1、北京昌平区北京昌平区 2020202020202121 学年第二学期高一年级期末质量抽测学年第二学期高一年级期末质量抽测 数学试卷2021.7 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。 第一部分（选择题一部分（选择题共共 5050 分）分） 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项) （1）在复平面内，复数 i 1i 对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 （2） 23 sin 6 （A） 1 2 （B）
2、 1 2 （C） 3 2 （D） 3 2 （3）已知角终边经过点( 3, )Py，且 4 tan 3 ，则cos （A） 3 5 （B） 3 5 （C） 4 5 （D） 4 5 （4）已知ABC中，,CACBC9021，则AB AC uuu r uuu r （A）2（B） 5 （C）4（D）2 5 （5）已知函数 ( )2sin(0,) 2 f xx的部分 图象如图所示，则, 分别是 （A）1， 6 （B）2， 6 （C）1， 3 （D）2， 3 （6）在ABC中，若 222 3acbac，则B （A） 6 （B） 3 （C） 2 3 （D） 5 6 （7）要得到函数 3sin(2) 6 yx
3、的图象，只需将函数3sin2yx的图象 （A）向右平移 6 个单位长度（B）向左平移 6 个单位长度 （C）向右平移 12 个单位长度（D）向左平移 12 个单位长度 （8）已知正四棱锥的侧棱长为2，高为2.则该正四棱锥的表面积为 （A）4 3（B）24 3（C）44 3（D）48 3 （9）在平面直角坐标系xOy中， ,AB CD EF GH是单位圆上的四段弧（如图） ，点P在 其中一段上，角是以Ox为始边，OP为终边. 则“点P在CD上”是 “tansincos” 的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10） 在棱长为 1 的
4、正方体 1111 ABCDABC D中，,M N分 别为 11 ,AA CC的中点，O为底面ABCD的中心，点P 在正方体的表面上运动，且满足NPMO，则下列说法正确的是 （A）点P可以是棱 1 BB的中点 （B）线段NP的最大值为 2 2 （C）点P的轨迹是平行四边形 （D）点P轨迹的长度为1+ 2 第二部分（非选择题二部分（非选择题共共 100100 分）分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） (11) 函数 3tan() 4 yx的定义域是_ . (12) 设aR，复数(1i)(i)za.若复数z是纯虚数，则a _ ；若复数z在复平 面内对应的点位于实轴上，
5、则a _ . (13) 已知单位向量, a b满足 1 = 2 a b，则a与b夹角的大小为；2 |ab=. (14) 已知l是平面外的一条直线给出下列三个论断： ；l；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： _ （15）已知sin3cos0，则 2 sin2cos_ . （16）设向量(4cos,0), (sin,1) 22 xx mn，函数( )f x m n.若函数( )f x的定义域为 , a b，值域为 1,2. 给出下列四个结论： 3 ； 5 6 ； ； 7 6 . 则ba的值可能是_ .（填上所有正确的结论的序号） 三、解答题(本大题共 5 小
6、题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) (17)（本小题满分 14 分） 已知 3 sin 5 ，且是第二象限角. （I）求sin2及tan2的值； （II）求 cos2 sin() 4 的值. (18)（本小题满分 14 分） 已知向量(1,2),(3, 2)ab. （I）求|ab； （II）求向量a与向量b的夹角的余弦值； （III）若| |10c，且(2) a+ cc，求向量a与向量c的夹角. (19)（本小题满分 14 分） 在ABC中， 7 3 ac， 3 3 sin 14 C . 再从条件、条件这两个条件中选择一个作为 已知，求： （）A的大小； （）cos B和
7、b的值 条件：1ba； 条件： 3 cos 2 cA . 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 (20)（本小题满分 14 分） 如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，/,ABCD ABAD，E为 1 AA上一点， 1,2ABADAECD. （I）求证：BEAD； （II）求证：/BE平面 11 CDDC； （III）设平面EBC与棱 1 DD交于点F，确定点F的位置， 并求出线段DF的长度. (21)（本小题满分 14 分） 已知函数 2 3 ( )sincos3cos 2222 xxx f x（0）. （）若( )f x的最小正周期为，求( )f x的单调递增区间；
8、 （）若 3 ( ) 2 f x在 0, 3 上恒成立，求实数的取值范围； （）若1， ( )10 ()8 3 g xf x，证明：存在无穷多个互不相同的正整数 0 x，使得 0 ()0g x 北京昌平区北京昌平区 2020202020202121 学年第二学期高一年级期末质量抽测学年第二学期高一年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准2020.7 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项) 题号12345678910 答案ABACDDCCAB 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11. 3
9、 , 4 x xkkZ12.1；113. 3 ；3 14. 若 ， l ，则 /l. 若l ， /l，则 . 15. 1 2 16. （第（第 1212、1 13 3 题题：第一空第一空 3 3 分分，第二空第二空 2 2 分分；第第 1616 题题: :答对一个给答对一个给 2 2 分分，答对两个给答对两个给 3 3 分分， 全对全对给给 5 5 分分，不选或有错选得不选或有错选得 0 0 分分. .） 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) （17） （本小题满分 14 分） 解： （I）已知 3 sin 5 ，且是第二象限角. 所以 4 co
10、s 5 ， 3 tan 4 .4 分 所以 24 sin22sincos 25 ，6 分 2 2tan24 tan2 1tan7 .8 分 （II）因为 22 cos2cossin sin()sincoscossin 444 10 分 (cossin)(cossin) 22 cossin 22 (cossin)(cossin) 2 (cossin) 2 cossin 2 2 2 5 .14 分 （18） （本小题满分 14 分） 解： （I）因为(1,2),(3, 2)ab， 所以( 2,4) ab.2 分 所以 22 |( 2)42 5ab.4 分 （II）因为1 32( 2)1 a b =
11、，5 分 22 |125a，6 分 22 |3( 2)13 b，7 分 所以 165 cos |65513 a b a b .9 分 （III）因为(2) a+ cc， 所以(2)0a+cc.10 分 即20 2 a c+c. 所以 2 2|cos,|0a ca c + c.11 分 即2510cos,100a c +12 分 所以 2 cos, 2 a c.13 分 因为,0,a c， 所以 3 , 4 a c.14 分 （19） （本小题满分 14 分） 解：选择：1ba. （）在ABC中，因为 7 3 ac， 3 3 sin 14 C ， 所以由正弦定理得 3 sinsin. 2 a A
12、C c 2 分 因为1ba， 所以ab. 所以 0 2 A .3 分 所以 3 A.5 分 （）因为 7 3 ac， 所以ac. 所以 0 2 C .6 分 因为 3 3 sin 14 C ， 所以 2 13 cos1sin 14 CC.7分 所以coscos()cos()BACAC 8 分 sinsincoscosACAC 33 31131 2142147 .10 分 法一： 所以 2 4 3 sin1cos. 7 BB11 分 由正弦定理得 4 33 72 ba ，即78ba.12 分 因为1ba， 所以8b .14 分 法二： 因为1ba， 所以1ab. 因为 7 3 ac， 所以 33
13、 (1) 77 cab.11 分 所以 222 2cosbacacB 22 931 (1)(1)2(1)(1)() 4977 bbbb .12 分 所以 22 4964(1)bb. 所以78(1)bb. 所以8b .14 分 （或 2 15128640bb.即(158)(8)0bb.12 分 所以 8 15 b 或8b . 因为1ba， 所以 8 15 b （舍）. 所以8b .14 分 解：选择： 3 cos 2 cA . （）在ABC中，因为 7 3 ac， 3 3 sin 14 C ， 所以由正弦定理得 3 sinsin. 2 a AC c 2 分 在ABC中， 3 cos 2 cA ，
14、 所以 2 A .3分 所以 2 3 A.5 分 （）因为 7 3 ac， 所以ac. 所以 0 2 C .6 分 因为 3 3 sin 14 C ， 所以 2 13 cos1sin 14 CC.7 分 所以coscos()cos()BACAC 8 分 sinsincoscosACAC 33 311311 21421414 .10 分 法一： 所以 2 5 3 sin1cos. 14 BB11 分 因为 3 cos 2 cA ， 所以 3 2 3 1 2 c .12分 由正弦定理得 5 33 3 1414 bc ， 所以5b .14分 法二： 因为 3 cos 2 cA ， 所以 3 2 3
15、1 2 c .11 分 所以 7 7 3 ac.12 分 所以 222 2cosbacacB 11 49927325 14 . 所以5b.14 分 （20） （本小题满分 14 分） 解： （I）在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 因为 1 AA 平面ABCD，AD平面ABCD， 所以 1 AAAD. 因为ABAD， 1 ABAAAI, 所以AD平面 11 ABB A. 因为BE 平面 11 ABB A， 所以BEAD.5 分 （II）法一： 因为 11 /,/ABCD AADD, 11 ,ABAAA CDDDDII, 所以平面 11/ ABB A平面 11 CDDC. 因为BE 平
16、面 11 ABB A， 所以/BE平面 11 CDDC.10 分 法二： 取CD中点H,连接BH. 因为1,2ABCD，/ABCD， 所以/ABHD且ABHD. 所以ABHD是平行四边形. 所以/BHAD且BHAD. 在 1 DD上取点G，使1DGAE,连接EG. 所以/AEDG且AEDG. 所以ADGE是平行四边形. 所以/EGAD且EGAD. 所以/BHEG且BHEG. 所以BEGH是平行四边形. 所以/BEGH. 因为BE 平面 11 CDDC，GH 平面 11 CDDC， 所以/BE平面 11 CDDC.10 分 （III）法一： 延长,CB DA交于点G，连结GE,延长GE交 1 D
17、D于点F，连接CF.12 分 因为/,1,2ABCD ABCD， 所以,A B分别为,GD GC的中点. 因为/AEDF, 所以E为GF的中点. 所以22DFAE.14 分 法二： 由（II）法二，在平面 11 CDDC中作/CFGH,交 1 DD于点F,连接EF. 所以/CFBE. 所以点F即为平面EBC与棱 1 DD的交点.12分 因为H为CD中点， 所以G为DF中点. 因为1DGAE, 所以2DF .14 分 （21） （本小题满分 14 分） 解： （）因为 2 3 ( )sincos3cos 2222 xxx f x 11cos3 2sincos3 22222 xxx 13 sinc
18、os 22 xx sin() 3 x2 分 因为( )f x的最小正周期为， 所以2.3 分 所以 ( )sin(2) 3 f xx. 因为函数sinyx的单调递增区间为 2 ,2 () 22 kkkZ， 由 2 22 232 kxk， 得 5 1212 kxk. 所以( )f x的单调递增区间为 5 , () 1212 kkkZ.5 分 （）由第（）问可知，( )sin() 3 f xx . 要使 3 ( ) 2 f x 在 0, 3 上恒成立， 只需 3 sin() 32 x 在 0, 3 上恒成立. 6 分 因为 0, 3 x ，0， 所以 , 3333 x .7 分 当 33 x 时，
19、即0 x 时， 3 sin() 32 x ； 当 33 x 时， 3 sin() 32 x .8 分 所以要使 3 ( ) 2 f x 在 0, 3 上恒成立，只需 3333 ， 即01. 所以的取值范围是(0,1.9分 （）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 0 x，使得 0 ()0g x，就是要证明存在无穷 多个互不相同的正整数 0 x，使得 0 10sin80 x，即 0 4 sin 5 x10 分 由 43 52 可知，存在 0 0 3 ，使得 0 4 sin 5 由正弦函数的性质可知，当 00 (,)x时，均有 4 sin 5 x 11 分 因为sinyx的周期为2， 所以当 00 (2 ,2 )()xkkkZ时，均有 4 sin 5 x12 分 因为对任意的整数k， 000 (2 )(2 )2kk， 因为 0 2 3 ，13 分 所以对任意的正整数k，都存在正整数 00 (2 ,2 )() k xkkkZ，使得 4 sin 5 k x 亦即存在无穷多个互不相同的正整数 0 x，使得 0 ()0g x14 分
