1、第二讲第二讲 因式分解因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、 解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平 方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等 一、公式法一、公式法(立方和、立方差公式立方和、立方差公式) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： 2233 ()()ab aabbab(立方和公式) 2233 ()()ab aabbab(立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整
2、式乘法公式反过来写，就得到： 3322 ()()abab aabb 3322 ()()abab aabb 这就是说， 两个数的立方和(差)， 等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和) 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解 【例【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 3 8x(2) 3 0.12527b 分析：分析： (1)中， 3 82，(2)中 333 0.1250.5 ,27(3 )bb 解：解：(1) 3332 82(2)(42)xxxxx (2) 33322 0.125270.5(3 )(0.53 )0.50.5 3(3 )
3、bbbbb 2 (0.53 )(0.251.59)bbb 说明说明： (1) 在运用立方和(差)公式分解因式时， 经常要逆用幂的运算法则， 如 333 8(2)a bab， 这里逆用了法则()n nn aba b； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时， 一定要看准因式中各项的 符号 【例【例 2】分解因式： (1) 34 381a bb(2) 76 aab 分析：分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现 66 ab，可 看着是 3232 ()()ab或 2323 ()()ab 解：解：(1) 343322 3813 (27)3 (3 )(39)a b
4、bb abb ab aabb (2) 76663333 ()()()aaba aba abab 2222 2222 ()()()() ()()()() a ab aabbab aabb a ab ab aabbaabb 二、分组分解法二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项 以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先 将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如 何分组 1分组后能提取公因式分组后能提取公因式 【例【例 3】把2105axaybybx分解因式 分析：分
5、析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从 两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是5xy，这样可以继续提取公因式 解：解：21052 (5 )(5 )(5 )(2)axaybybxa xyb xyxyab 说明：说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方 法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试 【例【例 4】把 2222 ()()ab cdabcd分解因式 分析：分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式 解：解： 22222222 ()()ab cdab
6、cdabcabda cdb cd 2222 ()()abca cdb cdabd ()()()()ac bcadbd bcadbcad acbd 说明：说明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法 交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作 用 2分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式 【例【例 5】把 22 xyaxay分解因式 分析分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其 中一个因式是xy；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是xy. 解：解： 22
7、 ()()()()()xyaxayxy xya xyxy xya 【例【例 6】把 222 2428xxyyz分解因式 分析分析：先将系数 2 提出后，得到 222 24xxyyz，其中前三项作为一组，它是一个完全 平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式 解：解： 222222 24282(24)xxyyzxxyyz 22 2()(2 ) 2(2 )(2 )xyzxyz xyz 说明：说明：从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取 公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可 以分组分解法来分解因式 三、
8、十字相乘法三、十字相乘法 1 2 ()xpq xpq型的因式分解型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和 22 ()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq 因此， 2 ()()()xpq xpqxp xq 运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式 【例【例 7】把下列各式因式分解： (1) 2 76xx(2) 2 1336xx 解：解：(1) 6( 1)( 6),( 1)( 6)7 2 76( 1)( 6)(1)(6)xxxxxx
9、(2) 3649,4913 2 1336(4)(9)xxxx 说明说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数 的符号相同 【例【例 8】把下列各式因式分解： (1) 2 524xx(2) 2 215xx 解：解：(1) 24( 3)8,( 3)85 2 524( 3)(8)(3)(8)xxxxxx (2) 15( 5)3,( 5)32 2 215( 5)(3)(5)(3)xxxxxx 说明说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数 与一次项系数的符号相同 练：练： 2 (1)65xx 2 (2)421xx（3） 2 1
10、130 xx（4） 2 12xx 【例【例 9】把下列各式因式分解： (1) 22 6xxyy(2) 222 ()8()12xxxx 分析：分析：(1) 把 22 6xxyy看成x的二次三项式，这时常数项是 2 6y，一次项系数是y， 把 2 6y分解成3y与2y的积，而3( 2 )yyy ，正好是一次项系数 (2) 由换元思想，只要把 2 xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三 项式 2 812aa 解：解：(1) 2222 66(3 )(2 )xxyyxyxxy xy (2) 22222 ()8()12(6)(2)xxxxxxxx (3)(2)(2)(1)xxxx 练练：（1
11、） 42 718xx（2） 63 12aa 2一般二次三项式一般二次三项式 2 axbxc型的因式分解型的因式分解 大家知道， 2 1122121 22 11 2 ()()()a xca xca a xa ca c xc c 反过来，就得到： 2 121 22 11 21122 ()()()a a xa ca c xc ca xca xc 我们发现，二次项系数a分解成 12 a a，常数项c分解成 1 2 c c，把 1212 ,a a c c写成 11 22 ac ac ，这 里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 1 22 1 a ca c，如果它正好等于 2 axbxc的一次项系数b， 那么
12、2 axbxc就可以分解成 1122 ()()a xca xc，其中 11 ,a c位于上一行， 22 ,a c位于下一行 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一 个二次三项式能否用十字相乘法分解 【例【例 10】把下列各式因式分解： (1) 2 1252xx(2) 22 568xxyy 解：解：(1) 2 1252(32)(41)xxxx 32 4 1 (2) 22 568(2 )(54 )xxyyxyxy 1 2 54 y y 说明：说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要
13、当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时， 为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一 次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号 练练： （1） 2 1252xx（2） 2 451xx（3） 2 3103xx（4） 2 318xx 【例【例 11】因式分解： (1) 222 (2 )7(2 )8xxxx(2)aaxxx5152 2 分析分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对 于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合. 解：解：(1)原式)82)(12
14、( 22 xxxx)4)(2() 1( 2 xxx. (2)原式)5()152( 2 aaxxx)5()5)(3(xaxx)3)(5(axx. 练： （1） 4224 127mm nn（2） 2 22xaxa 四、其它因式分解的方法四、其它因式分解的方法 1配方法配方法 【例【例 12】分解因式 2 616xx 解：解： 222222 616233316(3)5xxxxx (35)(35)(8)(2)xxxx 说明说明： 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平方式， 然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验 2拆、添项法拆、添项法 【例【例 13
15、】分解因式 32 34xx 分析分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项， 如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为 0 了，可考虑通 过添项或拆项解决 解：解： 3232 34(1)(33)xxxx 22 (1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)xxxxxxxxx 22 (1)(44)(1)(2)xxxxx 说明说明：本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成 可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将 2 3x拆成 22 4xy，将多项式分成两组 32 ()xx和 2 44
16、x 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 A组组 练练习习 1把下列各式分解因式： (1) 3 27a (2) 3 8m(3) 3 278x (4) 33 11 864 pq(5) 33 1 8 125 x y (6) 333 11 21627 x yc 2把下列各式分解因式： (1) 34 xyx(2) 33nn xx y
17、 (3) 2323 ()amna b(4) 2232 (2 )yxxy 3把下列各式分解因式： (1) 2 32xx(2) 2 3736xx(3) 2 1126xx (4) 2 627xx(5) 22 45mmnn(6) 2 ()11()28abab 4把下列各式分解因式： (1) 543 1016axaxax(2) 212 6 nnn aaba b (3) 22 (2 )9xx (4) 42 718xx(5) 2 673xx(6) 22 82615xxyy (7) 2 7()5()2abab(8) 22 (67 )25xx 5把下列各式分解因式： (1) 2 33axayxyy(2) 32
18、8421xxx(3) 2 51526xxxyy (4) 22 4202536aabb(5) 22 414xyxy (6) 432224 a ba ba bab (7) 663 21xyx(8) 2( 1)()xxy xyx B组组 1把下列各式分解因式： (1) 2222 ()()ab cdcd ab(2) 22 484xmxmnn (3) 4 64x (4) 32 113121xxx(5) 3223 428xxyx yy 2已知 2 ,2 3 abab，求代数式 2222 2a ba bab的值 3证明：当n为大于 2 的整数时， 53 54nnn能被 120 整除 4已知0abc，求证：
19、3223 0aa cb cabcb 第二讲第二讲 因式分解答案因式分解答案 A 组组 1 222 (3)(39),(2)(42),(23 )(469),aaammmxxx 2222222 11211 (2)(42),(2)(4),(2 )(24) 645525216 pqppqqxyx yxyxyc x yxycc 2 2222 ()(),()(), n x xyyxyxxxy xxyy 22222432 ()()(),(1) (4321)amnbmnb mnbyxxxxx 3(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)xxxxxxxx (9)(3),(5 )(),(4)(7)x
20、xmn mnabab 4 322 (2)(8),(3 )(2 ),(3)(1)(23),(3)(3)(2) n axxxaab abxxxxxxx 2 (23)(31),(2)(415 ),(772)(1),(21)(35)(675)xxxyxyababxxxx5 2 ()(3),(21) (21),(3)(52 ),(256)(256)xyayxxxxyabab 23333 (12)(12),() (),(1)(1), ()(1)xyxy ab ababxyxyx xy xy B 组组 1 22 ()(),(42 )(2 ),(48)(48),bcad acbdxmn xnxxxx 2 (1)(3)(7),(2 ) (2 )xxxxyxy 2 28 3 3 53 54(2)(1) (1)(2)nnnnnn nn 4 322322 ()()aa cb cabcbaabbabc
