1、长春市 2021 届高三质量监测（二）文科数学 3 月 一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.复数cosisin 33 z ，则复数z的虚部是 1313 A. B. C. 2222 D. 2.设全集Z,1,2,4,7,2,4,6,8UAB，则右图阴影部分表示的集合为， A. 1,7 B. 6,8 C. 2,4 D. 1,6,7,8 3.已知,m n是平面内的两条直线，则“直线lm且ln”是“l”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件的 4.党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域
2、取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华 民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020 年为脱贫攻坚收官之 年，下图为 2013 年至 2019 年每年我国农村减贫人数的条形图. 根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为 平均每年减贫人数超过 1300 万; 每年减贫人数均保持在 1100 万以上: 打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律; 历年减贫人数的中位数是 1240（万人） . A.1B.2C.3D.4 5已知抛物线方程为 2 4 y x ，则抛物线的准线方程为 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1xx
3、yy 6.已知 n S为等差数列 n a的前n项和，若 25 15,65aS，则 14 aa A.24B.26C.28D.30 7.已知函数( )2sin()(0,|)f xx的部分图象如图所示，则函数( )f x的解析式为 A.( )2sin() 6 f xx B.( )2sin() 12 f xx C.( )2sin(2) 6 f xx D.( )2sin(2) 12 f xx 8.已知直线l将圆 22 :210C xyxy 平分，且与直线230 xy垂直，则l的方程为 A. 20 B. 230 C. 240 D. 220 xyxyxyxy 9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 12
4、6，则判断框内的条件可以为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 nn nn 10.若, ,A B C是半径为2的圆上的三个点，且|2,| 2 2ABAC,则AB AC A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 11.现有如下信息: （1）黄金分割比（简称:黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较 长部分与整体长度之比，其比值为 51 2 . （2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形. （3）有一个内角为 36的等腰三角形为黄金三角形. 由上述信息可求得sin126 B. 4 A C. 515151 2 51 .D 24 . 12
5、.已知函数 2| | 1 ( ) 3 x f xxae至少有1个零点，则实数a的取值范围是 33 4 A. 1,+ ) B. ,+ ) C. 1,3 D. 3,) 3 eee 二、本题共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知点( , )P x y满足约束条件 4 0 4 xy xy x ，则2zxy的最小值为. 14.写出一个符合“对Rx ，( )()0f xfx”的函数( )f x . 15.已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为2yx ，则该双曲线的离心率为. 16.“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图） ，已知“天 眼”的形状为球冠（球冠是
6、球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底， 垂直于圆面的直径被截得的部分为高） ，设球冠底的半径为r,球冠的高为h， 则球的半径R . 三、解答题:共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题:共 60 分. 17.随着互联网行业、 传统行业和实体经济的融合不断加深， 互联网对社会经济发展的推动效果日益显著 某 大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了 充分的调查后，得到下列信息，如右图所示（其中x表示开设网店数量，y表示这x
7、个分店的年销售额总 和） 现已知 55 11 8850,2000 iii ii x yy ，求解下列问题： （）经判断，可利用线性回归模型拟合y与x的关系，求解y关于x的回归方程; （ II）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润w（单位:万元）满足 2 5140wyx，请根 据:（）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大. 参考公式：线性回归方程 ybxa ，其中aybx ， 1 2 2 1 i n i i i i n x ynxy b xxn . 18.已知三棱柱 111 -ABC ABC,ABAC, 1 AA平面ABC， 1 24AAABAC,M为棱AB上
8、一点， 若3AMBM. （）求证： 1 B M平面 11 ABC； （ II）求三棱锥 11 -M BBC的体积. 19.已知等比数列 n a满足： 1223 20,80aaaa. （）求 n a的通项公式； （ II）令 2 log nn ba，其前n项和为 n S，求 9 n n b S 的最大值. 20.已知椭圆 22 22 1(0) xy a b ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，离心率为 1 2 ，过椭圆右焦点的直线交椭圆于 ,A B两点， 1 AFB的周长为8，O为坐标原点. （）求椭圆的方程； （ II）求AOB面积的最大值. 21.已知函数 2 1 ( )ln(1) .
9、2 f xxaxa x （）讨论函数( )f x的单调性； （ II）若 2 ( ) 2 a f x 恒成立，求正实数a的取值范围. 22.选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线 1 C的参数方程为 cos sin xt yt （t为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴非负半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 cos3. （I）求曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程; （II）曲线 1 C与 2 C相交于A、B两点，求| |OAOB的值. 23选修 4-5 不等式选讲 已知函数( ) |1|f xx. （）解不等式( )(4)8f xf
10、x; （II）若| 1,| 1,0aba，求证：() |( ) b f aba f a . 长春市普通高中长春市普通高中 2021 届高三质量监测（届高三质量监测（二二） 数学（数学（文文科）试题参考答案及评分标准科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.【试题解析】D 复数z的虚部为 3 sin 32 ，故选 D. 2.【试题解析】A 易知阴影部分为集合()1,7 U AB ，故选 A. 3.【试题解析】B 若m与n不相交，则“直线lm且ln”不能推出“l”；反之，如果“l”，无 论m与n是否相交， 都能推出“直线lm且ln”， 故“直
11、线lm且ln”是“l”的必要不充分条件， 故选 B. 4.【试题解析】C 由图易知正确，中位数应为 1289（万） ，错，故选 C. 5.【试题解析】D 由抛物线的定义可知. 故选 D. 6.【试题解析】C 由题意 533 565,13Saa，所以 1423 28aaaa，故选 C. 7.【试题解析】C 由题意知，函数的周期为，即2，图象向左平移 12 ，即 6 ，故选 C. 8.【试题解析】D由题意知，直线l过点 1 (,1) 2 ，斜率为2，所以直线:220lxy，故选 D. 9.【试题解析】B 由程序框图知， 112126 2 ,2;22 ,3;222126,7SnSnSn， 所 以7n
12、 时不满足判断条件，输出S，故选 B. 10.【试题解析】D由数量积的几何意义可知AC为直径，AB与AC成角60，故2AB AC . 故选 D. 11.【试题解析】D由题意，设ABC为36A 的黄金三角形，有 51 , 2 a bc b ，所以 222 51 cos36 24 bca bc ，所以 51 sin126cos36 4 ，故选 D 12.【试题解析】A令( )0f x 有 | |2 1 3 x aex，令 | |2 1 ( ) 3 x g xex，易知其为偶函数，当0 x 时， 2 122 ( ),( )10 333 xx g xexg xexxx ，所以 | |2 1 ( ) 3
13、 x g xex在(0,)上是增函数，且 ( )(0)1g xg，易知( )g x的值域为1,)，所以1a ，故选 A. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 【答案】6【解析】可行域为 由2zxy得2yxz ，过（2,2）点时有最小值 6. 14. 【答案】例如 3 ( )f xx【解析】可得函数为奇函数. 15.【答案】5【解析】可得 2 21 ( )5 bb e aa . 16.【答案】 22 2 hr h 【解析】由 22 22222 ()20 2 rh RrRhrRhhR h 三、解答题 17.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解
14、： （1）由题意， 5 2 1 885020 400 90,4,85 9080 i i xxb ，40085460a ， 所以8560yx， （2）由（1）知， 22 171125 585805() 24 wxxx ，所以当8x 或9x 时能获得总 利润最大. 18.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）证明： 1 1 11 1111 111 A AABC A AAC ACA ABBACABC ACB MACB M ABAC B MA ABB 平面 平面平面 ，即 平面 111 111 11 ACB M B MABC ABB M 平面. （6 分） （2） 1 11
15、11111 1 11 1 1 111 1114 4 4 2 444 312 23 MBB CCBB MCA BBB A B CABC A B C VVVVV . （12 分） 19.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）由题意 11 2 11 20 80 aa q a qa q ，可知4q ，进一步解得 1 4a . 即 n a的通项公式为4n n a . （6 分） （2） 22 loglog 42 n nn ban， 2 1 2(1) 2 2 n Snn nnn， 2 222 9 997 1 n n bn Snn n n ，当且仅当3n 时“”成立， 即 9 n
16、 n b S 的最大值为 2 7 . （12 分） 20.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）设椭圆半焦距为c，由题意可知48,2aa， 由离心率有 2 1,3cb，所以椭圆方程为 22 1 43 xy .（4 分） （2）设直线:1AB xty，联立方程组 22 1 43 1 xy xty ，消去x得 22 (43 )690tyty， 设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，有 1212 22 69 , 4343 t yyy y tt ，由 2 | 1OF ， 所以OAB的面积 2 212 2 2 2 16 16 | 1 243 3 1 1 t SOF
17、yy t t t ， 由函数 1 3yx x 在1,)x上单调递增，所以 2 2 1 3 14 1 t t ， 当且仅当0t 时取等号， 所以 2 2 63 1 2 3 1 1 S t t ，所以OAB面积的最大值为 3 2 （12 分）. 21. （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】 解： （1） 定义域为(0,)上， 2 (1)(1)() ( )1 axa xaxxa fxxa xxx ， 当0a 时，在(0,)上( )0fx，所以( )f x在定义域(0,)上单调递增 当0a 时，令( )0fx有xa，令( )0fx有0 xa， 所以( )f x在(0, )a上单调递减
18、，在( ,)a 上单调递增. （4 分） （2）令 2 ( )( ) 2 a g xf x，由（1）及a为正数知， 2 ( )( ) 2 a g xf x在xa处取最小值，所以 2 ( ) 2 a f x 恒成立等价于( )0g a ， 即ln(1)0aaa a，整理得ln10aa 令( )ln1h xxx，易知( )h x为增函数，且(1)0h， 所以ln10aa 的a的取值范围是01a（12 分） 22.（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【试题解析】 （1）曲线 1 C的普通方程为cossin0yx，即极坐标方程为（R）. 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 23xyx，即 22 (1)4xy. （5 分） （2）曲线 2 C的极坐标方程为 2 2cos30 ，代入，可得 12 3 ， 则 12 | | | 3OAOB . （10 分） 23.（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【试题解析】 （1）( )(4) |1|3|8f xf xxx，则(, 53,)x . （5 分） （2）要证() |( ) b f aba f a 成立，即证|1| |abba成立， 即证 2222 1baba成立，只需证 222 (1)(1)0a bb成立 即证 22 (1)(1)0ab成立，由已知| | 1,| 1ab 得 22 (1)(1)0ab显然成立.（10 分）
