1、1 函数压轴小题之分段函数问题 分段函数：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常 叫做分段函数它是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并 集，值域也是各段函数值域的并集 求分段函数的函数值时， 应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围， 然后选取相应 的对应关系若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期若给出函数值求自 变量值， 应根据每一段函数的解析式分别求解， 但要注意检验所求自变量的值是否属于相应 段自变量的范围 对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起 来进行比较要注意分段函数值域是各段上函数
2、值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小) 值中最大(小)的 类型一：分段函数的图象类型一：分段函数的图象 例 1已知函数 fx是定义在R上的奇函数，当0 x 时， 22fxx.若对任意的 1,2x ， f xaf x成立，则实数a的取值范围是（） A0,2B0,2,6C2,0D2,06, 2 【解析】 由题设知： , 20 ( ) 4,2 xx f x xx ，又 fx是定义在R上的奇函数，即(0)0f， 当02x时，20 x ，即()()fxxx ，而( )()f xfxx ； 当2x 时，2x ，即()()44fxxx ，而( )()4f xfxx ； 综上，有 4,2 ( ), 22
3、4,2 xx f xxx xx ，可得如下函数图象， 高中资料分享 QQ 群：608396916 对任意的1,2x 有 f xaf x成立， 即在12x 中， 2 4 xa xax 或 22xa xax 或 2 4 xa xax 恒成立， 420 xa 或42ax恒成立，即有20a 或6a . 故选：D. 例 2.已知函数 21(1) ( ) (1) x xx f x ex ，若ab， f af b，则实数2ab的取值范 围为（） A 1 ,1 e B 1 , e C 1 ,2 e D 1 ,2 e 3 【解析】 由题意，作出函数 21(1) ( ) (1) x xx f x ex 的图象，如
4、图所示： 高中资料分享 QQ 群：608396916 若ab， f af b，则2 1 a be ，则 21 a abae ，1a ， 令 1 a g xae，1a ，则 1 a gxe ，1a ， 此时 1 a e e ，则 0gx恒成立，所以函数 g x单调递增， 所以 1 112 a g xaeg e ，所以实数2ab的取值范围为 1 ,2 e . 故选：D. 类型二：分段函数的零点类型二：分段函数的零点 例 3已知函数 2 1,1 2 2,1 a xx f x xax ，若函数 1yf x恰有 4 个不同的零点，则实 数a的取值范围是_. 4 【解析】 当1x 时，令 10f x ，得
5、110 2 a x ，即11 2 a x，该方程至多两个 根； 当1x时，令 10f x ，得 2 210 xa ，该方程至多两个根，因为函数 1yf x恰有 4 个不同的零点，所以函数 1yf x在区间,1和1,上均有 两个零点，函数 1yf x在区间,1上有两个零点，即直线1 2 a y 与函数 1yx在区间,1上有两个交点， 当1x 时，110yxx ；高中资料分享 QQ 群：608396916 当11x 时，11yxx，此时函数的值域为0,2，则012 2 a ，解得 26a， 若函数 1yf x在区间1,上也有两个零点，令 2 210 xa ，解得 1 1 2 a x ， 2 1 2
6、 a x ， 则 1 1 2 a ，解得3a ，综上所述，实数a的取值范围是3,6. 例 4.已知函数 2 1 log2 ,1 14 ,1 a xx f x xa x （0a ，且1a ）在区间 , 上为单 调函数，若函数 2g xf xx有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（） A 1 1 , 4 2 B 1 3 , 4 4 C 1 113 , 4 216 D 1 313 , 4 416 5 【解析】 2 1 log2 ,1 14 ,1 a xx f x xa x ，当1x 时， 2 14f xxa， 易知： fx在, 1 时单调递减，又 fx在区间 , 上为单调函数， 01a 且 2
7、 1 141log12 a a ，解得： 1 1 4 a， 令 20g xf xx，即 2fxx，高中资料分享 QQ 群：608396916 令 12 ,2yfxyx，则函数 2g xf xx有三个不同的零点， 等价于 1 yf x与 2 2yx有三个不同的交点，分别画出 1 yf x与 2 2yx的 图象如下所示： 由图可知： 当1x 时， 1 yf x与 2 2yx有 2个不同的交点， 故只需满足： 当1x 时， 1 yf x与 2 2yx 有1个不同的交点， 即当1x 时， 2 142xax ，化简得： 2 3410 xxa ，即 2 1 43 ,1axx x ， 令 2 3 ,1h x
8、xx x ，即 2 3 ,1h xxx x 与14ya 有一个交点， 画出 h x的图象如下图所示： 易知 2 min 3339 3 2224 h xh ， 2 11312h ， 9 14 4 a 或1 42a ，解得： 13 16 a ，或 3 4 a ，又 1 1 4 a，即 13 16 a 或 13 44 a， 6 类型三：分段函数的奇偶性类型三：分段函数的奇偶性 例 5 【2020江西高三月考】已知定义域为 R 的奇函数 f x，当0 x 时，满足 2 3 72,0 2 3 3 , 2 logxx f x f xx ，则 1232020(ffff) A 25 logB 25 logC
9、2D0 【解析】 定义域为R的奇函数 f x，可得 fxf x ， 当0 x 时，满足 2 3 log72,0 2 3 3 , 2 xx f x f xx ，高中资料分享 QQ 群：608396916 可得 3 2 x 时， 3f xf x，则 2 1log 5f ， 2 211log 5fff ， 300ff， 2 41log 5ff ， 2 5211log 5ffff ， 6300fff， 2 741log 5fff ， 2 8211log 5ffff ， 123.2020ffff 222 673log 5log 50log 5 22 673 0log 5log 5 ， 故选 B. 7 例
10、 6.【2020达州模拟】f（x）是定义域为 R 的偶函数，对xR，都有 f（x+4）f（x） ， 当 0 x2 时，则 【解析】根据题意，f（x）是定义域为 R 的偶函数，对xR，都有 f（x+4）f（x） ， 则有 f（x+4）f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， 则有 f（）f（）f（4+）f（） ，f（21）f（1+45）f（1） ， 又由当 0 x2 时，高中资料分享 QQ 群：608396916 则 f（）1，f（1）1，则f（）+f（1）（1）+1； 类型四：分段函数的单调性类型四：分段函数的单调性 例 7已知函数 2 (3)1,1 ( ) 11 log,1 4
11、 a a xax f x xaxx ，若 ( )f x在R上是增函数，则实数a的 取值范围是_ 8 【解析】 因为函数 ( )f x在R上是增函数，所以(3)1ya xa 在区间(,1)上是增函数且 2 11 log 4 a yxax 在区间1,)上也是增函数，对于函数(3)1ya xa在 (,1)上是增函数，则303aa； 对于函数 2 1, 11 log,) 4 a yxaxx ，高中资料分享 QQ 群：608396916 （1）当01a时，1 2 a ，外函数logayu为定义域内的减函数， 内函数 2 22 1111 () 424 aa uxaxx 在1, )上是增函数， 根据复合函数
12、“同增异减”可得01a时函数 2 11 log 4 a yxax 在区间1,)上是 减函数，不符合题意，故舍去， （2） 当1a 时， 外函数logayu为定义域内的增函数， 要使函数 2 11 log 4 a yxax 在区间1,)上是增函数，则内函数 2 22 1111 () 424 aa uxaxx 在1, )上也 是增函数， 且对数函数真数大于 0，即 2 11 0 4 uxax在1,)上也要恒成立，所以 2 21 2 2 15 11 10 4 4 a a a a a ， 又1a ，所以12a， 又 ( )f x在R上是增函数则在衔接点处函数值应满足： 22 1115 31log10
13、44 a aaaaa ，化简得 53 22 a， 由得， 3 1 2 a，所以实数a的取值范围是 3 (1, 2 . 9 例 8.【2019江西省奉新县第一中学高三月考】已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时( ),( ) x f xeaf x若在 R 上是单调函数，则实数 a 的最小值是. 【解析】 当0 x 时，0 x , x fxea ,又 f（x）是定义在 R 上的奇函数, fxf x x f xea 0 x ,因为( )f x在 R 上是单调函数 00 1eaeaa ，a最小值-1,故答案为1.高中资料分享 QQ 群：608396916 三、强化训练三、强化训练 1
14、定义在R上的函数 fx满足 (2)fxf x， 且当1x时 2 3,14 1 log,4 xx f x x x ， 若对任意的 ,1xt t，不等式 21fxf xt 恒成立，则实数t的最大值为（） A1B 2 3 C 1 3 D 1 3 【解析】 当14x时，3yx 单调递减， 2 41 log 41f xf ， 当4x 时， fx单调递减， 41f xf ， 故 fx在1,上单调递减，由 (2)fxf x，得 fx的对称轴为1x ， 若对任意的 ,1xt t，不等式 21fxf xt 恒成立， 即对 ,1xt t，不等式 1f xf x+t 恒成立，-1xxt， 即 22 1xxt，即 2
15、 2110txt ， 2 2 2110 1 1 3 21110 ttt t ttt 故实数t的最大值为 1 3 .故选：C. 10 2函数 1 2 ,0, 2,0, x xx f x x 若 123 xxx，且 123 f xf xf x，则 21 23 x f x xx 的 取值范围是（） A 1 0, 4 B 1 0, 4 C 1 0, 2 D 1 0, 2 【解析】 画出函数 1 2 ,0, 2,0, x xx f x x 的图象如图， 因为 123 xxx，且 123 f xf xf x，高中资料分享 QQ 群：608396916 由图可知点, ,A B C的横坐标分别为 123 ,x
16、 xx， 其中 2 02x，因为2yx的图象关于2x 对称， 所以 23 224xx +，又 12 f xf x所以 2212 2222 23 11 22 444 x f xx f x x xxx xx 2 2 1 11 4 x ， 因为 2 02x，所以 2 2 11 011 44 x ，即 21 23 x f x xx 的取值范围是 1 0, 4 ， 故选：B. 11 3定义在 R 上的函数 ( )f x满足 1 (2)( ) 2 f xf x，当0,2)x时， 2 3 1 2 1 2,01, 2 ( ) 2, 12. x xx f x x 函数 32 ( )3g xxxm若 4, 2)s
17、 ， 4, 2)t ，不等 式 ( )( )0f sg t 成立，则实数 m 的取值范围是（） A(, 12 B(, 4 C(8,D 31 (, 2 【解析】 当 x0，2）时， 2 3 1 2 1 2,01, 2 ( ) 2, 12. x xx f x x x0，2） ， 1 (0) 2 f为最大值，f（x+2） 1 2 f（x） ，f（x）2f（x+2） ， 2,0 x 1 ( 2)2 (0)21 2 ff4, 3x ( 4)2 ( 2)2 12ff ，4,2)s max ( )2f x ( )2 (2)f xf xx2，0， 13 ()2 ( )2 ( 2)4 22 ff ， 4, 3x
18、 ， 51 ()2 ()8 22 ff 4,2)s ， min ( )8f s ， 函数 g（x）x3+3x2+m， 2 ( )36 ,g xxx高中资料分享 QQ 群：608396916 由 3x2+6x0 解得 x0 或2x ，由 3x2+6x0 解得20,x 由 3x2+6x0，x0 或2x ，函数 g（x）x3+3x2+m，在(, 2),(0,) 上单调递增 在( 2,0)上单调递减，4, 2) t ， min ( )( 4)16g tgm 不等式 f（s）g（t）0，8m16，故实数满足：m8，故选：C 12 4已知函数 2 log,0, 1,0. x x f x xx 若 1234
19、 f xf xf xf x（ 1 x， 2 x， 3 x， 4 x互不相等） ，则 1234 xxxx的取值范围是（注：函数 1 h xx x 在0,1上单调递 减，在 1,上单调递增） （ ） A 1 ,0 2 B 1 ,0 2 C 1 0, 2 D 1 0, 2 【解析】 作出函数 fx的图象如下图所示：设 1 x 2 x0 3 x 1 4 x，且 12 +212xx ，当 2324 loglogxx时，即 2324 loglogxx，所以 2324234 log+loglog0 xxxx，所以 34 1xx， 当 2 log1x 时，解得 3 1 2 x ， 4 2x ，所以 4 12x
20、 设 344 4 1 txxx x ，又函数 1 yx x 在1,上单调递增， 所以 4 4 1115 21+2+ 122 tx x ，即 34 5 2 2 xx， 所以 1234 5 2+22+ 2 xxxx ，即 1234 1 0 2 xxxx， 故选：D高中资料分享 QQ 群：608396916 5若关于x的方程 2 | 2 x kx x 有四个不同的实数解，则实数k的取值范围为（） A 1 ,1 2 B(0,1)C 1 , 2 D(1,) 13 【答案】D 【解析】由于关于x的方程 2 | 2 x kx x 有 4 个不同的实数解，当0 x 时，是此方程的 1 个根， 故关于x的方程
21、2 | 2 x kx x 有 3 个不同的非零的实数解， 又 2 22 () () |12 |22 2 () | xxx kxxkxxx x xkx 即方程 (2),0 1 (2),0 x xx x xxk 有 3 个不同的非零的实数解， 即函数 1 1 y k 的图像与函数 2 (2),0 (2),0 x xx y x xx 的图像有 3 个不同的交点，在同一直角 坐标系作图： 由图可知， 1 01 k ，即1k ，k的取值范围为(1,) 故选：D 6已知函数 2 22 ,1 2( )= log1 ,1 x x f x xx ，则函数 3 ( )2 2 F xff xf x 的零点个 数是
22、（） A4B5C6D7 【答案】A 【解析】令( ),( )0tf xF x，则 3 ( )20 2 f tt， 作出( )yf x的图象和直线 3 2 + 2 yx，由图象可得有两个交点，设横坐标为 12 ,t t， 14 12 0,(1,2)tt. 当 1 ( )f xt时，有2x ，即有一解；当 2 ( )f xt时，有三个解， 综上，( )0F x 共有 4 个解，即有 4 个零点.故选：A 7对于, a bR，定义运算“”： 2 2 , , aab ab ab bab ab ，设( )(21)(1)f xxx， 且关于x的方程( )()f xt tR恰有三个互不相等的实数根 123
23、,x xx,，则 123 xxx的取 值范围是（） A 53 ,1 4 B 53 1, 4 C 1 ,1 2 D(1,2) 【答案】A 【解析】由题设知 2 2 (21)(21)(1),211 ( )(21)(1) (1)(21)(1),211 xxxxx f xxx xxxxx 化简整理得： 2 2 2,0 ( ) ,0 xx x f x xx x ，画出函数的图像，如下图 15 由 11 24 f ，当关于x的方程( )()f xt tR恰有三个互不相等的实数根时，t 的取值范 围是 1 0, 4 t ， 设 123 0 xxx，则 23 xx,是 2 xxt 的两个根，关于 1 2 x
24、对称，故 23 1xx， 下面求 1 x的范围： 2 11 1 2 0 xxt x ，解得： 1 11+8 4 t x 1 0, 4 t Q，1 81,3t ， 11 813,0t ，故 1 13 ,0 4 x 所以 123 53 ,1 4 xxx 故选：A. 8已知函数 ln ,1 ( ), ( )(2) ,1 x xx f xg xkxf xex ，对 12 , 3,3xRx ，使得 12 ()()f xg x成立，则k的取值范围是（） A 11 (, 36e B 11 ) 36e ， C 1111 , 36 36ee D 11 (, 36e 11 ) 36e ， 【来源】吉林市普通高中
25、2021 届高三第一次调研测试（期中）数学（文）试题 【答案】D 【解析】1x Q时， lnf xx 16 1 fx x 1 2 2 f 1 ( ) 2 g xkx 12 , 3,3xRx ，使得 12 ()()f xg x成立 minmin g xf x 对函数 ln ,1 ( ) ,1 x xx f x xex 当1x 时， lnf xx，此时 min 0f x 当1x 时，( ) x f xxe ( )(1) x fxx e 令( )(1)0 x fxx e得1x 当1x 时，( )0fx ， ( )f x单调递减 当1x 时，( )0fx ， ( )f x单调递增 所以1x 为极小值点
26、，此时 1 ( 1 1)fe e 故 min 1 fx e 当0k ， 1 ( ) 2 g x 不合题意； 当0k ， min 1 33 2 g xgk 所以 11 3 2 k e ，解得 11 36 k e 当0k ， min 1 33 2 g xgk 所以 11 3 2 k e ，解得 11 36 k e 17 综上得 11 (, 36 k e 11 ) 36e ， 故选：D. 9已知函数 2 2, , xax xa f x ax xa ，若函数 yf xa恰有两个零点 1 x， 2 x，则 12 xx的取值范围是（） A 3 , 2 B( ) 0,+C( ) 1,+D 3 1, 2 【来
27、源】浙江省名校协作体 2020-2021 学年高三上学期开学考试数学试题 【答案】C 【解析】由 fx的解析式知： 2 2xaxa,xa yfxa axa,xa ， 若函数 yf xa恰有两个零点 1 x， 2 x，有两种情况： 1、当1a 时，y在x a 上没有零点；在xa上要有两个零点，则 2 2 80 8 4 aa aaa a 即1a 符合前提条件，此时， 2 2 121212 (4)163 ()4 22 a xxxxx x ； 2、当1a 时，y在xa上有一个零点为-1；在x a上要有一个零点即可，则 2 22 80 88 44 aa aaaaaa a 即10a ；故有10a ，此时
28、2 12 83 1(1, ) 42 aaa xx 综上，有： 12 (1,)xx； 故选：C 10设 ,01 e ln ,1 xx f x x x ，若 eaf af，则 1 ( )f a （）. A1B 2 C e De 18 【来源】安徽省蚌埠市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量监测理科数学试题 【答案】C 【解析】由题意，函数 ,01 e ln ,1 xx f x x x ， 当01a时，可得 1 1 a ， 1 a e ，所以 ,ln aa f aa f eeea e， 可得 aa e ，解得 1 a e ，所以 1 ( )lnfeee a ； 当1a 时，可得 1 01
29、a ， 1 a e ，所以 ln ,ln aa f aea f eeea e， 可得 lneaa e ，即lnaa， 设 ln,(1)g xxx x，则 1 10gx x ， g x单调递减，且 110g ， 方程 0g x 无实根，即方程lnaa无解， 综上可得， 1 ( )fe a . 故选：C. 11设 minm，n表示 m，n 二者中较小的一个，已知函数 f(x)x28x14，g(x) 2 2 1 min,log4 2 x x (x0)， 若x15， a(a4)， x2(0， )， 使得 f(x1)g(x2) 成立，则 a 的最大值为 A4B3C2D0 【来源】 黑龙江省哈尔滨师范大学
30、青冈实验中学校 2019-2020 学年高三 10 月月考数学 （理） 试题 【答案】C 【解析】 令 2 2 1 log4 2 x x ， 解得1x ， 故当01x时， 2 2 1 log4 2 x x ， 当1x 时， 2 2 1 log4 2 x x ， 所以 2 2 log4,01 1 ,1 2 x xx g x x .所以当01x时， 函数 g x 的值域为,2，当1x 时， g x的值域为0,2，所以 g x的值域为,2.函数 19 2 42fxx，它的图像开口向上，对称轴为4x ，则当43a 时，函数 fx在5,a上的值域为2, 1， 是,2的子集， 符合题意.当3a 时， 函数
31、 fx 在5,a上的值域为 2 2,814aa ，它是,2的子集，故 2 8142aa ，解得 32a .综上所述，满足题意的a的取值范围是4, 2.所以a的最大值为2，故选 C. 12若函数 1 2 2 log (3) ,1, ( ) 6,1 m xx f x xxm x 的值域为R，则m的取值范围为（） A(0，8B(0， 9 2 C 9 2 ，8D(，1 (0 ， 9 2 【来源】吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等省示范高中 2020 届高三（5 月份）高 考数学（文科）模拟试题 【答案】B 【解析】若0m 时，则当1x 时， 1 2 ( )(3)mf xlogx 单调递增， 当1x
32、时， 22 ( )6(3)9f xxxmxm在(3,)上单调递增， 在1，3)上单调递减， 若函数值域为R则需 1 2 (3 1)(3)9 mlofmgm ，解得 9 0 2 m； 若0m时， 则当1x 时， 1 2 ( )(3)mf xlogx 单调递减， 当1x时， 22 ( )6(3)9f xxxmxm在(3,)上单调递增，在1，3)上单调 递减，不满足函数值域为R，不符合题意，舍去， 综上：m的取值范围为(0， 9 2 ， 故选：B 13已知函数 2 2 log,0 1 2,0 4 x x f x xxx ，方程 f xa有四个不同根 1 x， 2 x， 3 x， 4 x， 20 且满
33、足 1234 xxxx，则 22 13234 3 2 x xx xx x 的取值范围是 A2 2, B 129 2 2, 8 C 9 , 2 D 9 129 , 28 【来源】安徽省宿州市泗县第一中学 2020 届高三下学期最后一卷数学（文）试题 【答案】D 【解析】 作出函数图像可得 12 2 2 xx ， 2324 loglogxx从而得 3 4 1xx ，且 23 log1,2x ， 从而得 3 1 2,4 x ，所以 2 22 3122 13234 3 22 333 11 2 22 xxxx xx xx x xxx ，令 2 3 1 t x 则 4,16t， 2 yt t 在4,16上
34、递增，所以 9 129 , 28 y . 故选：D. 14 设函数 2 1 2 , 2 1 ln , 2 x x f x xaxx x ， 若 fx有最小值， 则实数 a 的取值范围为 （） A2, B2, C 1 ln2, 4 D1, 【来源】湖南省衡阳市 2020 届高三下学期三模数学（理）试题 【答案】D 【解析】因为当 1 2 x 时， fx无最小值，且 0f x ， 只需当 1 2 x 时， fx有最小值，且 min 0fx 即可. 当 1 2 x 时， 1 2fxxa x ，因为 1 21,x x 21 若1a 时， 0fx ， fx在 1 , 2 上递增，此时 fx无最小值； 若
35、1a 时， 2 21xax fx x ，记 2 210 xax 两根分别为 1 x， 2 x，设 12 xx， 因为 12 1 0 2 xx ， 则 12 0 xx，又 2 111 210 222 a a ，所以 2 1 2 x ， 故 fx在 2 0,x上递减，在 2, x 上递增， 此时 2 min2222 lnffxxaxxx ， 将 2 22 120 xax 代入得 222 min22222 21ln10lnfxxxxxx ， 解得 2 1x ，所以 2 2 1 21ax x ， 故选：D. 15已知函数 2 ln ,0 ( ) ,0 xx f x xax x ，若方程( )f xxa
36、有 2 个不同的实根，则实数a 的取值范围是（） A | 11aa 或 1a B |1a a 或01a或 1a C |1a a 或0a D |1a a 或0a 【答案】B 【解析】由题意，可画出 ( )f x与yxa 的图象有如下情况 1、当1a 时，显然 ( )lnf xx(0)x 与y xa 无交点， 若 2 ( )(0)f xxax x 与y xa 有交点，则有 2 (1)0 xaxa， 即 22 (1)4(1)0aaa ，故此时( )f xxa有 2 个不同的实根；如下图示 22 2、当1a 时，显然 ( )lnf xx(0)x 与 1yx无交点， 而在0 x 上 2 210 xx 有
37、0 ，故此时( )f xxa只有一个的实根；如下图示 3、当01a时，显然 ( )lnf xx(0)x 与y xa 无交点，而在0 x 上 2 (1)0 xaxa有0 ，故此时 ( )f xxa有 2 个不同的实根；如下图示 4、当10a 时，显然 2 ( )(0)f xxax x 与y xa 恒有一个交点， 而此时在0 x 上若 ( )lnf xx 与y xa 相切则( )f xxa有 2 个不同的实根， 即 1 ( )1fx x 有 1x ，故 ( )lnf xx 、y xa 过(1,0)，则1a ，显然不成立， 故此时( )f xxa只有一个的实根；如下图示 23 5、当1a 时，由 4
38、 中的结论可知( )1f xx=-有 2 个不同的实根；如下图示 6、当1a 时，显然 2 ( )(0)f xxax x 与y xa 恒有一个交点， 而由 5 知 ( )lnf xx(0)x 与y xa 恒有两个交点， 故此时( )f xxa有 3 个不同的实根；如下图示 故综上，有 |1a a 或01a或 1a 时，( )f xxa有 2 个不同的实根 故选：B 16已知函数 ,01, ln 2,12, xx f x xx 若存在实数 1 x， 2 x满足 12 02xx，且 12 f xf x，则 21 xx的最大值为（） A 2 e B e 1 2 C1ln2D2ln4 24 【答案】B
39、 【解析】 ,01, ln 2,12 xx f x xx 的图象如下 存在实数 1 x， 2 x满足 12 02xx，且 12 f xf x，即 12 ln 2xx 2 1, 2 e x ，则 2122 ln 2xxxx 令 ln 2g xxx，1, 2 e x ，则 1x gx x g x在1, 2 e 上单调递增，故 max1 22 ee g xg 故选：B 17已知函数 1 ,2, 1 1 2,1, 2 11 ,2 2 xx x f xx xx x ， 2g xax，2,2x ，若对于任意 1 2,2x ，总存在 0 2,2x ，使 01 g xf x成立，则实数a的取值范围是（） A
40、7 , 4 B 7 , 4 C 7 7 , 4 4 D 77 , 44 25 【来源】开卷教育联盟 2020 届全国高三模拟考试（四）数学理科试题 【答案】D 【解析】 当21x 时， 1 ( )f xx x ， 2 1 ( )10fx x ， 即 2，1为增区间，( ) 4f x ， 2 ， 当 1 1 2 x时，( )2f x ； 当 1 2 2 x 时， 1 ( )f xx x ， 2 1 ( )10 x fx ，此时函数递增，则 3 ( ) 2 f x ， 3 2 则 ( )f x的值域为 5 2 ， 3 2 2 ， 3 2 对于任意 1 2x ，2，总存在 0 2x ，2，使得 01
41、 ()()g xf x成立， 得到函数 ( )f x在 2 ，2上的值域是( )g x在 2 ，2上值域的子集 对a讨论，当0a 时，( )2g x ，显然不成立； 当0a 时，( )g x的值域为 2 2a ，2 2a ，由 5 22 2 a且 3 22 2 a ，即 7 4 a； 当0a 时，( )g x的值域为2 2a ， 22a ，由 5 22 2 a 且 3 22 2 a ，即 7 4 a， 综上，a的取值范围是：(， 77 44 ， ) 故选：D. 18已知 fx是定义在 R 上的函数，且1f x关于直线1x 对称.当0 x 时， 2 1 1 4 2 2,02 2log,2 x x
42、 f x x x ，若对任意的,1xm m，不等式22fxf xm恒 成立，则实数m的取值范围是（） A 1 ,0 4 B 1 ,1 2 C1,D 1 , 2 【答案】D 【解析】 当02x时， 2 1 1 4 2 x f x ， 函数 2 1 1 4 yx 在0,2上单调递减， 且2xy 是 R 上的增函数，根据复合函数的单调性可知，函数 fx在0,2上单调递减，且 2 1 21 4 21f x ； 当2x 时， 2 2logf xx，易知函数 fx在2,上单调递减，且 26 2 2log 221f xf. 函数 fx在0,上单调递减. 1f x关于直线1x 对称， fx关于0 x 对称，即
43、 fx为偶函数， 不等式22fxf xm可化为22fxfxm， 22xxm恒成立， 即 22 22xxm，整理得 22 3(82 )40 xm xm， 令 22 3(82 )4g xxm xm， 对任意的,1xm m， 0g x 恒成立， 22 22 ( )3(82 )40 (1)3(1)(82 )(1)40 g mmm mm g mmm mm ， 即 840 410 m m ，解得 1 2 m . 故选：D. 19把方程1 169 x xy y 表示的曲线作为函数 yf x的图象，则下列结论正确的是 （） fx在 R 上单调递减 yf x的图像关于原点对称 yf x的图象上的点到坐标原点的距
44、离的最小值为 3 函数 43g xf xx不存在零点 ABCD 【来源】黑龙江省哈尔滨市 2020 届高三 5 月模拟复课联考数学（理）试题 【答案】C 【解析】1 169 x xy y ，当0 x ， 0y时不成立；当0 x ，0y 时， 22 1 916 yx ； 27 当0 x ，0y时， 22 1 169 xy ；当0 x ，0y 时， 22 1 169 xy ； 画出图像，如图所示： 由图判断函数在 R 上单调递减，故正确，错误. 由图判断 yf x图象上的点到原点距离的最小值点应在0 x ，0y 的图象上， 即满足 22 1 169 xy ，设图象上的点 ,P x y， 2 222
45、2 7 9 19 1616 x POxyxx ，当0 x 时取最小值 3，故正确； 当 430f xx， 即 3 4 fxx ， 函数 43g xf xx的零点， 就是函数 yf x 和 3 4 yx 的交点， 而 3 4 yx 是曲线 22 1 916 yx ，0 x ，0y 和 22 1 169 xy ，0 x ， 0y的渐近线，所以没有交点， 由图象可知， 3 4 yx 和 22 1 169 xy ，0 x ， 0y 没有交点， 所以函数 43g xf xx不存在零点，故正确. 故选：C. 20定义函数( )g x为不大于x的最大整数，对于函数( )( )f xxg x有以下四个命题：
46、(2020.67)0.67f；在每一个区间 ,1)k k ，kZ上， ( )f x都是增函数； 28 11 55 ff ； ( )yf x的定义域是R， 值域是0,1).其中真命题的序号是 （） . ABCD 【答案】D 【解析】画出( )( )f xxg x的图象如图所示， 由函数 ( )f x的图象可知，( )f x是最小正周期为 1 的函数，且当0,1)x 时，( )f xx， 所以(2020.67)(0.67)0.67ff，所以都正确， 而 144 555 ff ， 11 55 f ，所以错误. 故选：D 21 函数 ln1f xxx， 1 ,0 2 1 ,0 2 xa x g x a
47、x x ， 若存在 0 x使得 00 fxg x成 立，则整数a的最小值为 A1B0 C1D2 【来源】贵州省毕节市 2020 届高三诊断性考试（三）理科数学试题 【答案】B 【解析】 由题意得 ln1ln1fxxxxxfx ， 即 fxf x， 29 所以函数 fx为偶函数，且函数 1 ,0 2 1 ,0 2 xa x g x ax x ，满足 gxg x，所以函数 g x为偶函数， 要使得存在 0 x使得 00 fxg x成立， 只需当0 x 时， 0f xg x有解，即 1 ln10 2 xxxa在0,)有解， 即 1 ln1 2 axx在0,)有解， 令 1 ln1 2 g xxx，则
48、 111 212(1) x gx xx ， 当0,1)x时， 0gx ，函数 g x单调递减； 当(1,)x时， 0gx ，函数 g x单调递增； 所以当1x 时，函数取得最小值 11 1ln 1 1ln2 22 g， 要使的使得存在 0 x使得 00 fxg x成立，可得 1 ln2 2 a ， 所以整数a的最小值为 0. 故选：B. 22已知函数 (), ( )sin2 (), (), xx f xxx xx ( ) |1|g xx，则方程( ( )1f g x的实数根 的个数为（） A5B6C7D8 【答案】B 【解析】 作出函数 ( )f x的大致图象如图 （1） 所示， 对于( (
49、)1f g x ， 令( )tg x， 则( )1f t， 则1t或1t 或 4 t 或 3 4 t ，作出函数( )g x的大致图象，如图（2）所示， 30 若( )1tg x， 则由图象知， 直线1y与函数( )g x的图象有两个交点； 若 4 t ， 由图象知，直线 4 y 与函数( )g x的图象有四个交点； 显然直线 3 ,1 4 yy 与函数( )g x的图象没有交点， 综上可知，方程( ( )1f g x的实数根的个数为246. 故选：B 23已知函数 2 2 2 , ( ) 2 ,. xx xa f x xx xa ，给出下列四个结论： 存在实数a，使函数 ( )f x为奇函数
50、； 对任意实数a，函数 ( )f x既无最大值也无最小值； 对任意实数a和k，函数 ( )yf xk 总存在零点； 对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数 ( )f x在区间( 1,)m 上单调递减.其中 所有正确结论的序号是_. 【来源】中国人民大学附属中学 2021 届高三 3 月开学检测数学试题 【答案】 【解析】 31 如上图分别为0a ，0a 和0a 时函数 ( )f x的图象， 对于 ：当0a 时， 2 2 2 ,0 ( ) 2 ,0 xx x f x xx x ， ( )f x图象如图1关于原点对称，所以存在 0a 使得函数 ( )f x为奇函数，故正确； 对于 ：由三个图
