1、北京市西城区 20202021 学年度第二学期期末试卷高一数学第 1页（共 12页） 北京市西城区 20202021 学年度第二学期期末试卷 高一数学2021.7 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在 试卷上作答无效。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 （1）设向量(3,2)a，( 1, 4) b，则a b （A）11（B）9（C）7（D）5 （2）sin330 （A） 1 2 （B） 1 2 （C） 3 2 （D） 3 2 （3）在复
2、平面内，复数z对应的点Z如图所示，则复数z= （A）2i （B）2i （C）12i （D）12i （4）某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为 （A） 3 12 cm（B） 3 15 cm（C） 3 36 cm（D） 3 45 cm （5）函数 22 ( )cos 2sin 2f xxx的最小正周期是 （A） 2 （B）（C）2（D）4 （6）若sin0.4, 33 (,) 22 ,则符合条件的角有 （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 北京市西城区 20202021 学年度第二学期期末试卷高一数学第 2页（共 12页） （7）函数( )sin()f xAx（其中0,
3、0, 0A）的图像的一部分如图所示，则 此函数的解析式是 （A） ( )3sin() 42 f xx （B） 3 ( )3sin() 44 f xx （C） ( )3sin() 84 f xx （D） 3 ( )3sin() 84 f xx （8）向量(cos50 ,sin50 ) a与(cos10 ,sin10 ) b的夹角为 （A）30（B）40 （C）60（D）90 （9）在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c. 则“ab ”是“sinsinAB”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （10）已知单位向量
4、12 ,e e满足 12 1 2 ee ，若非零向量 12 xyaee，其中, x yR，则 | | | x a 的最大值为 （A） 4 3 （B） 2 3 （C） 2 2 （D） 2 3 3 北京市西城区 20202021 学年度第二学期期末试卷高一数学第 3页（共 12页） 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）设复数 12i 3i z ，则| | z _ （12）已知半径为r的球的表面积为 2 36 cm,那么半径为2r的球的表面积为_ 2 cm. （13）在锐角ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c.
5、若 1 sin 2 aBb，则A _ （14）已知向量 , a b满足| 5a ，| | 4b ，( )abb，那么|ab| _ （15）设函数( )sinf xx， 2 ( )1g xxx，有以下四个结论： 函数( )( )yf xg x是周期函数； 函数( )( )yf xg x的图像是轴对称图形； 函数 ( )( )yf xg x 的图像关于坐标原点对称； 函数 ( ) ( ) f x y g x 存在最大值. 其中，所有正确结论的序号是_. 北京市西城区 20202021 学年度第二学期期末试卷高一数学第 4页（共 12页） 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演
6、算步骤或证明过程。 （16） （本小题 13 分） 已知 tan()3 4 . （）求tan的值； （）求sin2的值. （17） （本小题 14 分） 如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D 中， 1 BB 平面ABCD，/AD BC，90BAD ， ACBD，且2ABAD， 1 1AA . （）求三棱锥 1 BABD的体积； （）求证：/BC平面 11 ADD A； （）求证： 1 ACBD. （18） （本小题 13 分） 在ABC中，4AB ，3AC ， 1 cos 4 C . （）求ABC的面积； （）求BA BC 的值. 北京市西城区 20202021 学年度第二学期期末试卷
7、高一数学第 5页（共 12页） （19） （本小题 15 分） 已知函数( )3sincos(0)f xxxm同时 满足下列三个条件中的二个： (0)2f ； 最大值为 2； 最小正周期为 （）求出所有可能的函数( )f x，并说明理由； （）从符合题意的函数中选择一个，求其单调增区间. （20） （本小题 15 分） 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中， 1 2AA ，E为 1 AA的中点，O为 1 BD的中点. （）求证：平面 11 ABD 平面 11 ABB A； （）求证：EO 平面 11 BDD B； （）设P为正方体 1111 ABCDABC D棱上一点，给出满足条件
8、2OP 的点P的 个数.（结论不要求证明） （21） （本小题 15 分） 设函数 ( )f x的定义域为R. 若存在常数,(0,0)TA TA ，使得对于任意xR， ()( )f xTAf x 成立，则称函数 ( )f x具有性质P. （）判断函数yx和cosyx具有性质P？（结论不要求证明） （）若函数 ( )f x具有性质P，且其对应的 T ，2A . 已知当(0,x时， ( )sinf xx ，求函数 ( )f x在区间 ,0 上的最大值； （）若函数 ( )g x具有性质P，且直线xm 为其图像的一条对称轴，证明： ( )g x为 周期函数. 北京市西城区 20202021 学年度第
9、二学期期末试卷高一数学第 6页（共 12页） 北京市西城区北京市西城区 202020202022021 1 学年度第学年度第二二学期期末试卷学期期末试卷 高一数学参考答案2021.7 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 1.D2.B3.B4.A5.A 6.C7.C8.B9.C10.D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小小题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11 2 2 1214413 6 147315 注：注：第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 三、解答题
10、：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16 （本小题 13 分） 解： （）由 tantan 4 tan()3 4 1tantan 4 ， 3 分 解得tan2. 5 分 （）由（） ，得 sin tan2 cos ， 6 分 又因为 22 sincos1， 8 分 北京市西城区 20202021 学年度第二学期期末试卷高一数学第 7页（共 12页） 联立，解得 2 sin, 5 1 cos 5 或 2 sin, 5 1 cos. 5 11 分 所以 4 sin22sincos 5 .13
11、 分 17 （本小题 14 分） （）解：因为在四棱柱 1111 ABCDABC D 中， 1 BB 平面ABCD，90BAD ， 所以三棱锥 1 BABD的体积 1 1112 (2 2) 1 3323 ABD VSAA . 3 分 （）证明：因为/AD BC，BC 平面 11 ADD A，AD平面 11 ADD A， 所以/BC平面 11 ADD A. 6 分 （）证明：因为 1 BB 平面ABCD，AC 平面ABCD， 所以 1 BBAC. 8 分 又因为ACBD, 1 BBBDB, 所以AC 平面 1 BBD. 11 分 又因为 1 B D 平面 1 BBD， D1 DA C1 A1 B
12、1 BC 北京市西城区 20202021 学年度第二学期期末试卷高一数学第 8页（共 12页） 所以 1 ACB D. 14 分 18 （本小题 13 分） 解： （）由余弦定理 222 2cosABACBCAC BCC， 3 分 得 222 1 4 =3 +23() 4 BCBC ， 解 7 2 BC （舍）或2BC . 5 分 由 1 cos 4 C ，(0,)C，得 2 115 sin1 () 44 C . 7 分 所以ABC的面积 11153 15 sin=3 2= 2244 ABC SACBCC . 9 分 （）由余弦定理，得 222 11 cos 216 BCABAC B BCAB
13、 . 11 分 所以 11 | | cos 2 BA BCBABCB . 13 分 19 （本小题 15 分） 解： （） ( )3sincos2sin() 6 f xxxmxm. 3 分 若函数 ( )f x满足条件 ： 北京市西城区 20202021 学年度第二学期期末试卷高一数学第 9页（共 12页） 由条件： (0)12fm ，得1m. 即 ( )2sin()1 6 f xx. 所以当 sin()1 6 x时，( )f x有最大值 3. 这与矛盾. 即函数 ( )f x不能同时满足条件 . 5 分 若函数 ( )f x满足条件 ： 由条件，得1m. 由条件，得 2 ，解得2. 所以此时
14、 ( )2sin(2)1 6 f xx. 7 分 若函数 ( )f x满足条件 ： 又因为 ( )2sin() 6 f xxm， 所以当 sin()1 6 x时，( )f x的最大值+2=2m. 解得0m . 由条件，得 2 ，解得2. 所以 ( )2sin(2) 6 f xx. 9 分 综上， ( )2sin(2)1 6 f xx或 ( )2sin(2) 6 f xx. （）不妨选择函数 ( )2sin(2)1 6 f xx， 由 2+ 262 22xkk，kZ， 11 分 得 + 36 xkk， 13 分 北京市西城区 20202021 学年度第二学期期末试卷高一数学第 10页（共 12页
15、） 所以函数 ( )f x的单调增区间为 + 36 ,kk，kZ. 15 分 （注：单调区间写成开区间亦可.） 20 （本小题 15 分） （）证明：在正方体 1111 DCBAABCD中， 因为 11 AD 平面 11 ABB A， 11 AD 平面 11 ABD， 所以平面 11 A BD 平面 11 ABB A. 4 分 （）证明：连接AC，设BDACG，连接OG. 因为 1111 DCBAABCD为正方体， 所以 1 / DDAE，且 1 2 1 DDAE ，且G是BD的中点， 又因为O是 1 BD的中点， 所以 1 / DDOG，且 1 2 1 DDOG ， 所以AEOG/，且AEO
16、G， 即四边形AGOE是平行四边形， 所以/EO AG. 6 分 由正方体 1111 DCBAABCD，得 1 DD 平面ABCD，AGBD. 所以 1 DDAG. 又因为 1 DDBDD， 所以AG 平面 11 BDD B， 9 分 AB A1B1 DC D1C1 O E G 北京市西城区 20202021 学年度第二学期期末试卷高一数学第 11页（共 12页） 所以EO 平面 11 BDD B. 11 分 （）解：满足条件2OP 的点P有12个.15 分 21.（本小题 15 分） 解： （）函数yx不具有性质P；函数cosyx具有性质P. 3 分 （）设( ,0 x ，则(0,x . 4
17、 分 由题意，得()2 ( )sin()f xf xx， 所以 1 ( )sin 2 f xx，( ,0 x . 6 分 由( )2 ( )ff ，(0)2 (0)ff，得 1 ( )=()0 4 ff. 所以当 ,0 x 时， 1 ( )sin 2 f xx. 7 分 故当 2 x ，( ) f x在区间 ,0 上有最大值 1 () 22 f . 9 分 （）当( )0g x ，xR时，结论显然成立； 10 分 以下考虑( )g x不恒等于 0 的情况，即a，使得( )0g a . 由直线xm为函数( )g x图像的一条对称轴，得(2)( )0gmag a. 12 分 由题意， 0000 ,(0,0)TATA，使得 00 ()( )g xTA g x成立， 所以 00 (2)(2)gmaA gmaT，即 0 0 1 (2)( )gmaTg a A . 由直线xm为函数( )g x图像的一条对称轴，得 00 (2)()gmaTg aT. 又因为 00 ()( )g aTA g a，( )0g a , 所以 0 0 1 ( )( )g aA g a A ，即 0 1A . 北京市西城区 20202021 学年度第二学期期末试卷高一数学第 12页（共 12页） 故对于任意xR， 0 ()( )g xTg x成立，其中 0 0T . 综上，( )g x为周期函数. 15 分
