1、2021 届长郡十五校高三联考第二次考试届长郡十五校高三联考第二次考试 数学试卷数学试卷 总分：150 分时量：120 分钟 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一一、单项选择题单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1.已知全集18U
2、ABxNx ，135 7 U AB ， ， ， ，则 B= A.-1，0，2，4，6，8B.2，4，6 C.2，4，6，8D.0，2，4，6，8 2.已知复数 z 满足： 2 7 z6 4 i（i 为虚数单位） ，且 z 在复平面内对应的点位于第三象限， 则复数z的虚部为 A.2iB.3C. 3 2 D. 3 2 i 3.设aR，则“2a ”是“ 2 320aa”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉 祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（
3、如图） ，并在 十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021 年春节前，其中 2 个兴趣小 组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面） ，2 人各抛一次， 则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为 A. 1 12 B. 143 144 C. 11 72 D. 23 144 5.已知 8 3sincos 5 xx，则sin 2 6 x A. 3 5 B. 4 5 C. 7 25 D. 24 25 6.函数 2 2 ln1 cos xx f x xx 的图象大致为 7.消除贫困、改善民生、逐步实现共同富裕，是社会主义的本质要求，是中国共产党的重要 使命，中共中央、
4、国务院于 2015 年 11 月 29 日颁布了中共中央国务院关于打赢脱贫攻坚 战的决定.某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派 6 名教师到 A、B、C、D、E 五个贫困山 区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教.学校考虑到教师甲的 家乡在山区 A，决定派教师甲到山区 A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙 与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有 A.120 种B.216 种C.336 种D.360 种 8.当xR时，不等式 1 1 x x ax e 恒成立，则实数 a 的取值范围为 A.3a B.2a C.2a D. 2 12 eae 二二、多项选择题多项选择题（
5、本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.） 9.为促进儿童全面发展和健康成长，我国于 2011 年颁布实施中国儿童发展纲要（2011 2020 年） .儿童文化产品和活动场所更加丰富.近年来，儿童接触文化艺术和娱乐体验的途 径更加多元，可获得的文化产品和服务也更加丰富.下图为 20112019 年少儿广播节目、少 儿电视节目、电视动画节目播出时间.则下列结论中正确的是 A.2018 年全国少儿电视节目播出时间比上一年增长 6.4% B.20112019 年少儿广播节目、少儿电视节
6、目、电视动画节目播出时间中电视动画节目播 出时间的方差最小 C.20112019 年少儿广播节目播出时间的平均数约为 21 万小时 D.20112019 年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间均逐年增长 10.过抛物线 C： 2 2ypx（0p ）的焦点 F 作斜率为 1 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点， 则 AF BF A.32 2B.52 6C.52 6D.32 2 11.已知函数 2 sin 2 3 fxx ， cos 2 6 g xx ，则 A. f x与 g x的图象关于原点对称 B.将 f x的图象向左平移 3 个单位长度，得到 g x的图象 C. g x）在0
7、2 ，上的最大值为 3 2 D. f x的对称轴为 7 12 xk ，kZ 12.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点 所产生的多面体.如图所示，将棱长为 3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得 到所有棱长均为 a 的截角四面体，则下列说法正确的是 A.该截角四面体的表面积为 2 7 3a B.该截角四面体的体积为 3 23 2 12 a C.该截角四面体的外接球表面积为 2 11 2 a D.该截角四面体中，二面角 ABCD 的余弦值为 1 3 三三、 填空题填空题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分.请把答案填写在答
8、题卡相应位置上.） 13.已知2a，b=（1，3） ，210abb ，则 a 与 b 的夹角为. 14.若曲线 3 2f xxx在点 P 处的切线与直线20 xy平行，则点 P 的坐标 为. 15.过双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的焦点 F1作以焦点 F2为圆心的圆的切线，其中 一个切点为 M，F1F2M 的面积为 c2，其中 c 为半焦距，线段 MF1恰好被双曲线 C 的一条 渐近线平分，则双曲线 C 的离心率为. 16.已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c=5，点 O 为其外接圆的圆 心.已知12BO AC ，则当角 C 取到最大值
9、时ABC 的内切圆半径为. 四四、解答题解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.） 17.（10 分）已知函数 sinf xMx（M0，0， 22 ）的部分图象 如图所示. （1）求 f x的解析式； （2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2 bac，求 f B的取值范围. 18.（12 分）已知 n a是等差数列，其前 n 项和为 n S，若 3 2a ， 5 2a ， 7 2a 成等比数 列且1d ，21 nn Sna. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 2 a n nn
10、 b a a ，数列 n b的前 n 项和为 Tn，nN ， n Tm恒成立，求实 数 m 的取值范围. 19.（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，侧面PBC 是等边 三角形，AD=2AB，BCD=45，面 PBC面 ABCD，E、F 分别为 BC、CD 的中点. （1）证明：面 PEF面 PAB； （2）求面 PEF 与面 PAD 所成锐二面角的余弦值. 20.（12 分）根据党的十九大规划的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫路径， 中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活， 培养良好的阅读习惯， 在农村留守 儿童聚居地区捐建“小候鸟爱
11、心图书角”.2021 年寒假某村组织开展“小候鸟爱心图书角读 书活动” ，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯.根据统计全村少年儿童中，平 均每天阅读 1 小时以下约占 19.7%、12 小时约占 30.3%、34 小时约占 27.5%、5 小时以 上约占 22.5%. （1）将平均每天阅读 5 小时以上认为是“特别喜欢”阅读，在活动现场随机抽取 30 名少年 儿童进行阅读情况调查，调查发现： 父或母喜欢阅读父母均不喜欢阅读总计 少年儿童“特别喜欢”阅读718 少年儿童“非特别喜欢”阅读51722 总计121830 请根据所给数据判断，能否在犯错误的概率不超过 0.005 的条件下认为
12、“特别喜欢”阅读与 父或母喜欢阅读有关？ （2）活动规定，每天平均阅读时长达 3 个小时的少年儿童，给予两次抽奖机会，否则只有 一次抽奖机会，各次抽奖相互独立.中奖情况如下表 抽中奖品价值 100 元的图书购书券价值 50 元的图书购书券 中奖概率1 3 2 3 从全村少年儿童中随机选择一名少年儿童来抽奖， 设该少年儿童共获得元图书购书券， 求的 分布列和期望. 21.（12 分）已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 1 2 ， 过 F2的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，若F1AB 的周长为 8. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 P 为椭圆 C 上的动点，过原点作直线与椭圆 C 分别交于点 M、N（点 P 不在直线 MN 上） ，求PMN 面积的最大值. 22.（12 分）已知函数 1ln x x fxe x ， 11 x g xae. （1）证明： 1 x ef x； （2）若0 x 时， g xf x恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）求 f x的最小值.
