1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 23二项分布和正态分布 玩前必备 1独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试 验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的 (2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk) Cknpk(1p)n k(k0,1,2，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 XB(n
2、，p)，并称 p 为成功 概率 2两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p) (2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p) 3正态分布 (1)正态曲线：函数，(x) 2 2 () 2 1 e 2 x u ，x(，)，其中实数和为参数(0，R)我们称函数 ，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线 (2)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 x对称； 曲线在 x处达到峰值 1 2； 曲线与 x 轴之间的面积为 1； 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿 x
3、轴平移，如图甲所示； 当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮 胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示 (3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量 X 满足 P(aXb)ba，(x)dx，则称随机变量 X 服从正态 分布，记作 XN(，2) 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 P(X)0.682 6； P(2X2)0.954 4； P(3X3)0.997 4. 玩转典例
4、 题型题型一一二项分布二项分布 例例 1（湖南高考）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个 红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都 是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖 （1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； （2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望 【解析】（）记事件 1 A=从甲箱中摸出的 1 个球是红球， 2 A=从乙箱中摸出的 1 个球是红球， 1 B=顾客抽奖 1 次获一等奖，
5、 2 B=顾客抽奖 1 次获二等奖， C=顾客抽奖 1 次能获奖 由题意， 1 A与 2 A相互独立， 12 A A与 12 A A互斥， 1 B与 2 B互斥， 且 1 B= 12 A A， 2 B= 12 A A+ 12 A A，C= 1 B+ 2 B因P( 1 A)= 4 10 = 2 5 ，P( 2 A)= 5 10 = 1 2 ， 所以P( 1 B)=P( 12 A A)=P( 1 A)P( 2 A)= 2 5 1 2 = 1 5 ， P( 2 B)=P( 12 A A+ 12 A A)=P( 12 A A)+P( 12 A A) =P( 1 A) (1-P( 2 A)+(1-P(
6、1 A)P( 2 A)= 2 5 (1- 1 2 )+(1- 2 5 ) 1 2 = 1 2 ， 故所求概率为P(C)=P( 1 B+ 2 B)=P( 1 B)+P( 2 B)= 1 5 + 1 2 = 7 10 . （）顾客抽奖 3 次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 1 5 ， 所以 1 (3, ) 5 XB于是P(X=0)= 003 3 14 ( ) ( ) 55 C= 64 125 ， P(X=1)= 112 3 14 ( ) ( ) 55 C= 48 125 ， P(X=2)= 221 3 14 ( ) ( ) 55 C= 12 125 ，P(X=3)= 3
7、30 3 14 ( ) ( ) 55 C= 1 125 故X的分布列为 X0123 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 P 64 125 48 125 12 125 1 125 X的数学期望为E(X)=3 1 5 = 3 5 例例 2(广东高考)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，若 E(X)30，D(X)20，则 p_. 答案 1 3 解析依题意可得 E(X)np30，且 D(X)np(1p)20，解得 p1 3. 玩转跟踪 1.为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随
8、机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在 高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过 100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人 (1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶 员和 1 名女性驾驶员的概率； (2)以上述样本数据估计总体， 从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆， 记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h 且
9、为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的分布列 解(1)平均车速不超过 100 km/h 的驾驶员有 40 人，从中随机抽取 2 人的方法总数为 C240，记“这 2 人恰好 有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员”为事件 A， 则事件 A 所包含的基本事件数为 C115C125， 所以所求的概率 P(A)C 1 15C125 C240 1525 2039 25 52. (2)根据样本估计总体的思想， 从总体中任取 1 辆车， 平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的概率为 40 100 2 5，故 XB 3，2 5 .X 的可能取值为 0,1,2,3， 则 P(X0)C03 2 5 0
10、 3 5 327 125，P(X1)C 1 32 5 3 5 254 125， P(X2)C23 2 5 23 5 36 125，P(X3)C 3 3 2 5 3 3 5 0 8 125. 所以 X 的分布列为 X0123 P 27 125 54 125 36 125 8 125 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 2.(2019天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为2 3.假定甲、乙两位同学到校 情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立 (1)用 X
11、表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； (2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰 好多 2”，求事件 M 发生的概率 解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为2 3，故 X B 3，2 3 ，从而 P(Xk)Ck3 2 3 k 1 3 3k，k0,1,2,3. 所以随机变量 X 的分布列为 X0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量 X 的数学期望 E(X)32 32. (2)设乙同学上学期间的三天中 7：
12、30 之前到校的天数为 Y，则 YB 3，2 3 ，且 MX3，Y1X2， Y0 由题意知事件X3，Y1与X2，Y0互斥，且事件X3与Y1，事件X2与Y0均相互独 立， 从而由(1)知 P(M)P(X3，Y1X2，Y0)P(X3，Y1)P(X2，Y0)P(X3)P(Y1) P(X2)P(Y0) 8 27 2 9 4 9 1 27 20 243. 题型题型二二 正态分布正态分布 例例 3（2014新课标）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测 量结果得如下频率分布直方图： （）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差 2 s（同一组中数据用该组
13、区间的中点值作代 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 表）； （）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 2 ( ,)N ，其中近似为样本平均数x， 2 近似为样本方差 2 s ( ) i利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ； ( )ii某用户从该企业购买了 100 件这种产品， 记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的 产品件数，利用( ) i的结果，求EX 附：15012.2 若 2 ( ,)ZN 则()0.6826PZ，(22
14、 )0.9544PZ 解：（）抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差 2 s分别为： 1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200 x ， 2222222 ( 30)0.02( 20)0.09( 10)0.220 0.33 100.24200.08300.02150s （）( ) i由（）知(200,150)ZN， 从而(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826PZPZ； ( )ii由( ) i知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826， 依题意知(100,0.682
15、6)XB，所以1000.682668.26EX 例例 4（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0N， 2 3 )，从中随机抽取一件， 其长度误差落在区间(3,6)内的概率为() （ 附 ： 若 随 机 变 量服 从 正 态 分 布 2 ( ,)N ， 则()68.26%P， (22 )95.44%)P A4.56%B13.59%C27.18%D31.74% 【答案】B 【解析】由题意( 33)68.26%P ，( 66)95.44%P ， 所以 1 (36)(95.44%68.26%)13.59% 2 P 玩转跟踪 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数
16、学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 1（2017 新课标）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸 服从正态分布 2 ( ,)N (1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件数，求 (1)P X 及X的数学期望； (2)一天内抽检零件中， 如果出现了尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件， 就认为这条生产线在这一天的生产 过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程
17、进行检查 ()试说明上述监控生产过程方法的合理性； ()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 995101299699610019929981004 10269911013100292210041005995 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx ， 1616 222 11 11 ()(16) 1616 ii ii sxxxx 0.212，其中 i x为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，16 用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的 生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到 001) 附：若随机变量Z
18、服从正态分布 2 ( ,)N ，则(33 )PZ=0997 4， 16 0.99740.9592， 0.0080.09 【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3 ,3 ) 之内的概率为 09974，从而零件的尺寸在 (3 ,3 ) 之外的概率为 00026，故 (16,0.0026)X B因此 (1)1(0)1 0.99740.0408P XP X X的数学期望为16 0.00260.0416EX （2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3 ,3 ) 之外的概率只有 00026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件的概率只有 00408，发生的概率很小因此一
19、旦发 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进 行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 （ii）由9.97x ，0.212s ，得的估计值为9.97，的估计值为 0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 (3 ,3 ) 之外，因此需对当天的生产过程进 行检查剔除 (3 ,3 ) 之外的数据 922，剩下数据的平均数为 1 (16 9.979.22)10.02 15 ， 因此的估计值为 100
20、2 16 222 1 16 0.21216 9.971591.134 i i x ， 剔除 (3 ,3 ) 之外的数据 922，剩下数据的样本方差为 22 1 (1591.1349.2215 10.02 )0.008 15 ，因此的估计值为0.0080.09 2.(2020开封模拟)某商场经营的某种包装的大米质量(单位：kg)服从正态分布 N(10，2)，根据检测结果可 知 P(9.910.1)0.96， 某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利， 若该公司有 1 000 名职工， 则分发到的大米质量在 9.9 kg 以下的职工数大约为() A10B20 C20D40 解析：选 B由已知
21、得 P(9.9)1P9.910.1 2 10.96 2 0.02， 所以分发到的大米质量在 9.9 kg 以下的职工数大约为 1 0000.0220.故选 B. 玩转练习 1.（2017 新课标）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， 表示抽到的二等品件数，则DX= 【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即100,0.02XB，由二项分布的期望公式可 得1100 0.02 0.981.96DXnpp 2.（2016 四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数X的均值是 【解析】
22、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以 在 1 次试验中成功次数的取值为0,1,2，其中 111 (0), (1), (2), 424 PPP 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 在 1 次试验中成功的概率为 113 (1) 424 P， 所以在 2 次试验中成功次数X的概率为 1 2 313 (1) 448 P XC， 2 39 (2)( ) 416 P X ， 393 12 8162 EX 解法 2 由题意知，实验成功的概率 3 4 p ，
23、故 3 (2, ) 4 XB，所以 33 ()2 42 E X 3. （2018 全国卷 1） 某工厂的某种产品成箱包装， 每箱 200 件， 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验， 如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是 否对余下的所有产品作检验， 设每件产品为不合格品的概率都为) 10( pp， 且各件产品是否为不合格品 相互独立 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为)(pf,求)(pf的最大值点 0 p （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 0 p作为p的值已知每件产 品
24、的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 2218 20 ( )C(1)f ppp.因此 218217217 2020 ( )C 2 (1)18(1) 2C(1) (1 10 )fpppppppp. 令( )0fp，得0.1p .当(0,0.1)p时，( )0fp；当(0.1,1)p时，( )0fp. 所以( )f p
25、的最大值点为 0 0.1p . （2）由（1）知，0.1p . （i）令Y表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB:，20 225XY，即 4025XY .所以(4025 )4025490EXEYEY. （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元. 由于400EX ，故应该对余下的产品作检验. 4（2017 天津）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学
26、研讨 的概率分别为 1 1 1 , , 2 3 4 . （）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； （）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率. （）随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,3. 1111 (0)(1) (1) (1) 2344 P X ， 11111111111 (1)(1) (1)(1)(1)(1) (1) 23423423424 P X ， 1111111111 (2)(1)(1)(1) 2342342344 P X ， 1111 (3) 23424 P X . 所以，随机变量X的分布列为 X0123
27、P 1 4 11 24 1 4 1 24 随机变量X的数学期望 1111113 ()0123 42442412 E X . （）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 (1)(0,1)(1,0)(0) (1)(1) (0)P YZP YZP YZP YP ZP YP Z 11111111 42424448 .所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 11 48 . 5. (2016全国)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机 器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足
28、再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内 更换的易损零件数，得下面柱状图： 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器 三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 (1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望
29、值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？ 解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2，0.4,0.2,0.2，X 的可能取值为 16,17,18,19,20,21,22，从而 P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16； P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24； P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08； P(X22)0.20.20.04； 所以 X 的分布列为 X161718
30、19202122 P0.040.160.240.240.20.080.04 (2)由(1)知 P(X18)0.44，P(X19)0.68，故 n 的最小值为 19. (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元) 当 n19 时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(19200 3500)0.044 040(元) 当 n20 时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080(元) 可知当 n19 时所需费用的期望值小于 n20 时所需费用的期望值，故应选 n19. 6(2020
31、江西省五校协作体试题)食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食 品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售已 知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为1 7，第二轮检测不合格的概率为 1 8，第三轮检测合格的概率为 8 9， 每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响 (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利
32、400 元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损 200 元，现 有 4 箱这种蔬菜，求这 4 箱蔬菜总收益的分布列 解：(1)记 Ai(i1,2,3)分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，A 为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销 售”由题设知 P(A1)11 7 6 7，P(A 2)11 8 7 8，P(A 3)8 9， 所以 P(A)1P(A1)P(A2)P(A3)16 7 7 8 8 9 1 3. (2)设这 4 箱蔬菜的总收益为随机变量 X，则 X 的所有可能取值为 1 600,1 000,400，200，800， 且 P(X1 600)C44 2 3 4 1 3 016 81， P(X1
33、000)C34 2 3 3 1 3 32 81，P(X400)C 2 4 2 3 2 1 3 224 81， P(X200)C14 2 3 1 1 3 38 81，P(X800)C 0 4 2 3 0 1 3 41 81. 故 X 的分布列为 X1 6001 000400200800 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 7.(2020河北省九校第二次联考)已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为1 3，某植物研究所分三个小组分 别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立假定某次试验种子发芽则 称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失
34、败的 (1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； (2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为 X，求 X 的分布列及数学期望； (3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失 败的概率 解：(1)该小组恰有两次失败的概率 PC24 1 3 2 2 3 4224 81 8 27. (2)由题意可知 X 的取值集合为0,2,4，则 P(X0)C24 1 3 2 2 3 4224 81 8 27， P(X2)C14 1 3 1 2 3 41C3 4 1 3 3 2 3 43328 81 40 81，P(X4)C 0
35、 4 2 3 4C4 4 1 3 4161 81 17 81. 故 X 的分布列为 X024 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 P 8 27 40 81 17 81 E(X)0 8 272 40 814 17 81 148 81 ，即所求数学期望为148 81 . (3)由题意可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，共有 C3620(个)基本事件，而满足恰有两次连 续失败的基本事件共有 A2412(个)，从而由古典概型可得所求概率 P12 20 3 5. 8.(2020济南市学习质量
36、评估)某医药公司研发生产一种新的保健产品， 从一批产品中随机抽取 200 盒作为样 本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好由测量结果得到如下频率分布直方图： (1)求 a，并试估计这 200 盒产品的该项指标值的平均值 (2)由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布 N(，102)，计算 该批产品该项指标值落在(180,220上的概率； 国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于 150 均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、 优良、优秀三个等级，其中(180,220为优良，不高于 180 为合格，高于 200 为优秀，在的条件下，设该 公司生产
37、该产品 1 万盒的成本为 15 万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表，求该公司每万 盒的平均利润. 等级合格优良优秀 售价102030 附若N(，2)，则 P()0.682 7，P(22)0.954 5. 解：(1)由 10(20.0020.0080.0090.0220.024a)1，解得 a0.033， 则平均值 x 100.002170100.009180100.022190100.033200100.024210 100.008220100.002230200，即这 200 盒产品的该项指标值的平均值约为 200. (2)由题意可得 x 200，10，则 P(22)P(18
38、0220)0.954 5，则该批产品指标值 落在(180,220上的概率为 0.954 5. 设每盒该产品的售价为 X 元，由可得 X 的分布列为 X102030 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 P0.022 750.954 50.022 75 则每盒该产品的平均售价为 E(X)100.022 75200.954 5300.022 7520，故每万盒的平均利润为 20155(万元) 9（2020广州一模）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了 80 个 零
39、件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：)mm，得到如图的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01)； （2）若从这 80 个零件中尺寸位于62.5，64.5)之外的零件中随机抽取 4 个，设X表示尺寸在64.5，65上 的零件个数，求X的分布列及数学期望EX； （3） 已知尺寸在63.0，64.5)上的零件为一等品， 否则为二等品， 将这 80 个零件尺寸的样本频率视为概率 现 对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱 100 个企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有 零件进行检验，已知每个零件的检验费用为 99 元若检验，则将检验
40、出的二等品更换为一等品；若不检验， 如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付 500 元的赔偿费用现对一箱零件随机抽检 了 11 个，结果有 1 个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱 余下的所有零件进行检验？请说明理由 【解答】解：（1）由于62.0，63.0)内的频率为(0.0750.225)0.50.15， 63.0，63.5)内的频率为0.750.50.375，设中位数为63.0 x，63.5)， 由0.15(63)0.750.5x，得63.47x ，故中位数为 63.47； （2）这 80 个零件中尺寸位于62.5，64.5)之外的
41、零件共有 7 个，其中尺寸位于62.0，62.5)内的有 3 个， 位于64.5，65)共有 4 个，随机抽取 4 个，则1X ，2，3，4， 31 34 4 7 4 (1) 35 C C P X C ， 22 34 4 7 18 (2) 35 C C P X C ， 13 34 4 7 12 (3) 35 C C P X C ， 4 4 4 7 1 (4) 35 C P X C ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 X1234 P 4 35 18 35 12 35 1 35 41812
42、116 1234 353535357 EX ； （3）根据图象，每个零件是二等品的概率为(0.0750.2250.100)0.50.2P ， 设余下的 89 个零件中二等品的个数为(89,0.2)YB， 由二项分布公式，890.217.8EY ， 若不对余下的零件作检验，设检验费用与赔偿费用的和为S， 11 995001089500SYY，若对余下的零件作检验，则这一箱检验费用为 9900 元， 以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，则11 995009989ESEY， 因为9900ES ，所以应该对余下的零件作检验 （或者9989ES 与 9900 相差不大，可以不做检验都行)
43、10（2020绿园区校级模拟）为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车 亭或十字路口处现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，他们的年龄情况如表所示 （1）频率分布表中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率 分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在30，35)岁的人数； （2）在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加“规范摩的司机的交通意识”培训 活动，从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人，记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为X， 求X的分布列及数学期望 分
44、组（单位：岁）频数频率 20，25)50.05 25，30)0.20 30，35)35 35，40)300.30 40，45 100.10 合计1001.00 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解答】解：（1）由频数分布表和频率分布直方图，得到： 处填 20，处填 0.35；补全频率分布直方图如图所示 根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在30，35)的人数为5000.35175 （2）用分层抽样的方法，从中选取 20 人， 则其中“年龄低于 30 岁”的有 5 人，“年龄
45、不低于 30 岁”的有 15 人 由题意知，X的可能取值为 0，1，2，且 2 15 2 20 21 (0) 38 C P X C ， 11 155 2 20 15 (1) 38 C C P X C ， 2 5 2 20 21 (2) 3819 C P X C X的分布列为： X012 P 21 38 15 38 1 19 211521 ()012 3838382 E X 11（2020眉山模拟）在某社区举行的 2020 迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击 鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分 100 分，没有击中鼓则扣积分 玩转数学培优题型篇安
46、老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 50 分，最终积分以家庭为单位计分已知张明每次击中鼓的概率为 3 4 ，王慧每次击中鼓的概率为 2 3 ；每轮 游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏 （1）若家庭最终积分超过 200 分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以 领取一台全自动洗衣机的概率是多少？ （2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望( )E 【解答】解：（1）家庭最终积分超过 200 分包括以下两种情况：第一种：两轮夫妻
47、俩每次击鼓都击中，获 得 400 元第二种：两轮夫妻俩击鼓四次中只有一次没有击中获得 250 元 张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率 3232323232322 2 (1)(1) 4343434343433 P （2）张明和王慧击鼓没有击中的概率分别为： 1 4 ， 1 3 由题意可得：的可能取值为：200，50，100，250，400 11111 (200) 4343144 P ， 11123111105 (50)2() 4343434314472 P ， 113231121122113337 (100)2() 4343434344333344144 P， 3231321260
48、5 (250)2() 4343434314412 P 3232361 (400) 43431444 P可得分布列： 20050 100250400 P 1 144 5 72 37 144 5 12 1 4 数学期望 110376036 ( )20050100250400131 144144144144144 E 12.（2020九龙坡区模拟）某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一 户居民月用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费为此，政府调查了 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180)，180，200)，200，2
49、20)，220，240)，240， 260)；260，280)，280，300分组的频率分布直方图如图所示 （）根据频率分布直方图的数据，求出x的值并估计该市每户居民月平均用电量的值： （）现从该市所有居民中随机抽取 3 户，其中月平均用电量介于240，280)的户数为，用频率估计概 率，求的分布列及数学期望( )E 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解答】解：（）由(0.0020.00250.0050.00950.0110.0125)201x，解得0.0075x ， 1700.041900.192100.222300.252500.152700. 12900.05225.6 （）由（）及频率分布直方图可知，月平均用电量介于240，280)的概率为 1 4 ，由题可知， 1 (3, ) 4 B， 4 4 13 ()( ) ( ),0,1,2,3 44 iii PiCi ， 分布列为 0123 P 27 64 27 64 9 64 1 64 13 ( )3 44 E
