中学高三二测（理） ）若| 3a ，| 2b ，237ab ，则a 与 b 的夹角为 _. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 【答案】 3 【解析】设a 与b 的夹角为，则 222 |2 |4494 3 2 cos4 437abaa
21、bb ，得 1 cos 2 ，所以 3 。 11 （2020北京市西城区高三一模）若向量 2 21axbx ， ，满足 3a b ，则实数x的取值范围是 _. 【答案】3,1 【解析】 2 21axbx ， ，故 2 23a bxx ，解得31x ，故答案为3,1。 12（2020四川省成都市树德中学高三二诊 （理） ） 已知向量AB = （1， 2） ，AC = （-3， 1） ， 则AB BC =_ 【答案】-6 【解析】AB =（1，2） ，AC =（-3，1） ，BC ACAB =（-4，-1） ， 则AB BC =1（-4）+2（-1）=-6。 13 （2020广西师大附属外国语学校
22、高三一模（理） ）已知, a b 为两个单位向量，且向量a b 与b 垂直， 则23ab =_ 【答案】5 【解析】由题：向量a b 与b 垂直，0abb ，解得 1a b ， 所以 2 22 232341295ababaa bb 。 14 （2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理） ）设, x yR，向量( ,1),ax (2, ),by ( 2,2)c ， 且ac ，/ /bc ，则ab _. 【答案】 10 【解析】a c 220 x 1x(1,1)a ， / /bc 420y2y (2, 2)b (3, 1)ab |ab 22 3110 。 15.（2020福建省泉州市高三质检（理） ）已知向量,2ax ，2,1b ，且 /a b ，则a _ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 【答案】2 5 【解析】由 /ab rr 得，12 20 x ，即4x ，所以 22 |42202 5a 。
