1、2021 年宁夏中卫市高考数学二模试卷（理科）年宁夏中卫市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分）. 1已知集合 AxN|2x70，Bx|x22x30，则 AB（） Ax|0 x3B0，1，2，3CD1，2，3 2设复数，那么在复平面内复数 3z1 对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3已知 alog32，b20.1，则（） AabcBbacCbcaDcba 4若 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，且 m，n，则“mn”是“ ”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 5某四棱锥的三
2、视图如图所示，该四棱锥的最长棱为（） A2BCD4 6埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂， 采用的思路可以说是世界上独一无二的古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是 1 的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数埃及分数求和是一个古老而 饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（） A B C D 7已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，过点 F 且斜率为的直线交抛物线 于点 M（M 在第一象限），MNl，垂足为 N，直线 NF 交 y 轴于点 D，若， 则抛物线的方程是（） Ay2xBy22xCy24xDy28x
3、8中国书法历史悠久、源远流长书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富 着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观谈到书法艺术，就离不开汉字汉字是书法艺 术的精髓汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺 术我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有 甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立， 则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（） ABCD 9某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（） Af（x）（exe x）cosx Bf（x）（exe x）|cosx| Cf（x）（ex+e x）cosx Df
4、（x）（ex+e x）sinx 10点 P 是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、 右焦点，点 I 是PF1F2的内切圆圆心，记IPF1，IPF2，IF1F2的面积分别为 S1，S2， S3，若 S1S2恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（） A（0，2B2，+）C（1，2D 11若 lnxlny（x1，y1），则（） Aey x1 Bey x1 Cey x11 Dey x11 12 棱长为 4 的正方体密闭容器内有一个半径为 1 的小球， 小球可在正方体容器内任意运动， 则其不能到达的空间的体积为（） A32B4812C28D20 二、填空题：（本大题共二、填空题：（本大题共
5、4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知随机变量服从正态分布 N（3，2），P（6）0.84，则 P（0） 14设 x函数 f（x）3cosx+sinx 的一个极值点，则 tan 15已知是空间单位向量，若空间向量 满 足（x，yR），| |2，则|的最大值是 16若数列an满足 a12，an+14an+4+1，则使得 an20202成立的最小正整数 n 的值 是 三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 3 小题，满分小题，满分 34 分分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知，如图四棱锥 PABCD 中
6、，底面 ABCD 为菱形，ABC60，ABPA2，PA 平面 ABCD，E，M 分别是 BC，PD 中点，点 F 在棱 PC 上移动 （1）证明：无论点 F 在 PC 上如何移动，都有平面 AEF平面 PAD； （2）当直线 AF 与平面 PCD 所成的角最大时，确定点 F 的位置 18已知椭圆的离心率为，椭圆的中心 O 到直线 x+y2b 0 的距离为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设过椭圆 C 的右焦点 F 且倾斜角为 45的直线 l 和椭圆交于 A，B 两点，对于椭圆 C 上任意一点 M，若，求的最大值 19已知函数（e2.71828是自然对数的底数） （1）若 f（x）在 x（0，
7、2）内有两个极值点，求实数 a 的取值范围； （2） a1 时， 讨论关于 x 的方程的根的个数 （二（二）选考题选考题：（请考生在第请考生在第 22、23 两道题中任选一题作答两道题中任选一题作答如果多做如果多做，则按所做的第一则按所做的第一 题记分）题记分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 20在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，aR）以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4cos，射线 与曲线 C 交于 O，P 两点，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点 （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角
8、坐标方程； （2）当|AB|OP|时，求 a 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 21设函数 f（x）|x+1|x|的最大值为 m （1）求 m 的值； （2）若正实数 a，b 满足 a+bm，求的最小值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 AxN|2x70，Bx|x22x30，则 AB（） Ax|0 x3B0，1，2，3CD1，2，3 解：，Bx|1x3， AB0，1，2，3 故选：B 2设复数，那么在复平面内复数 3z1 对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 解：复数i， 那么在复平面内复数 3z113i 对应
9、的点（1，3）位于第三象限， 故选：C 3已知 alog32，b20.1，则（） AabcBbacCbcaDcba 解：0log31alog32log331， 20.1b1201， cba 故选：D 4若 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，且 m，n，则“mn”是“ ”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 解：若 m，mn，则 n，又 n，所以，即“mn”是“”的充分条件； 若 m，则 m或 m，又 n，所以 m，n 的关系不确定， 即“mn”是“”的不必要条件； 所以“mn”是“”的充分不必要条件 故选：A 5某四棱锥的三视图如图所示，
10、该四棱锥的最长棱为（） A2BCD4 解：由题意几何体的直观图如图：正四棱锥 PABCD， 其中，PO底面 ABCD，ABCD 是正方形， 对角线长为 2，PO2， 所以 PCPAPBPD， ABBCCDDA2， 所以最长的棱长为 故选：C 6埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂， 采用的思路可以说是世界上独一无二的古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是 1 的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数埃及分数求和是一个古老而 饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（） A B C D 解：对于 A，+1；故 A 正确； 对于 B，+
11、（1 +）（1），故 B 不正确； 对于 C，+，故 C 正确； 对于 D，1+2+3+n， 2（）， +2（+）2（） ，故 D 正确 故选：B 7已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，过点 F 且斜率为的直线交抛物线 于点 M（M 在第一象限），MNl，垂足为 N，直线 NF 交 y 轴于点 D，若， 则抛物线的方程是（） Ay2xBy22xCy24xDy28x 解：由题意如图，过点 F 且斜率为的直线交抛物线于点 M（M 在第一象限）， 可知，NMF60， MNl，垂足为 N，直线 NF 交 y 轴于点 D，准线与 x 轴的交点为 A， 所以 MNFM， O 是 AF
12、的中点， ANOD 所以 D 是 NF 的中点，所以 MDNF， DMF 30， ，所以|MF|4，则|MN|4，|DF|2， 所以 F 在 MN 上的射影是 MN 是中点，所以 F（1，0）， 可得 p2， 所以抛物线方程为：y24x 故选：C 8中国书法历史悠久、源远流长书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富 着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观谈到书法艺术，就离不开汉字汉字是书法艺 术的精髓汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺 术我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有 甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研
13、习，且甲乙选书体互相独立， 则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（） ABCD 解：甲选两种书体共有 5420 种，乙选两种书体共有 5420 种，一共有 400 种选 法， 甲不选隶书体有 4312 种，乙不选草书体有 4312 种，共有 1212144 种选法， 共有 1212144 种选法， 则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为 P 故选：C 9某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（） Af（x）（exe x）cosx Bf（x）（exe x）|cosx| Cf（x）（ex+e x）cosx Df（x）（ex+e x）sinx 解：对于 B，当 x0 时，exe x0，cos
14、x0，故 f（x）（exex）|cosx|0，选项 B 错误； 对于 C，由 f（0）0 可知，选项 C 错误； 对于 D，当 x5 时，f（5）（e5+e 5）sin50，不符合题意，选项 D 错误 综上，只有选项 A 符合题意 故选：A 10点 P 是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、 右焦点，点 I 是PF1F2的内切圆圆心，记IPF1，IPF2，IF1F2的面积分别为 S1，S2， S3，若 S1S2恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（） A（0，2B2，+）C（1，2D 解： 设PF1F2的内切圆半径为 r， 则， 所以，所以 2ac， 所以 e2， 故选：B 11若
15、 lnxlny（x1，y1），则（） Aey x1 Bey x1 Cey x11 Dey x11 解：依题意， 令，则， 函数 f（t）在 R 上单调递增， ，即 f（lnx）f（lny）， lnxlny， 1xy， yx0， ey xe01 故选：A 12 棱长为 4 的正方体密闭容器内有一个半径为 1 的小球， 小球可在正方体容器内任意运动， 则其不能到达的空间的体积为（） A32B4812C28D20 解：由题意可知，小球球心活动的区域是棱长为 2 的正方体， 小球活动不到的区域分为两个部分，一部分是棱长为 2 的正方体的外部，另一部分是球 在棱长为 2 的正方体的顶点处的间隙， 小球在
16、容器内活动不到的体积相当于棱长为 2 的正方体中间挖掉一个半径为 1 的球的剩 余部分， 所以其体积为 V正方体V球， 球在顶点处活动不到的部分放在一起，可以看成高为 2，底面积为 4 的正四棱柱（3 个） 中间挖掉底面积为，高为 2 的圆柱（3 个）剩下部分的体积， 其体积为 V正四棱柱V圆柱3（242）246， 所以小球活动不到的部分的体积为 故选：A 二、填空题：（本大题共二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知随机变量服从正态分布 N（3，2），P（6）0.84，则 P（0） 0.16 解：随机变量服从正态分布 N（3，2）， 3
17、， P（6）0.84， P（6）10.840.16， P（0）P（6）1P（6）0.16， 故答案为：0.16 14设 x函数 f（x）3cosx+sinx 的一个极值点，则 tan 解：f（x）3sinx+cosx， 因为 x是函数 f（x）3cosx+sinx 的一个极值点， 所以 f（）3sin+cos0， 所以 tan 故答案为： 15已知是空间单位向量，若空间向量 满 足（x，yR），| |2，则|的最大值是 解：空间向量 满足（x，yR）， 由| |2， 整理得， 即 x2+y2+xy4， 又， 由于 x2+y22xy， 所以由 x2+y2+xy4，整理得 3xy4， 即， 所以|
18、x+y|2x2+y2+2xyx2+y2+xy+xy， 故， 所以 故答案为： 16若数列an满足 a12，an+14an+4+1，则使得 an20202成立的最小正整数 n 的值 是11 解：an+14an+4+10， 2+1，+12（+1），+1+1， 数列+1是等比数列，首项为+1，公比为 2， +1（+1）2n 1， （+1）2n 11， 则不等式 an20202，化为：2020， （+1）2n 112020， n10 时不成立，n11 时，左边（+1）102412.410242457.62020右 边 使得 an20202成立的最小正整数 n 的值是 11 故答案为：11 三、解答题：
19、（本大题共三、解答题：（本大题共 3 小题，满分小题，满分 34 分分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知，如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC60，ABPA2，PA 平面 ABCD，E，M 分别是 BC，PD 中点，点 F 在棱 PC 上移动 （1）证明：无论点 F 在 PC 上如何移动，都有平面 AEF平面 PAD； （2）当直线 AF 与平面 PCD 所成的角最大时，确定点 F 的位置 【解答】（1）证明：连接 AC， 底面 ABCD 为菱形，ABC60， ABC 为正三角形， E 是 BC 的中点， AEBC，
20、又 ADBC， AEAD， PA平面 ABCD，AE平面 ABCD， PAAE， PAADA，PA、AD平面 PAD， AE平面 PAD， AE平面 AEF， 平面 AEF平面 PAD （2）解：由（1）知，AE、AD、AP 两两垂直， 故以 AE、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A（0，0，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1）， ， 设， 设平面 PCD 的法向量为 （x1，y1，z1）， 则， 令，则 x11， 设直线 AF 与平面 PCD 所成的角为， 则 sin ， 当时，sin最大，此时 F 为 PC 的中点 18
21、已知椭圆的离心率为，椭圆的中心 O 到直线 x+y2b 0 的距离为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设过椭圆 C 的右焦点 F 且倾斜角为 45的直线 l 和椭圆交于 A，B 两点，对于椭圆 C 上任意一点 M，若，求的最大值 解：（1）， 椭圆的中心 O 到直线 x+y2b0 的距离为， ， b5b225，a24b2100， 椭圆 C 的方程为 （2）由（1）可知，由题可知直线 AB 的方程为，与椭圆 C 的方程联立， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则有 设 M（x，y），由， 得（x，y）（x1，y1）+（x2，y2）（x1+x2，y1+y2）， 又点 M 在椭圆上，x2+4
22、y2100， 点 A，B 在椭圆上， 将代入可得， ， ，当且仅当时取“” 的最大值为 19已知函数（e2.71828是自然对数的底数） （1）若 f（x）在 x（0，2）内有两个极值点，求实数 a 的取值范围； （2） a1 时， 讨论关于 x 的方程的根的个数 解：（1）由题意可求得， 因为 f（x）在 x（0，2）内有两个极值点， 所以 f（x）0 在 x（0，2）内有两个不相等的变号根， 即 exax0 在 x（0，2）上有两个不相等的变号根, 设 g（x）exax，则 g（x）exa， 当 a0 时，x（0，2），g（x）exa0， 所以 g（x）在（0，2）上单调递增，不符合条件；
23、 当 a0 时，令 g（x）exa0 得 xlna， 当 lna2，即 ae2时，x（0，2），g（x）exa0， 所以 g（x）在（0，2）上单调递减，不符合条件, 当 lna0，即 0a1 时，x（0，2），g（x）exa0， 所以 g（x）在（0，2）上单调递增，不符合条件, 当 0lna2，即 1ae2时，g（x）在（0，lna）上单调递减，（lna，2）上单调递增， 若要 exax0 在 x（0，2）上有两个不相等的变号根， 则 g(0)0 且 g(2)0 且 g(lna)0 且 0lna2，解得； 综上所述，a 的取值范围是(e,)； （2）设， 令，则，所以在上单调递增，在上单调
24、 递减, （） 当 x （1， +） 时， lnx0， 则， 所以, 因为，所以 h（x）0，因此 h（x）在（1，+）上单调递增, （） 当 x （0， 1） 时， lnx0， 则， 所以, 因为 e2x（1，e2），e2x1x0，2x11， 所以，因此 h（x）在（0，1）上单调递减, 综合（）（）可知，当 x（0，+）时，h（x）h（1）e 2b， 当 h（1）e 2b0，即 be2时，h（x）没有零点，故关于 x 的方程根的个数为 0， 当 h（1）e 2b0，即 be2时，h（x）只有一个零点，故关于 x 的方程根的个 数为 1， 当 h（1）e 2b0，即 be2时， 当 x（1，
25、+）时， 要使 h（x）0，可令 lnx1b0，即 x（e1+b，+）； 当 x（0，1）时， 要使 h（x）0，可令lnx1b0，即 x（0，e 1b）， 所以当 be 2时，h（x）有两个零点，故关于 x 的方程根的个数为 2； 综上所述：当 be 2时，关于 x 的方程根的个数为 0， 当 be 2时，关于 x 的方程根的个数为 1， 当 be 2时，关于 x 的方程根的个数为 2 （二（二）选考题选考题：（请考生在第请考生在第 22、23 两道题中任选一题作答两道题中任选一题作答如果多做如果多做，则按所做的第一则按所做的第一 题记分）题记分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与
26、参数方程 20在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，aR）以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4cos，射线 与曲线 C 交于 O，P 两点，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点 （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）当|AB|OP|时，求 a 的值 解：（1）将直线 l 的参数方程为（t 为参数，aR）， 化为普通方程为 曲线 C 的极坐标方程为4cos， 转换为直角坐标方程为：x2+y24x0 （2）由， 得 P（） 所以|OP|2， 将直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2+y24x0， 得 由0， 得， 设 A、B 两点对应的参数为 t1和 t2， 则：|AB|t1t2|， 9 分） 解得，a0 或 a4 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 21设函数 f（x）|x+1|x|的最大值为 m （1）求 m 的值； （2）若正实数 a，b 满足 a+bm，求的最小值 解：（1）|x+1|x|x+1x|1； f（x）的最大值为 1； m1； （2）由（1）可知，a+b1； （或运用柯西不等式 +）2， 当且仅当 ab时取等号） （a+b）2 ； 当且仅当 ab时取等号； 即的最小值为
