1、、 1 / 6 主主题题 基本不等式及其应用 教学内容教学内容 1. 掌握两个基本不等式； 2.能用基本不等式解决一些简单问题. （以提问的形式回顾）（以提问的形式回顾） 1. 证明不等式 abba2 22 ，并说明 a、b 的范围及取等号的条件。 通过作差，构成完全平方公式即可证明，这里的 a、b 是任意实数，当且仅当 a=b 时取等。 2. 明不等式 abba2 ，并说明 a、b 的范围及取等号的条件。 通过作差，构成完全平方公式即可证明，这里的 a、b 是正实数，当且仅当 a=b 时取等。 基本不等式基本不等式 1：若, a b_，则abba2 22 ，当且仅当_时取等号； 基本不等式基
2、本不等式 2：若, a b_，则ab ba 2 （或abba2） ，当且仅当_时取等号. 两个基本不等式的异同：两个基本不等式的异同： 两个基本不等式中实数ba,的取值范围是不同的，运用第二个不等式时，ba,必须都是_. 两个基本不等式中等号成立的条件：当且仅当_时取等号； 两个基本不等式的变形： 第一个不等式可变形为abba_)( 2 或 222 )(22baba，其中Rba,； 第二个不等式可变形为abba4)( 2 或 2 () 2 ab ab ，其中 Rba,. 这里的变形要让学生理解是如何得来的，同时也让学生试着去发现这些不等式都出现了哪些运算形式，有求 和，乘积，平方和，开方和。
3、常用基本不等式 2 来求最值：当两个正数ba,的积为定值时，由abba2可得当ba 时，它们的和 有最_值； 当两个正数ba,的和为定值时， 由 2 ) 2 ( ba ab 可得当ba 时， 它们的积有最_ 值，正所谓“积定和最积定和最_，和定积最，和定积最_”. 、 2 / 6 小，大，小，大 （采用教师引导，学生轮流回答的形式）（采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例 1. 若1ab，求ba的取值范围. 答案：当0, 0ba时，2ba，当且仅当1 ba时取等号； 当0, 0ba时，2ba，当且仅当1 ba时取等号. 这里学生更多的是想到第一种情况，教师讲解时可以重点讲下第二种情况，同时也让
4、学生见识遇到两个负数 和的时候，如何求解最大值 试一试：求下列各式的取值范围： （1）若0 x，求 x x 1 的取值范围； （2）求 x x 1 的取值范围； （3）求 2 2 2 1 3 x x 的取值范围. 答案： （1）2 1 2 1 x x x x，当且仅当 x x 1 即1x时取等号； （2）当0 x时，2 1 2 1 x x x x，当且仅当 x x 1 即1x时取等号； 当0 x时，2) 1 ()(2) 1 ()( x x x x，所以2 1 x x，当且仅当 x x 1 即1x时取等号； （3）由题可知，0 2 x，所以6 2 1 32 2 1 3 2 2 2 2 x x x
5、 x，当且仅当 2 2 2 1 3 x x 即 4 6 1 x时取等号. 例 2.已知) 1 , 0(, ba且ba ，下列各式中最大的是（） A. 22 ba ；B.ab2；C.ab2；D.ba. 答案：D. 由基本不等式，可排除B.C选项.又由) 1 , 0(, ba可得： 22 ba ba. 试一试：下列结论中不正确的是（） A.0a时，2 1 a a；B.2 b a a b ； C.abba2 22 ；D. 2 )( 2 22 ba ba . 答案：B.当ba,异号时，0 a b ，等式不成立. 、 3 / 6 例 3. 已知3x，求 3 4 1 x x的最小值； 答案：84 3 4
6、)3(24 3 4 3 3 4 1 x x x x x x，当且仅当 3 4 3 x x， 即5x时取等号. 可以提问一下学生，凑出 x-3 的目的何在？ 试一试：已知 5 4 x ，求 1 42 45 x x 的最大值. 答 案 ： 1 42 45 x x 3 54 1 54 x x， 由 于 5 4 x ，054x， 所 以2 54 1 54 x x， 13 54 1 54 x x，当且仅当 54 1 54 x x即1x时取等号. 例 4. 当0 x时，求 x xx43 2 的最小值. 答案：当0 x时，原式73 4 x x，当且仅当 x x 4 即2x时取等号. 【当学生没有思路时，可举
7、例说明，如2 1 x x通分后能得到什么，启发学生的思路】 试一试：求 2 710 (1) 1 xx yx x 的最小值. 答 案 ： 方 法 一 ： 当1x时 ，95 1 4 1 1 4) 1(5) 1( 1 107 22 x x x xx x xx ， 当 且 仅 当 1 1 1 x x即1x时取等号. 方法二：设)0( 1txt，则1 tx，原式95 44510) 1(7) 1( 22 t t t tt t tt 当且仅当 t t 4 即1, 2xt时取等号. 通过例 4 的练习，可以简单总结一下，当我们遇到分子是二次式，分母是一次式的时候，如何求解取值范围， 为后面学习函数求值域奠定基
8、础。 例 5. 已知0,0 xy，且 19 1 xy ，求xy的最小值 答案：16 9 109 9 1) 91 )( x y y x x y y x yx yx，当且仅当 x y y x 9 即xy3，代入 19 1 xy 可 得12, 4yx时取等号.所以xy的最小值为 16. 【提问学生为什么由16) 91 )( yx yx可直接得到：xy的最小值就是 16？继而提问当 19 1 xy 改 为3 91 yx 时，答案会发生什么变化？】 、 4 / 6 （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 1.当ba,满足条件.时，)2)(1(2)2() 1(baba成立，当且仅当 _时取等号
9、. 答案：02, 01ba，21ba 2.若 Ryx,，且14yx，则yx的最大值为_. 答案： 16 1 方法一（直接法） ：由 Ryx,xyyxyx44241，即 16 1 41xyxy； 方法二（消元法） ：yxyx4114，由于0,yx，所以 4 1 0 y，yyyyyx 2 4)41 ( 下面转化为求二次函数xxy 2 4在区间) 4 1 , 0(上的最大值，不难求得最大值为 16 1 . 3. 若1, 1ba，ba ，则将 22 ,2 ,2 ,baababba四个代数式按从小到大的顺序排列 答案： 22 22baabbaab 【可以让学生举特例，如3, 2ba，答案即可出来，但必须
10、保证举例符合条件的要求】 4. （1）若2x，则 2 2 1 x x的取值范围是_； 答案：1221 2 2 2 2 2 1 x x x x （2）若 2 3 0 x，则)23(3xx的取值范围是_. 答案： 8 27 ,( 5. （1）若0, 0yx且 28 1 xy ，则yx的最小值是_； （2）设ba,R，32 ba，则 11 ab 最小值是_. 答案： （1）18； （2） 3 223 . 6. 若 42 54 , 2 2 x xx x求的取值范围. 、 5 / 6 答案：当1x时，1) 2 1 2( 2 1 2 1)2( 2 1 42 54 22 x x x x x xx ，当且仅当
11、 2 1 2 x x即3x时 取等号. 本节课主要知识点：两个基本不等式及变形公式，基本不等式成立条件，应用及注意事项 【巩固练习】 1. 若 x0,y0 且 28 1 xy ，则 xy 的最小值是；64 2. 设 a，bR，a+2b=3 ，则 11 ab 最小值是； 2 3 1 3 3. 已知实数a、b，判断下列不等式中哪些一定是正确的？ （1）ab ba 2 ；（2）abba2 22 ；（3）abba 22 ；（4）2 b a a b （5）2 1 a a；（6）2 a b b a （7） 222 )(2baba）（ 解： （1）错误。a、b为负实数时不正确 （2）正确 （3）正确 （4）
12、错误。a、b为负实数时不正确 （5）错误。a、b为负实数时不正确 （6）正确 （7）正确 答案： （2） （3） （6） （7） 【预习思考】 设ba ，求证：)(23 22 babba. 、 6 / 6 课后作业课后作业 1、 当 x时R,求 2 1 2 2 x x的最小值 2、 已知 ab0，求 a2+ ）（bab 16 的最小值. 3、 设 a0，b0，a2+ 2 2 b =1，求 a 2 1b的最大值. 4、 某村计划建造一个室内面积为 800 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留 1 宽 的通道，沿前侧内墙保留 3 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植 面积是多少？
