1、2021 年高中毕业年级第二次质量预测年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试题卷理科数学试题卷 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将
2、本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1.设集合,2) 1(log|,62| 2 xxBxxA则BA（） A.53| xxB.52| xxC.4 , 3D.5 , 4 , 3 2.若复数iRa i ia ,( 2 虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（） A.2B.-2C. 2 1 D. 2 1 3.下图是某统计部
3、门刚站发布的 某市 2020 年 212 月国民经济和社会发展统计公报 中居民消费价格指数 （CPI） 月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第 n 个月与去年第 n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期 之比） 下列说法错误的是（） 2020 年 9 月 CPI 环比上升 0.5%，同比上涨 2.1% 2020 年 9 月 CPI 环比上升 0.2%，同比无变化 2020 年 3 月 CPI 环比下降 1.1%，同比上涨 0.2% 2020 年 3 月 CPI 环比下降 0.2%，同比上涨 1.7% A.B.C.D. 4.函数 x x xxf lnsin)(在),(的图象大致为（） 5
4、. n S是公比不为 1 的等比数列 n a的前 n 项和， 9 S是 3 S和 6 S的等差中项，则 6 12 S S （） A. 4 5 B. 4 3 C. 3 4 D. 2 3 6.已知yx,满足 0 032 02 y yx yx ，则yxz42 的取值范围是（） A.4 , 0B.6 , 4C.6 , 0D.8 , 6 7.已知实数 a，b，c 满足 c ea b 1 ln，则下列不等式中不可能成立的是（） A，abcB.acbC.cabD.cba 8.关于函数| ) 2 2cos() 3 2sin(|)( xxxf，下列判断正确的是（） A.)(xf的值域为2, 0 B.)(xf是以
5、为最小正周期的周期函数 C.)(xf在, 0上有两个零点 D.)(xf在区间 3 2 , 3 上单调递减 9.元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动，某社区计划举办元宵节找花灯活动，准 备在 3 个不同的地方悬挂 5 盏不同的花灯，其中 2 盏是人物灯，现要求这 3 个地方都有灯（同一地方的花灯不考 虑位置的差别） ，且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（） A. 114B. 92C. 72D. 42 10.已知函数12)( 4 xx eexxf，若不等式)2()1 ( 2 xfaxf对任意Rx恒成立，则实数 a 的取值 范围是（） A.)232(，B.)3
6、2, 32(C.)322(，D.)22(， 11.已知三棱锥 P-ABC 的各个顶点都在球 O 的表面上，PA底面 ABC，ABAC，AB=6，AC=8，D 是线段 AB 上一点，且 AD=5DB.过点 D 作球 0 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为 28，则球 O 的表面积 为（） A. 128B. 132C. 144D. 156 12.已知梯形 ABCD 中，以 AB 中点 O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系 。|AB|=2|CD|，点 E 在线段 AC 上，且ECAE 3 2 ,若以 A、B 为焦点的双曲线过 C、D、E 三点，则该双曲线的离心率为（） A.10B.
7、7C.6D.2 第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.函数 x exxxf 2 ) 1ln()(的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程为. 14.已知向量 a 与 b 的夹角为 60，|a|=3，|b|=6，则 2a-b 在 b 方向上的投影为. 15.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC=90，ABC 的平分线交 AC 于点 D.若 a+4c 的 最小值为 9，则 BD=. 16.已知 a0，不等式0) 1ln() 1( 11 xaex xa
8、 对任意的), 0( x恒成立，则实数 a 的取值范围 为. 三三、解答题解答题：共共 70 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤，第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必每个试题考生都必 须作答，第须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一一）必考题：共必考题：共 60 分分 17.（本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 2 ) 1( , 1 1 n n an Sa （1）求数列 n a的通项公式； （）若 1 1 12 ) 1( nn n n n aa a b，数列 n b的前
9、n 项和为 n T， ，求 2021 T. 18.（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P-ABCD 中，AP=PD=DC=CB=1，AB=2，APD=DCB=CBA=90，平面 PAD平面 ABCD. （1）求证：PB=PC； （1）求直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值. 19.（本小题满分 12 分） 已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的左右焦点分别为 21,F F，左顶点为 A，点 D（1， 2 3 ）是椭圆 C 上一 点，离心率为 2 1 （1）求椭圆 C 的方程； （11）若直线 l 过椭圆右焦点 2 F且与椭圆交于 P、Q 两点，直线 AP，AQ
10、与直线 x=4 分别交于点 M，N. （i）求证：M，N 两点的纵坐标之积为定值； （ii）求AMN 面积的最小值. 20.（本小题满分 12 分） 已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸 X（单位：mm）服从正态分布 N（280，25） . （1）从该生产线生产的零件中随机抽取 10 个，求至少有一个尺寸小于 265mm 的概率； （）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备 使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为 5000 元，若生产设备能连续运行，则 不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日
11、常维护费外，还会产生一次故障维修费，已知故 障维修费第一次为 2000 元，此后每增加一次则故障维修费增加 2000 元，假设每个维护周期互相独立，每个 周期内设备不能连续运行的概率为 4 1 ，求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和 Y 的分布列与数学期 望。 参考数据：若),( 2 NZ，则,9545. 0)22(,6827. 0)(ZPZP 9871. 09987. 0 ,9974. 0)33( 10 ZP 21.（本小题满分 12 分） 已知函数exaxexf x ln)( （）当 a=2e 时，不等式 f（x）mx-m 在, 1 上恒成立，求实数 m 的取值范围； （）若 a0，f
12、（x）最小值为 g（a） ，求 g（a）的最大值以及此时 a 的值. （二（二）选考题选考题：共共 10 分分，请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做如果多做， 则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1 C的参数方程是 ,sin5 ,cos ty tx （t 是参数，) 2 , 0 ）. 以原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程是 cos2) 4 sin(24 （）写出
13、曲线 2 C的直角坐标方程； （）若曲线 1 C与 2 C有且仅有一个公共点，求cossinsin 2 的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数).0( |42|)(aaxxxf （）若 a=1，求不等式5)(xf的解集； （）若42)( 2 xaxf恒成立，求实数 a 的取值范围. 2020-2021 郑州市第二次质量预测理科数学评分参考 一、选择题 BCDAABDCADBB 二、填空题 13.;yx14.-3;15.2;16.(0, .e 三、解答题 17. 解： （1）由题意 (1) 2 n n na S ， 1 1 (2), 2 n n na Sn 两式
14、相减得， 2 分 1 (1) (2), 22 nn n nana an 4 分 即 1 (1), nn nana 11 1, 11 nn aaa nn 所以. n an6 分 （2） 11 2 +111 =( 1)( 1)() (1)1 nn n n b n nnn ，8 分 2021 111111111 (1)()+()()() 223342020202120212022 T 12023 1=. 20222022 12 分 18. 解： （1）设AD、BC的中点分别为 O、E，连接PO、OE、EP， 则OE为直角梯形ABCD的中位线，故BCOE 2 分 又平面PAD 平面ABCD，平面PAD
15、平面ABCDAD， POAD， 所以PO 平面ABCD，POBC， 又POOEO， 所以BC平面PEO， 4 分 又PE 平面PEO，故BCPE，又 E 为BC中点，所以PBPC.5 分 （2）在AB上取一点 F，使得4ABAF，则OF，OE，OP两两垂直，以 O 为原点，射线OF，OE，OP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 2 (0,0,) 2 P ， 11 (,0) 22 A， 1 3 (,0) 2 2 C ， 1 1 (,0) 2 2 D ， 6 分 从而： 1121 32 (,),(,),(0,1,0) 2222 22 PAPCDC ， 8 分 设平面PCD的法向量
16、为, ,nx y z ， 由 132 0, 222 0 xyz y 10 分 可取( 2,0, 1)n ， 6 cos,. 3| | PA n PA n PAn 故直线PB与平面PCD夹角的正弦值为 6 3 12 分 19.解： （1）由题意知， 22 222 1 , 2 19 1, 4 , c e a ab abc 解得 22 =4=3ab， ， 4 分 椭圆 C 的方程为 22 1. 43 xy 5 分 （2）显然直线 l 斜率不为 0，设直线 l 方程为1xmy，与 22 1 43 xy 联立得： 22 (34)690mymy， 7 分 设 P、Q 点坐标为 1122 ( ,),(,),
17、x yxy则 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm ， 直线 AP 的方程为 1 1 (2) 2 y yx x ，令4x ，得 1 1 6 2 M y y x ，同理 2 2 6 2 N y y x ， 121212 2 12121212 363636 (2)(2)(3)(3)3 ()9 MN y yy yy y y y xxmymym y ym yy 2 2 22 9 36 34 9. 96 39 3434 m m mm mm 9 分 （3） 199 6 | 3| 3 218. 2 AMNMNMM MM Syyyy yy 当且仅当=3,3 MN yy 或=3,3 MN y
18、y时等号成立.12 分 20. （1）X服从正态分布(280,25)N，所以 1 0.9974 2650.0013 2 P X ，2 分 2651 0.00130.9987.P X 4 分 至少一个零件尺寸小于 265 的概率为 10 1 (0.9987)1 0.98710.0129. 5 分 （2）四年内正常维护费为5000420000元， 6 分 故障维修费第一次 2000 元，第二次 4000 元，第三次 6000 元，第四次 8000 元， 所以四年内生产维护费用总和Y的可能取值为 20000、22000、26000、32000、40000， 则 4 0 4 381 20000 425
19、6 P YC ， 3 1 4 1327 22000 4464 P YC ， 22 2 4 1327 26000 44128 P YC ， 3 3 4 13 32000 4 3 464 P YC ， 4 11 40000 4256 P Y ， 9 分 则Y的分布列为： Y2000022000260003200040000 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 故 81272731 200022000260003200040000 2566412864256 E Y 22750. 12 分 21.（1）当2ae，不等式( )f xmxm即为2 ln x xeexemxm
20、 ， 2 分 令( )2 ln(1),1,) x F xxeexem xx 2 ( )(1), x e F xxem x ( )F x在1,)上单调递增，(1)=Fm， 4 分 当0m时，(1)0( )(1)0FF xF ， ，( )F x在1,)上单调递增，( )(1)0.F xF 当0m 时，(1)0 F ，当,( )xF x，所以存在 * (1,)x ， * ()0F x， 当 * (1,)xx，( )0F x ， ( )F x单调递减，( )(1)0.F xF 不符合题意. 综上，0m.6 分 （2）( )ln x f xxeaxe，( )(1) x a fxxe x ，( )fx在(
21、0,)上单调递增， 当0,( )xfx，,( )xfx，所以存在唯一的正数 0 (0,)x ， 0 ()0fx， 7 分 当 0 (0,)xx，( )0fx ， ( )f x单调递减，当 0 ()xx，( )0fx ， ( )f x单调递增， 000 min0000000 ( )()ln(1)ln xxx f xf xx eaxex ex xexe ， 8 分 令( )(1)ln,(0,) xx h xxex xexe x 22 ( )(1)(31)ln1(31)ln xxx h xxeexxxxe xxx ， 10 分 所以(1)0h，且当(0,1)x，( )0h x ，( )h x单调递增
22、，当(1)x，( )0h x ，( )h x单调递减， max ( )(1)0h xh，此时 0 1,2 .xae 12 分 22. （） 22 4 2 sincos2cos4sin2cos 22 ， 2 分 2 4 sin2 cos， 22 42xyyx， 4 分 圆 2 C的直角坐标方程是 22 240 xyxy.5 分 （）因为曲线 1 C与 2 C有且仅有一个公共点，说明直线tan5yx与圆 2 C相切， 2 C圆心为（1，2） ，半 径为 5，则 2 | tan+3| 5 1tan ，解得tan2=或 1 tan 2 = -（舍去） ， 8 分 所以 22 2 222 sinsinc
23、ostantan2 sinsincos. sincostan15 10 分 23.（）由题意得： 33,2 2415, 12 33,1 xx f xxxxx xx ， 2 分 当2x 时，由335x 得： 8 3 x ， 8 3 x； 当12x 时，由55x 得：0 x ，10 x ； 当1x 时，由325x得：1x ，1x ； 4 分 综上所述：不等式 5f x 的解集为 8 ,0, 3 .5 分 （） 2 24f xaa恒成立等价于 2 min 24f xaa， 6 分 2422f xxxaxxxa 222xxaxaxa，等号成立条件 是2x ， 8 分 min2f xa， 2 224aaa ，解得：12a， 实数a的取值范围为1,210 分
