1、【第【第 2 讲】讲】 因式分解因式分解 【基础知识回顾】【基础知识回顾】 知识点知识点 1因式分解因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、 解方程及各种恒等变形中起着重要的作用 知识点知识点 2因式分解方法因式分解方法 因式分解的方法较多， 除了初中课本涉及到的提取公因式法提取公因式法和公式法 （平方差公式平方差公式和完全平完全平 方公式方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式立方和、立方差公式） 、十字相乘法十字相乘法和分组分解法分组分解法等等 知识点知识点 3常用的乘法公式：常用的乘法公式： （1）平方差公式：）平方差公式： 22 ()(
2、)ab abab ； （2）完全平方和公式：）完全平方和公式： 222 ()2abaabb ； （3）完全平方差公式：）完全平方差公式： 222 ()2abaabb （4） 2 ()abc 2222 ()2()abcabcabbcac . （5） 33 ab 22 ()()ab aabb (立方和公式立方和公式) （6） 33 ab 22 ()()ab aabb (立方差公式立方差公式) 【合作探究】【合作探究】 探究一探究一公式法公式法 【例例 1】分解因式：(1) 34 381a bb (2) 76 aab 【分析】【分析】(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号
3、内出现 66 ab ， 可看着是 3232 ()()ab 或 2323 ()()ab 【解析】【解析】(1) 343322 3813 (27)3 (3 )(39)a bbb abb ab aabb (2) 76663333 ()()()aaba aba abab 2222 2222 ()()()() ()()()() a ab aabbab aabb a ab ab aabbaabb 归纳总结：归纳总结： (1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如 333 8(2)a bab ，这 里逆用了法则( )n nn aba b ； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，
4、一定要看准因式中各项的符号 【练习【练习 1】把下列各式分解因式： (1) 34 xyx(2) 33nn xx y (3) 2232 (2 )yxxy 【解析】（【解析】（1） 34 xyx= 22 ()()x xyyxyx （2） 33nn xx y = 22 ()(), n xxy xxyy （3） 2232 (2 )yxxy= 22432 (1) (4321)yxxxxx 探究二探究二提取公因式法与分组分解法提取公因式法与分组分解法 【例例 2-1】把 22 xyaxay 分解因式 【分析【分析】 ：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式， 其中一个因式是
5、 xy ； 把第三、 四项作为另一组， 在提出公因式a后， 另一个因式也是 xy . 【解析】【解析】： 22 ()()()()()xyaxayxy xya xyxy xya 【例例 2-2】分解因式： （1） 2 55abab ； （2） 32 933xxx 【解析【解析】 （1） 2 55abab (5)(1)a ba ； （2） 32 933xxx 32 (3)(39)xxx 2( 3)3(3)xxx 2 (3)(3)xx 【例例 2-3】分解因式： （1） 32 933xxx ； （2） 22 2456xxyyxy 【解析【解析】 （1） 32 933xxx = 32 (3)(39)x
6、xx = 2( 3)3(3)xxx = 2 (3)(3)xx 或 32 933xxx 32 (331)8xxx 3 (1)8x 33 (1)2x 22 (1)2(1)(1) 22 xxx 2 (3)(3)xx （2） 22 2456xxyyxy = 22 2(4)56xyxyy = 2 2(4)(2)(3)xyxyy =(2 2)(3)xyxy 或 22 2456xxyyxy = 22 (2)(45 )6xxyyxy =(2 )()(45 )6xy xyxy =(2 2)(3)xyxy 【例例 2-4】把 222 2428xxyyz 分解因式 【分析【分析】 ：先将系数 2 提出后，得到 22
7、2 24xxyyz ，其中前三项作为一组，它是一个 完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式 【解析】：【解析】： 222222 24282(24)xxyyzxxyyz 22 2()(2 ) 2(2 )(2 )xyzxyz xyz 【练习练习 2】分解因式（1） 2 7()5()2abab (2) 22 (67 )25xx 【解析【解析】 （1） 2 7()5()2abab =(7 72)(1)abab (2) 22 (67 )25xx = 22 (67 )5 (67 )5xxxx = 2 (21)(35)(675)xxxx 探究三探究三十字相乘法十字相乘法 【例【例 3-1】把下
8、列各式因式分解： (1) 2 76xx(2) 2 1336xx(3) 22 6xxyy 【解析】【解析】(1) 6( 1)( 6),( 1)( 6)7 2 76( 1)( 6)(1)(6)xxxxxx (2) 3649,4913 2 1336(4)(9)xxxx (3) 2222 66(3 )(2 )xxyyxyxxy xy 归纳总结：归纳总结： 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和 22 ()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq 因此， 2 ()()()xpq
9、xpqxp xq 运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式 【例【例 3-2】把下列各式因式分解： (1) 2 1252xx(2) 22 568xxyy 32 4 1 1 2 54 y y 【解析】【解析】(1) 2 1252(32)(41)xxxx (2) 22 568(2 )(54 )xxyyxyxy 归纳总结：归纳总结： 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时，为提高 速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次 项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号 【练习【练习
10、3-1】把下列各式因式分解： (1) 2 524xx(2) 2 215xx(3) 222 ()8()12xxxx 【解析】【解析】(1) 24( 3)8,( 3)85 2 524( 3)(8)(3)(8)xxxxxx (2) 15( 5)3,( 5)32 2 215( 5)(3)(5)(3)xxxxxx (3) 22222 ()8()12(6)(2)xxxxxxxx (3)(2)(2)(1)xxxx 探究四探究四拆、添项法拆、添项法 【例【例 4】分解因式 32 34xx 【分析【分析】 ：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一 次项，如果它能分解成几个因式的积，
11、那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为 0 了，可考虑通过添项或拆项解决 【解析】【解析】 3232 34(1)(33)xxxx 22 (1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)xxxxxxxxx 22 (1)(44)(1)(2)xxxxx 归纳总结：归纳总结：将 2 3x拆成 22 4xx ，将多项式分成两组 32 ()xx和 2 44x 【课后作业】【课后作业】 1把下列各式分解因式： (1) 3 27a (2) 3 8m (3) 3 278x (4) 33 11 864 pq (5) 33 1 8 125 x y (6) 333 11 21627 x yc 2把下列各式分解因式：
12、 (1) 34 xyx (2) 33nn xx y (3) 2323 ()amna b (4) 2232 (2 )yxxy 3把下列各式分解因式： (1) 2 32xx (2) 2 3736xx (3) 2 1126xx (4) 2 627xx (5) 22 45mmnn (6) 2 ()11()28abab 4把下列各式分解因式： (1) 543 1016axaxax (2) 212 6 nnn aaba b (3) 22 (2 )9xx (4) 42 718xx (5) 2 673xx (6) 22 82615xxyy 5把下列各式分解因式： (1) 2 33axayxyy (2) 32
13、8421xxx (3) 2 51526xxxyy (4) 22 4202536aabb (5) 22 414xyxy (6) 432224 a ba ba bab (7) 663 21xyx (8) 2( 1)()xxy xyx 【参考答案】【参考答案】 1 222 (3)(39),(2)(42),(23 )(469),aaammmxxx 2222222 11211 (2)(42),(2)(4),(2 )(24) 645525216 pqppqqxyx yxyxyc x yxycc 2 2222 ()(),()(), n x xyyxyxxxy xxyy 22222432 ()()(),(1)
14、 (4321)amnbmnb mnbyxxxxx 3( 2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)xxxxxxxx (9)(3),(5 )(),(4)(7)xxmn mnabab 4 322 (2)(8),(3 )(2 ),(3)(1)(23),(3)(3)(2) n axxxaab abxxxxxxx 2 (23)(31),(2)(415 ),(772)(1),(21)(35)(675)xxxyxyababxxxx 5 2 ()(3),(21) (21),(3)(52 ),(256)(256)xyayxxxxyabab 23333 (12)(12),() (),(1)(1), ()(1)xyxy ab ababxyxyx xy xy
