1、2021 年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x240，BN，则 AB（） A1B0，1C1，01Dx|2x2 2若复数 z 满足（2+i）z4，则复数 z 在复平面内对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3已知an为等差数列，a45，a77，则其前 10 项和 S10（） A40B20C10D8 4若 l，m 是平面外的两条不同直线，且 m，则“lm”是“l”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5某学校调查了高三 100
2、0 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率 分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5） ， 22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，以下结论不正确的是（） A估计这 1000 名学生每周的自习时间的众数是 23.85 B估计这 1000 名学生每周的自习时间的中位数是 23.75 C估计这 1000 名学生每周的自习时间小于 22.5 小时的人数是 300 D估计这 1000 名学生每周的自习时间不小于 25 小时的人数是 300 6中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该
3、程序框 图，若输入 x2，n2，依次输入 a 的值为 1，2，3，则输出的 s（） A10B11C16D17 7设 a0.60.4，blog0.64，clog23，则 a，b，c 的大小关系为（） AabcBbcaCcabDbac 8函数 f（x）的部分图象大致为（） AB CD 9已知直线 l：yx+2 与圆 O：x2+y24 相交于 A，B 两点，则的值为（） A8B4C4D2 10已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2Sn+an3，则（） A364B543C728D1022 11已知以 F 为焦点的抛物线 y24x 上的两点 A，B 满足3，则点 A 的横坐标为 （） A1BC2
4、D3 12已知函数 f（x）1，下列说法正确的是（） Af（x）既不是奇函数也不是偶函数 Bf（x）的图象与 ysinx 有无数个交点 Cf（x）的图象与 y2 只有一个交点 Df（2）f（1） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13若实数 x，y 满足约束条件，则 zx+3y 的最大值为 14已知双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线过点（1，3），则 C 的离心 率为 15将函数 y3cos（2x+）的图象向右平行移动个单位长度得到函数 yf（x）的图 象，若 f（），则 f（2） 16在三棱锥 DABC 中，平面
5、 ABC平面 ABD，ABAD，ABAD4，ACB， 若三棱锥 DABC 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 三三、解答题解答题：共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题题为必考题，每每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答.（一一）必考题必考题：共共 60 分分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsinAacos（B） （1）求 B； （2）设 a2，b，延长 AC 到点 D 使 AC2CD，
6、求BCD 的面积 18某高校筹办大学生运动会，设计两种赛事方案：方案一、方案二、为了了解运动员对活 动方案是否支持，对全体运动员进行简单随机抽样，抽取了 100 名运动员，获得数据如 表： 方案一方案二 支持不支持支持不支持 男运动员20 人40 人40 人20 人 女运动员30 人10 人20 人20 人 假设所有运动员对活动方案是否支持相互独立 （1）根据所给数据，判断是否有 99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关？ （2）在抽出的 100 名运动员中，按是否支持方案二分层抽样抽出了 5 人，从这 5 人中随 机抽取 2 人，求抽取的 2 人都支持方案二的概率 附：K2，na+b
7、+c+d P（K2k）0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 19已知四边形 ABCD 是直角梯形，ABCD，C45，AB2，CD4，E，F 分别为 CD，BC 的中点（如图 1），以 AE 为折痕把ADE 折起，使点 D 到达点 S 的位置且平 面 SAE平面 ABCE（如图 2） （1）求证：EFSE； （2）求点 C 到平面 SEF 的距离 20已知 A，B 分别为椭圆 C：+1（ab0）的左、右顶点，F 为右焦点，点 P 为 C 上的一点，PF 恰好垂直平分线段 OB（O 为坐标原点），|PF| （1）求椭圆 C 的方程； （2） 过 F 的直线 l 交 C
8、 于 M， N 两点， 若点 Q 满足+（Q， M， N 三点不共线） ， 求四边形 OMQN 面积的取值范围 21已知函数 f（x）在 x1 处取得极值 （1）求实数 a 的值，并求函数 f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）+x+0 四四、（二二）选考题选考题：共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中选一题作答题中选一题作答.如果多做则按所做的第一如果多做则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的
9、极坐标方程为（cossin）2 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知点 P（3，1），直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值 五、五、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|x5| （1）解不等式 f（x）6； （2）若正实数 a，b 满足 a+bab，且函数 f（x）的最小值为 m，求证：a+bm 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x240，BN，则 AB（） A1B0，1C1，01Dx|2x2 解：Ax|2x2，BN， AB0，1 故选：B
10、2若复数 z 满足（2+i）z4，则复数 z 在复平面内对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 解：因为（2+i）z4，所以， 故复数 z 在复平面内对应的点为，位于第四象限 故选：D 3已知an为等差数列，a45，a77，则其前 10 项和 S10（） A40B20C10D8 解：由等差数列的性质可得：a1+a10a4+a75+72， 则其前 10 项和 S105210， 故选：C 4若 l，m 是平面外的两条不同直线，且 m，则“lm”是“l”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解：l，m 是平面外的两条不同的直线，m， 若 lm
11、，则推出“l”， 若 l，则 lm 或 l 与 m 相交， 故若 l，m 是平面外的两条不同直线，且 m，则“lm”是“l”的充分不必要条 件 故选：A 5某学校调查了高三 1000 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率 分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5） ， 22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，以下结论不正确的是（） A估计这 1000 名学生每周的自习时间的众数是 23.85 B估计这 1000 名学生每周的自习时间的中位数是 23.75 C估计这 1000 名学生每周的自习时间小于
12、 22.5 小时的人数是 300 D估计这 1000 名学生每周的自习时间不小于 25 小时的人数是 300 解：对于 A，在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐 标， 故估计这 1000 名学生每周的自习时间的众数是（22.5+25）223.75，故选项 A 错误； 对于 B，在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行 于 y 轴的直线横坐标， 设中位数为 x，则有 0.022.5+0.12.5+（x22.5）0.160.5，解得 x23.75， 所以估计这 1000 名学生每周的自习时间的中位数是 23.75，故选项 B 正确； 对于 C
13、，每周的自习时间小于 22.5 小时的频率为（0.02+0.1）2.50.3， 所以估计这 1000 名学生每周的自习时间小于 22.5 小时的人数是 0.31000300， 故选项 C 正确； 对于 D，每周的自习时间不小于 25 小时的频率为（0.08+0.04）2.50.3， 所以估计这 1000 名学生每周的自习时间不小于 25 小时的人数是 0.31000300，故选 项 D 正确 故选：A 6中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框 图，若输入 x2，n2，依次输入 a 的值为 1，2，3，则输出的 s（） A10B11C16D17 解：输入的 x
14、2，n2， 当输入的 a 为 1 时，S1，k1，不满足退出循环的条件； 当再次输入的 a 为 2 时，S4，k2，不满足退出循环的条件； 当输入的 a 为 3 时，S11，k3，满足退出循环的条件； 故输出的 S 值为 11， 故选：B 7设 a0.60.4，blog0.64，clog23，则 a，b，c 的大小关系为（） AabcBbcaCcabDbac 解：y0.6x为减函数，00.60.40.60，即 0a1， y为减函数，b，即 b0， y为增函数，c1，即 c1， cab， 故选：D 8函数 f（x）的部分图象大致为（） AB CD 解：f（x）f（x），函数 f（x）为奇函数，排
15、除选项 B 和 C， 当 x+时，ex比 x 增长的快，f（x）0，排除选项 D， 故选：A 9已知直线 l：yx+2 与圆 O：x2+y24 相交于 A，B 两点，则的值为（） A8B4C4D2 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立得 x2+2x0， 解得 x0，x2， 设 A（0，2），则 B（2，0）， 则（2，2）（0，2）20+224 故选：C 10已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2Sn+an3，则（） A364B543C728D1022 解：2Sn+an2Sn+（SnSn1）3， Sn（Sn1）（n2）， 由 2a1+a13a11a1， 数列Sn是以为首项
16、，为公比的等比数列， Sn， S6 a632S6， （7291）364， 故选：A 11已知以 F 为焦点的抛物线 y24x 上的两点 A，B 满足3，则点 A 的横坐标为 （） A1BC2D3 解：设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为：yk（x1）， 联立方程组，消元得：k2x2（2k2+4）x+k20， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1x21 3，F（1，0）， 1x13（x21）， 解方程组，可得 x13，x2， 故选：D 12已知函数 f（x）1，下列说法正确的是（） Af（x）既不是奇函数也不是偶函数 Bf（x）的图象与 ysinx 有无数个交点 Cf（
17、x）的图象与 y2 只有一个交点 Df（2）f（1） 解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，函数 f（x）1，其定义域为x|x0， 则 f（x）+f（x）1+1 20，则 f（x）为奇函数，A 错误； 对于 B， 函数 f （x） 1， 当 x0 时， 有 f （x） 121 1， 又由 f（x）为奇函数，则当 x0 时，f（x）1， 即 f（x）在 R 上值域为（，1）（1，+），则 f（x）的图象与 ysinx 没有交 点，B 错误， 对于 C，若 f（x）2，则有12，即 log3（9x+1）3x，变形可得 9x+1 27x，即（）x+（）x1， 设 g（x）（）x+（）x，则 g（x
18、）为减函数且其值域为（0，+）， 则 g（x）1 有且只有 1 解，即 f（x）的图象与 y2 只有一个交点，C 正确， 对于 D，f（2）11（） log3log3， f（1）log3（+1）1（log3+1）log3， 则有 f（2）f（1），D 错误， 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13若实数 x，y 满足约束条件，则 zx+3y 的最大值为4 解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（1，1）， 由 zx+3y，得 y，由图可知，当直线 y过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值
19、为 4 故答案为：4 14已知双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线过点（1，3），则 C 的离心 率为 解：双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线过点（1，3）， 可得双曲线的一条渐近线方程 bxay0， b3a， c， e 故答案为： 15将函数 y3cos（2x+）的图象向右平行移动个单位长度得到函数 yf（x）的图 象，若 f（），则 f（2） 解：将函数 y3cos（2x+）的图象向右平行移动个单位长度， 得到函数 yf（x）3cos（2x）的图象，若 f（）3cos（2）， cos（2）， 则 f（2）3cos2（2）3cos（4）32 1 3（21）， 故答案为： 16在三棱
20、锥 DABC 中，平面 ABC平面 ABD，ABAD，ABAD4，ACB， 若三棱锥 DABC 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为80 解：设ABC 的外心为 O1，半径 r，三棱锥 DABC 的外接球球心 O，半径 R， 过 O1作 AD 的平行线，过 D 作 AO1的平行线，两条直线交于 E， 因为平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABDAB， ABAD， 所以 AD平面 ABC， 因为 OO1平面 ABC， 所以 OO1AD， 则四边形 ADEO1为矩形， 易得 O 为 EO1中点， ABC 中，由正弦定理得，2r8， 所以 r4， R2AO216+420， 故 S4
21、R280 故答案为：80 三三、解答题解答题：共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题题为必考题，每每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答.（一一）必考题必考题：共共 60 分分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsinAacos（B） （1）求 B； （2）设 a2，b，延长 AC 到点 D 使 AC2CD，求BCD 的面积 解：（1）bsinAacos（B）由正弦定理，可得 bsinAasinB，
22、可得：asinBacos（B），可得：sinBcos（B），化简可得：tanB， B（0，）， B （2）由，可得 sinA， 可得 cosA， sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB， 所以 SABC2SBCDabsinC2，可得 SBCD 18某高校筹办大学生运动会，设计两种赛事方案：方案一、方案二、为了了解运动员对活 动方案是否支持，对全体运动员进行简单随机抽样，抽取了 100 名运动员，获得数据如 表： 方案一方案二 支持不支持支持不支持 男运动员20 人40 人40 人20 人 女运动员30 人10 人20 人20 人 假设所有运动员对活动方案是否支持相互独立 （
23、1）根据所给数据，判断是否有 99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关？ （2）在抽出的 100 名运动员中，按是否支持方案二分层抽样抽出了 5 人，从这 5 人中随 机抽取 2 人，求抽取的 2 人都支持方案二的概率 附：K2，na+b+c+d P（K2k）0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 解：（1）K216.66710.828， 有 99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关 （2）由表中数据可得，抽取 100 人中，支持方案二的有 60 人，不支持方案二的有 40 人， 所以采用分层抽样抽出的5人中， 支持方案二有3人， 不支持方案二有5
24、2 人， 支持方案二的 3 人记为 A，B，C，不支持方案二的 2 人记为 a，b， 从这 5 人中随机抽取 2 人，所有可能情况有： （A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C， a），（C，b），（a，b）共 10 种， 其中抽取的 2 人都支持方案二的 3 种， 所以所求的概率 P 19已知四边形 ABCD 是直角梯形，ABCD，C45，AB2，CD4，E，F 分别为 CD，BC 的中点（如图 1），以 AE 为折痕把ADE 折起，使点 D 到达点 S 的位置且平 面 SAE平面 ABCE（如图 2） （1）求证：EFSE； （2）求点 C
25、到平面 SEF 的距离 【解答】（1）证明：连结 BE，因为 CD4，E 为 CD 的中点，所以 DEAB2， 因为四边形 ABCD 是直角梯形，ABCD，所以 ABCD 是矩形，所以 BECD， 又C45，EC2，所以 ADBEEC2，所以四边形 ABED 是正方形， BEC 是等腰直角三角形，又 F 为 BC 的中点，所以 EFBC，又C45， 所以ADE 与EFC 都是等腰直角三角形，所以DEACEF45， 所以 EFAE， 因为平面 SAE平面 ABCE， 平面 SAE平面 ABCEAE， EF平面 ABCE， 所以 EF平面 SAE， 又 SE平面 SAE，所以 EFSE； （2）解
26、：设 AE 的中点为 O，连结 SO， 因为平面 SAE平面 ABCE， 所以点 S 到 AE 的距离 SO，又 SEFC1， 所以， 由（1）可知，EFSE，所以， 设点 C 到平面 SEF 的距离为 h， 由等体积法可得，VSEFCVCSEF，所以，解得 h1， 所以点 C 到平面 SEF 的距离为 1 20已知 A，B 分别为椭圆 C：+1（ab0）的左、右顶点，F 为右焦点，点 P 为 C 上的一点，PF 恰好垂直平分线段 OB（O 为坐标原点），|PF| （1）求椭圆 C 的方程； （2） 过 F 的直线 l 交 C 于 M， N 两点， 若点 Q 满足+（Q， M， N 三点不共线
27、） ， 求四边形 OMQN 面积的取值范围 解：（1）由题意可知 F（c，0），B（a，0）， PF 恰好垂直平分线段 OB， a2c， 令 xc，代入+1 得：y， ， ，解得， 椭圆 C 的方程为： （2）由题意可知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为：xmy+1， 设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立方程，消去 x 得：（3m2+4）y2+6my90， 36m2+36（3m2+4）0， ， 设 MN 的中点为 E，则+2， MN 与 OQ 互相平分，四边形 OMQN 为平行四边形， S平行四边形OMQN 2SOMN 2 |y1y2| ， 令 t1，则 S平行四边形OM
28、QN（t1）， y3t+3（t+）在1，+）上单调递增， 3t+4，（0，3， 0S平行四边形OMQN3 综上所述，四边形 OMQN 面积的取值范围为（0，3 21已知函数 f（x）在 x1 处取得极值 （1）求实数 a 的值，并求函数 f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）+x+0 解：（1）f（x），f（x）， 由题意，f（1）1a0，即 a1，则 f（x）（x0）， 当 x（0，1）时，f（x）0，当 x（1，+）时，f（x）0， f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+）； （2）要证 f（x）+x+0，即证0， x0，即证0， 令 g（x）x1lnx，则 g（x）1， 当
29、x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递减， 当 x（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递增， g（x）g（1）0，即 lnxx1，则 ln2x2x1，得 ln2+lnx2x1， lnx2x1ln2， 则， 令 h（x）， ln2ln，则 h（x）0， 故0 成立， 则 f（x）+x+0 四四、（二二）选考题选考题：共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中选一题作答题中选一题作答.如果多做则按所做的第一如果多做则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数），以原点 O
30、为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为（cossin）2 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知点 P（3，1），直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值 解：（1）曲线 C 的参数方程为（t 为参数），转换为直角坐标方程为 ， 直线 l 的极坐标方程为（cossin）2，根据，转换为直角坐标方程 为 xy20 （2） 直线l的直线坐标方程转换为参数方程为：（t为参数） ， 代入， 得到， 所以， 所以：|PA|+|PB| 五、五、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|x5| （1）解不等式 f（x）6； （2）若正实数 a，b 满足 a+bab，且函数 f（x）的最小值为 m，求证：a+bm 解：（1）因为 f（x）|x1|+|x5|，f（x）6， 所以当 x1 时，不等式即为x+1x+56，解得 x0，得 0 x1 当 1x5 时，不等式即为 x1x+5646，得 1x5 当 x5 时，不等式即为 x1+x56，解得 x6，得 5x6 综上，不等式 f（x）6 的解集为0，6 （2）证明：f（x）|x1|+|x5|（x1）（x5）|4，所以 m4 正实数 a，b，a+bab， 所以， （当且仅当，即 ab2 时等号成立） 所以 a+bm
