1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 34导数和导数应用 玩前必备 1. 基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)c(c为常数)f(x)0 f(x)x n(nQ*) f(x)nx n1 f(x)sinxf(x)cosx f(x)cosxf(x)sinx f(x)a x f(x)a xlna f(x)e x f(x)e x f(x)logaxf(x) 1 xlna f(x)lnxf(x)1 x 2导数的运算法则 （1） f(x)g(x)f(x)g(x)； （2） f(x)g(x)f
2、(x)g(x)f(x)g(x)； （3） 2 ( )( )( )( )( ) ( )( ) f xfxg xg xf x g xgx (g(x)0) 3. 函数yf(x)在xx0处的导数几何意义： 函数( )yf x在点 0 x处的导数 0 ()fx就是曲线( )yf x在点 00 (,()xf x处的切线和斜率， 即 0 ()kfx. 相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0) 4函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值； 如果在 x0附近的左侧 f(x)0，那么 f
3、(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 求 f(x)； 求方程 f(x)0 的根； 检查 f(x)在方程 f(x)0 的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处 取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值 6函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值 (2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，
4、b 上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 (3)设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求 f(x)在(a，b)内的极值； 将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 玩转典例 题型题型一一导数的运算导数的运算 例例 1求下列函数的导数 (1)yexln x；(2)yx x21 x 1 x3；(3)y ln x x21 解析(1)y(exln x)exln xex1 xe x(ln x1 x) (2)yx311 x2，y3x 22 x3. (3)yln
5、xx 21ln xx21 x212 1 xx 212xln x x212 x 212x2ln x xx212 . 玩转跟踪求下列函数的导数 (1)y(3x24x)(2x1)； (2)yx2sin x. 解析(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x， y18x210 x4. (2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x. 题型二导数求切线方程问题 例 2（2020全国 1 卷）函数 43 ( )2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为（） A.21yx B.21yx 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（7
6、21144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 C.23yxD.21yx 【答案】B 【解析】求得函数 yf x的导数 fx ，计算出 1f和 1 f 的值，可得出所求切线的点斜式方程， 化简即可. 【详解】 43 2f xxx， 32 46fxxx， 11f ， 12 f ， 因此，所求切线的方程为121yx ，即21yx .故选：B. 玩转跟踪 1(新课标全国，14)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则 a_ 解析f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2. (1，f(1)处的切线方程为 y(a2)(13a)
7、(x1) 将(2，7)代入切线方程，得 7(a2)(13a)，解得 a1. 答案1 2(广东，11)曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为_ 解析由 y5ex3 得， y5ex， 所以切线的斜率 ky|x05， 所以切线方程为 y25(x0)， 即 5xy20. 答案5xy20 3(广东，12)若曲线 yax2ln x 在(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a_ 解析由曲线在点(1，a)处的切线平行于 x 轴得切线的斜率为 0，由 y2ax1 x及导数的几何意义得 y| x1 2a10，解得 a1 2. 答案 1 2 4.（2020全国 3 卷）若直线 l 与曲线 y= x和 x2+
8、y2= 1 5 都相切，则 l 的方程为（） A. y=2x+1B. y=2x+ 1 2 C. y= 1 2 x+1D. y= 1 2 x+ 1 2 【答案】D 【解析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线yx上的切点为 00 ,xx，则 0 0 x ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 函数yx的导数为 1 2 y x ，则直线l的斜率 0 1 2 k x ， 设直线l的方程为 00 0 1 2 yxxx x ，即 00 2
9、0 xx yx， 由于直线l与圆 22 1 5 xy相切，则 0 0 1 145 x x ， 两边平方并整理得 2 00 5410 xx ，解得 0 1x ， 0 1 5 x （舍）， 则直线l的方程为 210 xy ，即 11 22 yx.故选：D. 题型三导数求函数单调性 例 3已知函数 f(x)ln xk ex (k 为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切 线与 x 轴平行 (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间； 解(1)由 f(x)ln xk ex ，得 f(x)（ln xk）e x（ln xk）（ex） e2x 1kxxl
10、n x xex ，x(0，)，由曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切 线与 x 轴平行可知 f(1)0，解得 k1. (2)由(1)知，f(x) 1 xln x1 ex ，x(0，)设 h(x)1 xln x1，则 h(x) 1 x2 1 x0， 即 h(x)在(0，)上是减函数，由 h(1)0 知，当 0 x0，从而 f(x)0， 当 x1 时，h(x)0，从而 f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，) 玩转跟踪 1(陕西，9)设 f(x)xsin x，则 f(x)() A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数 C是有零点的减函数D是没有零点的
11、奇函数 解析f(x)xsin x 的定义域为 R，关于原点对称，且 f(x)xsin(x) xsin xf(x)， 故 f(x)为奇函数又 f(x)1sin x0 恒成立，所以 f(x)在其定义域内为增函数，故选 B. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 答案B 2(新课标全国，11)若函数 f(x)kxln x 在区间(1，)单调递增，则 k 的取值范围是() A(，2B(，1 C2，)D1，) 解析因为 f(x)kxln x，所以 f(x)k1 x.因为 f(x)在区间(1，)上单调递
12、增，所以当 x1 时，f(x) k1 x0 恒成立，即 k 1 x在区间(1，)上恒成立因为 x1，所以 0 1 x1，所以 k1.故选 D. 答案D 3(新课标全国，21)已知 f(x)ln xa(1x) (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围 解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1 xa. 若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增 若 a0，则当 x 0，1 a 时，f(x)0；当 x 1 a，时，f(x)0.所以 f(x)在 0，1 a 上单调递增，在 1 a，上单调递减 (2)由(1)知，当
13、a0 时，f(x)在(0，)无最大值；当 a0 时，f(x)在 x1 a取得最大值，最大值为 f 1 a ln 1 a a 11 a ln aa1.因此 f 1 a 2a2 等价于 ln aa10. 令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0. 于是，当 0a1 时，g(a)0；当 a1 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0，1) 题型题型四四导数求函数的极值和最值 例 4(天津，19)已知函数 f(x)x22 3ax 3(a0)，xR. (1)求 f(x)的单调区间和极值； 解(1)由已知，有 f(x)2x2ax2(a0) 令 f(x)0，解得 x0 或 x
14、1 a. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x(，0)0 0，1 a 1 a 1 a， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 f(x)00 f(x)0 1 3a2 所以，f(x)的单调递增区间是 0，1 a ；单调递减区间是(，0)， 1 a，. 当 x0 时，f(x)有极小值，且极小值 f(0)0；当 x1 a时，f(x)有极大值，且极大值 f 1 a 1 3a2. 玩转跟踪 1(陕西，9)设函数 f(x)2 xln x，则( ) Ax1 2为 f(x)的极大值点 Bx
15、1 2为 f(x)的极小值点 Cx2 为 f(x)的极大值点 Dx2 为 f(x)的极小值点 解析f(x)2 x2 1 x x2 x2 ，当 0 x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0， 所以 x2 为 f(x)的极小值点，故选 D. 答案D 2(陕西，21)设函数 f(x)ln xm x ，mR. (1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； 解(1)由题设，当 me 时，f(x)ln xe x，则 f(x) xe x2 ， 当 x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当 x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，xe 时，f(x)
16、取得极小值 f(e)ln ee e2， f(x)的极小值为 2. 玩转高考 1.(2015新课标全国， 14)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1， f(1)处的切线过点(2， 7)， 则a_ 解析f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2. (1，f(1)处的切线方程为 y(a2)(13a)(x1) 将(2，7)代入切线方程，得 7(a2)(13a)，解得 a1. 答案1 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 2.(2016新课标全国，21)已知函数 f x = x 2 ex+
17、a(x 1)2. (I)讨论 f(x)的单调性； (II)若 f(x)有两个零点，求a的取值范围. 解析.(I) 121 12. xx fxxea xxea (i)设0a ，则当,1x 时， 0fx ；当1,x时， 0fx . 所以在,1单调递减，在1,单调递增. (ii)设0a ，由 0fx 得 x=1 或 x=ln(-2a). 若 2 e a ，则 1 x fxxee，所以 f x在, 单调递增. 若 2 e a ，则 ln(-2a)1,故当,ln21,xa 时， 0fx ； 当ln2,1xa时， 0fx ，所以 f x在,ln2, 1,a单调递增，在ln2,1a单调 递减. 若 2 e
18、a ，则21lna，故当,1ln2,xa 时， 0fx ，当1,ln2xa时， 0fx ，所以 f x在,1 , ln2,a单调递增，在1,ln2a单调递减. (II)(i)设0a ，则由(I)知， f x在,1单调递减，在1,单调递增. 又 12fefa ，取 b 满足 b0 且ln 22 ba ， 则 2 3 3 210 22 a f bba ba bb ，所以 f x有两个零点. (ii)设 a=0，则 2 x f xxe所以 f x有一个零点. (iii)设 a0，若 2 e a ，则由(I)知， f x在1,单调递增. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（72
19、1144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 又当1x 时， f x0，故 f x不存在两个零点；若 2 e a ，则由(I)知， f x在1,ln2a单调递 减，在ln2,a单调递增.又当1x 时 f x0，故 f x不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为0,. 3.(2017新课标全国， 14)曲线 2 1 yx x 在点 （1， 2） 处的切线方程为_ 1yx 4.(2017新课标全国，21)已知函数( )f x=ex(exa)a2x （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )0f x ，求 a 的取值范围 解析.（1）函数( )f x的定义域为(
20、,) ， 22 ( )2(2)() xxxx fxeaeaea ea， 若0a ，则 2 ( ) x f xe，在(,) 单调递增. 若0a ，则由( )0fx得lnxa. 当(,ln )xa 时，( )0fx；当(ln ,)xa时，( )0fx，所以( )f x在(,ln )a单调递减，在 (ln ,)a 单调递增. 若0a ，则由( )0fx得ln() 2 a x . 当(,ln() 2 a x 时，( )0fx；当(ln(),) 2 a x时，( )0fx，故( )f x在(,ln() 2 a 单调递 减，在(ln(),) 2 a 单调递增. （2）若0a ，则 2 ( ) x f xe
21、，所以( )0f x . 若0a ，则由（1）得，当lnxa时，( )f x取得最小值，最小值为 2 (ln )lnfaaa .从而当且仅当 2 ln0aa，即1a 时，( )0f x . 若0a ，则由（1）得，当ln() 2 a x 时，( )f x取得最小值，最小值为 2 3 (ln()ln() 242 aa fa. 从而当且仅当 2 3 ln()0 42 a a，即 3 4 2ea 时( )0f x . 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 综上，a的取值范围为 3 4 2e ,1.
22、 5(2018 全国卷)设函数 32 ( )(1)f xxaxax，若( )f x为奇函数，则曲线( )yf x在点(0,0)处的 切线方程为 A2yx By x C2yxDy x 【解析】通解因为函数 32 ( )(1)f xxaxax为奇函数，所以()( ) fxf x， 所以 3232 ()(1)()()(1) xaxaxxaxax，所以 2 2(1)0ax， 因为Rx，所以1a，所以 3 ( ) f xxx，所以 2 ( )31fxx，所以(0)1f，所以曲线( )yf x 在点(0,0)处的切线方程为yx故选 D 6.（2019 全国理 13）曲线 2 3()exyxx在点(0 )0
23、，处的切线方程为_ 解析：解析：因为 2 3exyxx（），所以 2 3e31 x yxx（）， 所以当0 x 时，3y ，所以 2 3exyxx（）在点0 0（ ， ）处的切线斜率3k ， 又 00y所以切线方程为030yx，即3yx 7.（2019 全国理 6）已知曲线eln x yaxx在点1ea（，）处的切线方程为 y=2x+b，则 Ae1ab ，Ba=e，b=1 C 1 e1ab ，D 1 ea ，1b 解析解析 eln x yax x 的导数为 eln1 x yax ， 又函数 eln x yax x 在点(1, e) a 处的切线方程为 2yxb ，可得 e0 12a ，解得 1
24、 ea ， 又切点为(1,1)，可得1 2b ，即 1b 故选 D 8.(2018 全国卷)已知函数 1 ( )lnf xxax x (1)讨论( )f x的单调性； (2)若( )f x存在两个极值点 12 ,x x，证明： 12 12 ()() 2 f xf x a xx 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】(1)( )f x的定义域为(0,)， 2 22 11 ( )1 axax fx xxx （i）若2a，则( )0fx，当且仅当2a ，1x 时( )0fx，所以( )f
25、x在(0,)单调递减 （ii）若2a ，令( )0fx得， 2 4 2 aa x 或 2 4 2 aa x 当 22 44 (0,)(,) 22 aaaa x U时，( )0fx； 当 22 44 (,) 22 aaaa x 时，( )0fx所以( )f x在 2 4 (0,) 2 aa ， 2 4 (,) 2 aa 单 调递减，在 22 44 (,) 22 aaaa 单调递增 (2)由(1)知，( )f x存在两个极值点当且仅当2a 由于( )f x的两个极值点 1 x， 2 x满足 2 10 xax ，所以 12 1x x ，不妨设 12 xx，则 2 1x 由于 1212122 1212
26、1212 2 2 ()()lnlnlnln2ln1 122 1 f xf xxxxxx aaa xxx xxxxx x x ， 所以 12 12 ()() 2 f xf x a xx 等价于 22 2 1 2ln0 xx x 设函数 1 ( )2lng xxx x ，由(1)知，( )g x在(0,)单调递减，又(1)0g，从而当(1,)x时， ( )0g x 所以 22 2 1 2ln0 xx x ，即 12 12 ()() 2 f xf x a xx 9.（2019 全国理 20）已知函数 ( )sinln(1)f xxx ， ( )fx 为 ( )f x的导数证明： （1） ( )fx
27、在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点； （2） ( )f x有且仅有 2 个零点 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析：解析：（1）设( )( )g xf x，则 1 ( )cos 1 g xx x ， 2 1 sin( ) ) (1 x x g x . 当1, 2 x 时，( )g x单调递减，而(0)0,( )0 2 gg ， 可得( )g x在1, 2 有唯一零点，设为. 则当( 1,)x 时，( )0g x ；当, 2 x 时，( )0g x . 所以( )g x在( 1,)
28、单调递增，在, 2 单调递减，故( )g x在1, 2 存在唯一极大值点，即( )f x在 1, 2 存在唯一极大值点. （2）( )f x的定义域为( 1,) . （i） 当( 1,0 x 时， 由 （1） 知，( )f x在(1,0)单调递增， 而(0)0f ， 所以当( 1,0)x 时，( )0f x ， 故( )f x在(1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0 x 是( )f x在( 1,0的唯一零点. （ii） 当0, 2 x 时， 由 （1） 知，( )f x在(0,)单调递增， 在, 2 单调递减， 而(0)=0f ， 0 2 f ， 所以存在, 2 ，使得( )0f ，且当(
29、0,)x时，( )0f x ；当, 2 x 时，( )0f x . 故( )f x在(0,)单调递增，在, 2 单调递减. 又(0)=0f，1 ln 10 22 f ，所以当0, 2 x 时，( )0f x . 从而( )f x在0, 2 没有零点. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （iii）当, 2 x 时，( )0f x ，所以( )f x在, 2 单调递减.而0 2 f ，( )0f ，所以( )f x 在, 2 有唯一零点. （iv）当( ,)x 时，ln(1)1x ，所以( )f x0，从而( )f x在( ,) 没有零点. 综上，( )f x有且仅有2个零点.
