1、泸州市高泸州市高 2018 级第二次教学质量诊断性考试级第二次教学质量诊断性考试 数学（理）数学（理） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页共 150 分 考 试时间 120 分钟 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指 定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑 3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认 后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域
2、均无效 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡-并上交 第卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 要求的要求的 1已知集合02Axx， 2 1Bx x，则AB（） A1,2B0,1C1,2D0,1 2若14zii，则z （） A2B2 2C2D4 3某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和 90 后从事 互联网行业者岗位分布图（90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980
3、-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及 以前出生） ，则下列结论中不一定正确的是（） A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事设计岗位的人数 90 后比 80 前多 C互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 D互联网行业中从事市场岗位的 90 后人数不足总人数的 10% 4若x，y满足 3, 2, , x xy yx ，则2xy的最大值为（） A1B3C5D9 5离散型随机变量X服从二项分布,XB n p:，且4E X ，3D X ，则p的值为（） A 1 2 B 3 4 C 1 4 D 1 8 6把函数 2sin cosf xxx的图象向右平
4、移 6 个单位长度得到函数 g x，若 g x在0,a上是增函数，则 a的最大值为（） A 12 B 6 C 3 D 5 12 7在ABC中，4AB ，2AC ，点O满足BOOC uuu ruuu r ，则BC AO uuu r uuu r 的值为（） A6B6C8D8 8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A 2 3 B 1 2 C 1 3 D1 9已知 ln a ， 2 ln2 b ，ec ，则a，b，c的大小关系为（） AbacBacbCcbaDcab 10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 222 bcabc， 2 7 cos 7 C ，则tan B的值
5、 为（） A 7 14 B3 3C 3 21 14 D 3 9 11双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左焦点和虚轴的一个端点分别为F，A，点P为C右支上一动点， 若APF周长的最小值为4b，则C的离心率为（） A 5 2 B2C3D5 12直六棱柱的底面是正六边形，其体积是6 3，则该六棱柱的外接球的表面积的最大值是（） A4B8C12D24 第卷（非选择题共 90 分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效 （2）本部分共 10 个小题，共
6、90 分 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题纸上分把答案填在答题纸上） 13已知 6 6 016 31xaa xa x，则 126 aaa_ 14已知函数 1 e e x x f x ，若 2 20f af a，则实数a的取值范围是_ 15 过抛物线 2 8yx的焦点F的直线与该抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点， 若6AF ， 则BOF 的面积为_ 16关于函数 32 1 3 f xxxc有如下四个命题： 函数 yfx的图象是轴对称图形； 当0c 时，函数 f x有两个零点； 函数 yf x的图象关于点 1,1f
7、中心对称； 过点0,1且与曲线 f x相切的直线可能有三条 其中所有真命题的序号是_ （填上所有真命题的序号） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 为了解某水果批发店的日销售量，对过去 100 天的日销售量进行了统计分析，发现这 100 天的日销售量都 没有超出 4.5 吨，统计的结果见频率分布直方图 （）求这 100 天中日销售量的中位数（精确到小数点后两位） ； （）从这 100 天中随机抽取了 5 天，统计出这 5 天的日销售量y（吨）和当天的最高气温x（）的 5 组数据,1
8、,2,5 ii x yi ，研究发现日销售量y和当天的最高气温x具有线性相关关系，且 5 1 82 i i x ， 5 1 18 i i y ， 5 2 1 1620 i i x ， 5 1 68.8 ii i xxyy 求日销售量y（吨）关于当天最高气温x（）的线 性回归方程 ybxa，并估计该水果批发店所在地区这 100 天中最高气温在 1018内的天数 参考公式： 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ， a ybx 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a是等比数列， 2 4a ，且 3 2a 是 2 a和 4 a的
9、等差中项 （）求数列 n a的通项公式； （）设 1 11 n n nn a b aa ，数列 n b的前n项和为 n T求使 63 64 n T 成立的最小整数n 19 （本小题满分 12 分） 如图，已知直四棱柱 1111 ABCDABC D的底面是边长为 2 的正方形，E，F分别为 1 AA，AB的中点 （）求证：直线 1 D E，CF，DA交于一点； （）若直线 1 D E与平面ABCD所成的角为 4 ，求二面角 1 ECDB的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为C，短轴长为TA （）求TB的方程； （）设不过点2,1T
10、的直线l与M相交于A，B两点，直线N，TMTN分别与x轴交于M， N两点，若TMTN，证明直线l的斜率是定值，并求出该定值 21 （本小题满分 12 分） 设函数 ln1f xxkx，1k （）讨论函数 f x的单调性； （）确定k的所有可能值，使得存在0m ，对任意0,xm恒有 2 f xx成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22 （本小题满分 10 分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，动直线 1 l：
11、1 yx k （k R，且0k ）与动直线 2 l：4yk x （k R，且 0k ）交点P的轨迹为曲线 1 C以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （）求曲线 1 C的极坐标方程： （）若曲线 2 C的极坐标方程为 sin30 3 ，求曲线 1 C与曲线 2 C的交点的极坐标 23 （本小题满分 10 分）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数 23f xxx （）求不等式 7f x 的解集； （）若a，b，c为正实数，函数 f x的最小值为t，且2abct，求 222 abc的最小值 泸州市高泸州市高 2018 级第级第=次教学质量诊断性考试次教学质量诊断性考试
12、数学（理科）参考答案及评分意见数学（理科）参考答案及评分意见 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度可视影 响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严 重的错误，就不再给分 3解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分， 一、选择题： 题号123456789101112 答案BBCDCDAADBDC 二、填空题：
13、1363；142,1；152 2；16 三、解答题： 17解： （）由频率分布直方图性质知，各组频率之和为 1， 所以0.50.080.160.40.520.120.080.0421a， 解得0.3a ， 设中位数为x，则0.040.080.150.2020.520.5x， 解得2.06x ，即这 100 天中日销售量的中位数约为 2.06 吨； （）因为 5 1 1 16.4 5 i i xx ， 3 1 1 3.6 5 i i yy ， 11 68.8 nn iiii ii x ynxyxxyy ， 所以 1 2 22 1 68.868.8 0.25 16205 16.4275.2 n i
14、i i n i i x ynxy b xnx ， 3.60.25 16.40.5aybx ， 所以销售量y（吨）关于当天最高气温x（）的线性回归方程是： 0.250.5yx； 当10 x 时，0.250.50.25 100.52yx， 当18x 时， 0.250.50.25 180.54yx， 当最高气温在 1018内时，日销售量在 24 吨内，根据频率分布直方图可得在此范围的频率为： 0.520.30.120.080.50.51， 所以估计该景区这 100 天中最高气温在 1018内的天数约为： 1000.5151天 18解： （）设数列 n a公比为q，因为 2 4a ，所以 21 4aa
15、 q， 因为 3 2a 是 2 a和 4 a的等差中项， 所以 324 22aaa，即 23 111 22a qa qa q， 所以 2 20qq， 因为0q ，所以2q ， 所以 22* 2 4 22 nnn n aa qn N； （）因为2n n a ，所以 1 1 211 212121 21 n n nn nn b ， 2231 111111 212121212121 n nn T 1 11 2121 n 1 1 1 21 n ， 由 63 64 n T ，得： 1 163 1 2164 n ， 所以 1 265 n ，即5n ， 所以使 63 64 n T 成立的最小整数为6n 19证
16、明： （）连接EF， 1 AB，因为E，F分别为 1 AA，AB的中点， 所以 1 /EF AB，且 1 1 2 EFAB， 因为 1111 ABCDABC D是直四棱柱，且底面是正方形， 所以 11 /BC AD AD，且 11 BCADAD， 即四边形 11 ABCD是平行四边形， 所以 11 /AB DC，且 11 ABDC， 所以 1 /EF DC，且 1 EFDC，即四边形 1 EFCD为梯形， 所以 1 D E与CF交于一点，记为P， 因为P平面ABCD，P平面 11 ADD A， 所以P（平面ABCD 平面 11 ADD A） ， 又因为平面ABCD 平面 11 ADD AAD，
17、 所以P直线AD， （）法一：由题意可知 11 4 ED A， 所以 111 2AEAD，所以 1 4AA ， 以D为原点，分别以 1 DA，DC， 1 DD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，所以0,0,0D， 1 0,0,4D，0,2,0C，2,2,0B，2,1,0F， 所以2, 1,0CF uuu r ，2,0,0CB uur ， 1 0, 2,4CD uuur ， 设平面 1 PCD的法向量为, ,nx y z r ，则： 20 240 xy yz ，故1,2,1n r ， 设平面 11 BCD A的法向量为 111 ,mx y z r ， 则 1 11 20 240 x yz
18、 ，故0,2,1m r ， 所以 4130 cos, 665 m n r r ， 即二面角 1 BCDP的余弦值为 30 6 法二：过F作 1 FHBA于点H，过H作/HN BC交 1 DC于N，连接NF， 因为 1111 ABCDABC D是直四棱柱，且底面是正方形， 所以BC 平面 11 ABB A， 所以BCFH，又 1 DC 面 11 BCD A， 所以 1 FHDC，又因为FN 平面FHN， 所以FNH即为二面角 1 BCDP的平面角， 设AK为点A到 1 AB的距离， 所以 11 AB AKAB AA， 所以 244 2 55 AK ，又2HNBC， 12 25 FHAK，在RtF
19、HN中， 42 6 4 55 FN ， 所以 530 cos2 62 6 HN FHN FN ， 即二面角 1 BCDP的余弦值为 30 6 20解： （）由 3 2 e 得 2 2 3 1 4 b a ， 又因为22 2b ， 所以2b ， 解得： 2 8a ， 2 2b ， 故椭圆C的方程为 22 1 82 xy ； （）当直线l与的斜率不存在时，设直线l： 00 2xxx ， 设l与C相交于 0, A x n， 0, B xn两点， 直线TA： 0 1 12 2 n yx x ，直线TB： 0 1 12 2 n yx x 分别与x轴相交于两点 0 2 2,0 1 x M n ， 0 2
20、2,0 1 x N n ， 因为TMTN，所以 22 22 00 22 22012201 11 xx nn ， 即 0 2x ，与已知矛盾，故直线l斜率存在， 设直线l：ykxm，代入 22 1 82 xy 整理得； 222 148480kxkmxm， 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则0 ， 且 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 48 14 m xx k ， 因为TMTN，所以0 TMTN kk，即 12 12 11 0 22 yy xx ， 所以 1221 21210 xyxy， 即 1221 21210 xkxmxkxm 所以 2 22 488 22141
21、0 1414 mkm kkmm kk ， 整理得：21210kmk， 所以210k 或210mk ， 当21mk时，直线l：21yk x过点2,1T ，不合题意，故舍去 所以210k ，即 1 2 k ，即直线l的斜率是定值 21解： （）因为 ln11f xxkx x ， 所以 1 , 1 fxk x ， 当0k 时， 0fx，所以 f x在1, 上为增函数， 当01k时，则 1 10 k ，由 1 0 1 fxk x 得： 1 11x k ， 所以 f x在 1 1,1 k 上是增函数，在 1 1, k 上是减函数； （）当1k 时，由（）知： f x在1,0上是增函数，在0,上是减函数，
22、 所以 00f xf，故 f xf x ， 设 22 ln1g xf xxxxx ， 所以 211 12 11 xx gxx xx ， 令 2 20 xx，得 1 1 2 x ， 2 0 x ， 所以函数 g x在 1 ,0 2 上是增函数，在0,上是减函数， 所以 00g xg， 所以1k ，存在0m ，对任意0,xm恒有 2 f xx 当1k 时， 由（）知：对任意1k ，总存在 1 0m ，使函数 f x在 1 0,m上是增函数， 因为 00f xf，所以当 1 0,xm时， f xf x， 设 22 ln1F xf xxxkxx 所以 2 11 2221 11 Fxkxxkxk xx
23、， 令 2 221h xxkxk， 因为122110hkk ， 010hk ， 所以 0h x 必有两根 1 x， 2 x，且 1 1x ， 2 0 x ， 所以函数 F x在 2 1,x上是增函数， 所以对任意1k ，存在 12 min,0mm m，使函数 F x在0,m上是增函数， 故 00F xF，即 2 0f xx，即 2 f xx， 所以对任意1k ，不存在0m ，对任意0,xm恒有 2 f xx； 综上知，1k 22解： （）设直线 1 l与 2 l的交点 00 ,P xy， 所以 00 1 yx k 和 00 4yk x ， 消去参数k得 1 C的普通方程为 22 000 40
24、xxy， 把 0 cosx， 0 siny代入上式得： 22 cos4 cossin0， 所以曲线 1 C的极坐标方程为4cos（0且4） ； （）将4cos代入 sin30 3 得： 即 13 4cossincos30 22 ， 所以 sin 20 3 ，则 1 26 kkZ， 即曲线 1 C与 2 C交点的极坐标分别为 2,2 3 k ， 11 2 3,2 6 kk Z 23解： （）由不等式 7f x 可得： 237f xxx， 可化为： 3 237 x xx 或 32 237 x xx 或 2 237 x xx ， 解得：43x 或32x 或23x， 所以原不等式的解集为4,3； （）因为 23235f xxxxx， 所以 f x的最小值为5t ，即25abc， 由柯西不等式得： 2 2222222 211225abcabct， 当且仅当 1 2 bca，即 5 3 a ， 5 6 bc时，等号成立， 所以 222 abc的最小值为 25 6
