1、长春市 2021 届高三质量监测（二）理科数学 3 月 一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.复数 22 cosisin 33 z ，则复数z的虚部是 1313 A. B. C. 2222 D. 2.设全集 2 R, |40, |1UAxxBx x，则右图阴影部分表示的集合为， A. ( 1,2 B. 1,2 C. 2, 1) D. (, 1 3.已知,m n是平面内的两条直线，则“直线lm且ln”是“l”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件的 4.党的十八大以来，我们在
2、脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华 民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020 年为脱贫攻坚收官之 年，下图为 2013 年至 2019 年每年我国农村减贫人数的条形图. 根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为 平均每年减贫人数超过 1300 万; 每年减贫人数均保持在 1100 万以上: 打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律; 历年减贫人数的中位数是 1240（万人） . A.1B.2C.3D.4 5已知 5 道试题中有 3 道代数题和 2 道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回
3、.在第 1 次抽到 代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为 1213 A. B. C. D. 4525 6.已知 n S为等差数列 n a的前n项和，若 25 15,65aS，则 14 aa A.24B.26C.28D.30 7.已知直线l将圆 22 :210C xyxy 平分，且与直线230 xy垂直，则l的方程为 A. 20 B. 230 C. 240 D. 220 xyxyxyxy 8.四边形ABCD中，2,0,| 2ABDCAB BCAB ,则AD DC A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 9.现有如下信息: （1）黄金分割比（简称:黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部
4、分与较长部分的长度之比等于较 长部分与整体长度之比，其比值为 51 2 . （2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形. （3）有一个内角为 36的等腰三角形为黄金三角形. 由上述信息可求得sin126 B. 4 A C. 515151 2 51 .D 24 . 10.已知抛物线 2 2(0)ypx p上一点 0 (2,)Ay，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点M，满足 2FAAM ，则抛物线方程为 2222 A B. C. . 86D. 1 2432yxyxyxyx 11.已知函数( )2sin()(0,|)f xx的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述:
5、 2; 3 ; 若 12 3 xx ，则 12 ()()f xf x; 若 12 3 xx ，则 12 ()()0f xf x. 其中正确的命题是 A.B.C.D. 12. 已 知 函 数 2 ( ) x xx e f x ee 与 函 数 3 ( )121g xxx 的 图 象 交 点 分 别 为 ： 111 ( ,)P x y， 222 (,),(,)(N ) kkk P xyP xyk ，则 1212 ()() kk xxxyyy A. 2 B. 0 C. 2 D. 4 二、本题共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知点( , )P x y满足约束条件 4 0 4 xy xy x ，则
6、2zxy的最小值为. 14.写出一个符合“对 12 ,Rx x，当 12 xx时， 1212 () ()()0 xxf xf x”的函数. 15.已知焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为2yx ，则该双曲线的离心率为. 16.“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图） ，其反射 面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆 面的直径被截得的部分为高,球冠表面积2SRh，其中R为球的半径，h球冠 的高） ，设球冠底的半径为r,周长为C，球冠的面积为S，则 r R 的值为 （结果用S、C表示） 三、解答题:共 70 分，解答应写出
7、文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题:共 60 分. 17.随着互联网行业、 传统行业和实体经济的融合不断加深， 互联网对社会经济发展的推动效果日益显著 某 大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了 充分的调查后，得到下列信息，如右图所示（其中x表示开设网店数量，y表示这x个分店的年销售额总 和） 现已知 55 11 8850,2000 iii ii x yy ，求解下列问题： （）经判断，可利用线性回归模型拟合y与x的关系，求解y关于x的回
8、归方程; （ II）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润w（单位:万元）满足 2 5140wyx，请根 据:（）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大. 参考公式：线性回归方程 ybxa ，其中aybx ， 1 2 2 1 i n i i i i n x ynxy b xxn . 18.已知三棱柱 111 -ABC ABC,ABAC, 1 AA平面ABC， 1 24AAABAC,M为棱AB上一点， 若3AMBM. （）求证：平面 11 ABC平面 11 BC M； （ II）求平面 11 A ACC与平面 11 BC M所成锐二面角的余弦值. 19.已知等比数
9、列 n a满足： 1223 20,80aaaa. （）求 n a的通项公式； （ II）令 2 log nn ba，其前n项和为 n S，若 11 n n b S 恒成立，求的最小值. 20.已知函数 2 ( ),( )ln .f xaxg xx （）当1a 时，求( )( )f xg x的最小值； （ II）若曲线( )yf x与( )yg x有两条公切线，求a的取值范围. 21.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Ca b ab 的离心率为 1 2 ， 3 (1, ) 2 P为椭圆上一点，,A B为椭圆上不同两点，O 为坐标原点. （）求椭圆C的方程； （ II）线段AB的中点为M，当
10、AOB面积取最大值时，是否存在两定点,G H，使|GMHM为 定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由. 22.选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线 1 C的参数方程为 cos sin xt yt （t为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴非负半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 cos3. （I）求曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程; （II）曲线 1 C与 2 C相交于A、B两点，求| |OAOB的值. 23选修 4-5 不等式选讲 已知函数( ) |1|f xx. （）解不等式( )(4)8f xf x; （II）若|
11、1,| 1,0aba，求证：() |( ) b f aba f a . 长春市普通高中长春市普通高中 2021 届高三质量监测（二）届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60分） 1. 【试题解析】D复数z的虚部为 23 sin 32 ，故选 D. 2.【试题解析】A易知阴影部分为集合()( 1,2 U AB ，故选 A. 3. 【试题解析】 B若m与n不相交， 则“直线lm且ln”不能推出“l”； 反之， 如果“l”， 无论m与n是否相交， 都能推出“直线lm且ln”， 故“直线lm且
12、ln”是“l”的必要不充 分条件，故选 B. 4.【试题解析】C由图易知正确，中位数应为 1289（万） ，错，故选 C. 5.【试题解析】C设事件A “第 1 次抽到代数题” ，事件B “第 2 次抽到几何题”，则 3 21 (|) 3 42 P B A ，故选 C. 6.【试题解析】C由题意 533 565,13Saa，所以 1423 28aaaa，故选 C. 7.【试题解析】D由题意知，直线l过点 1 (,1) 2 ，斜率为2，所以直线:220lxy，故选 D. 8.【试题解析】B由题意知| 1,0DCDC BC ，所以 ()1AD DCABBCCDDCAB DCCD DC ，故选 B
13、9.【试题解析】D 由题意，设ABC为36A 的黄金三角形， 有 51 , 2 a bc b ，所以 222 51 cos36 24 bca bc ， 所以 51 sin126cos36 4 ， 另外36AB，108C ，也可获得此结果，故选 D. 10.【试题解析】C由2FAAM 知A为 线 段FM上 靠 近F的 三 等 分 点 ， 所 以 0 (,0),(,3) 22 pp FMy，有 2 2(2)2,12,24 22 pp pyx，故选 C. 11.【试题解析】C由图知，1 2 5 ,2 21212 ，2 ()2,0, 126 kk ， 故正确， 错误；中， 12 , 26 xx 而直线
14、 6 x 是函数( )f x的对称轴，故正确，错误，故选 C. 12.【试题解析】D由题意化简，( )1 xx xx ee f x ee ，可知( )f x的图象与( )g x的图象都关于点(0,1) 对称，又 2 22 4 ( )0 (1) x x e fx e ，所以( )f x在(,0),(0,)上单调递减，由 2 ( )3(4)g xx 可 知，( )g x在(, 2),(2,) 上单调递减，在( 2,2)上单调递增，由图象可知，( )f x与( )g x的图 象有四个交点，且都关于点(0,1)对称，所以所求和为 4，故选 D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
15、 分） 13. 【答案】6【解析】可行域为 由2zxy得2yxz ，过（2,2）点时有最小值 6. 14. 【答案】例如x【解析】可得此函数为单调递减函数，写出一个减函数即可. 15. 【答案】 5 2 【解析】注意到双曲线的焦点在y轴上，可得 2 5 21 ( ) 2 ab e ba . 16. 【答案】 2 4 2 CSC S 【解析】 22 22()SRhR RRr, 222 24CrCr 两式对应相除得 2222 2 222222 2()()2 ()1 42 SR RRrSR RRrSR RR CrCrCrrr 设 R m r 得 22222 222 2 2222 111 4 SSSS
16、 m mmmm mm mmm CCC CSC 所以 2 4 2 rCSC RS . 三、解答题 17.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）由题意， 5 2 1 885020 400 90,4,85 9080 i i xxb ，40085460a ， 所以8560yx. （6 分） （2）由（1）知， 22 171125 585805() 24 wxxx ， 所以当8x 或9x 时能获得总利润最大. （12 分） 18.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）证明： 1 1 11 1111 111 A AABC A AAC ACA ABBA
17、CABC ACB MACB M ABAC B MA ABB 平面 平面平面 ，即 平面 111 111 111111 111 ACB M B MABC ABB MBC MABC B MBC M 平面 平面平面 平面 . （6 分） （2）以A为原点，AB方向为x轴，AC方向为y轴， 1 AA方向为z轴， 建立空间直角坐标系. 1(4,0,2) B， 1(0,4,2) C，(3,0,0)M， 11 ( 4,4,0)BC ， 1 ( 1,0, 2)B M 平面 11 BC M的法向量为 1 (2,2, 1)n ，平面 11 A ACC的法向量为 2 (1,0,0)n 即平面 11 A ACC与平面
18、 11 BC M所成锐二面角的余弦值为 12 12 |2 cos 3| | n n nn ， 即平面 11 A ACC与平面 11 BC M所成锐二面角的余弦值为 2 3 . （12 分） 19.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）由题意 11 2 11 20 80 aa q a qa q ，可知4q ， 进一步解得 1 4a . 即 n a的通项公式为4n n a . （6 分） （2） 22 loglog 42 n nn ban， 2 1 2(1) 2 2 n Snn nnn， 2 22 11 1111 1 n n bn Snn n n ，由 * nN， 利用
19、基本不等式以及对勾函数的性质可得 1120 3 n n 得 6 1123 n n b S 则的最小值为 6 23 . （12 分） 20.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）当1a 时，令 2 ( )( )( )lnF xf xg xxx， 1 ( )2F xx x （0 x ） 2 121 ( )2 x F xx xx ，令( )0F x且0 x 可得 2 2 x ， min 21111 ()(ln2)ln2 22222 FF . （4 分） （2）方法一：由函数( )f x和( )g x的图象可知， 当( )( )f xg x时，曲线( )yf x与( )yg
20、 x有两条公切线. 即 2 lnaxx在(0,)上恒成立，即 2 ln x a x 在(0,)上恒成立， 设 2 ln ( ) x h x x ， 3 1 2ln ( ) x h x x 令 3 1 2ln ( )0 x h x x ，xe 即 max 1 () 2 hhe e ，因此， 1 2 a e . （12 分） 法二： 取两个函数相切的临界条件： 2 00 0 0 ln 1 2 axx ax x 解得 0 xe， 1 2 a e ， 由此可知，若两条曲线具有两条公切线时， 1 2 a e . （12 分） 21.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）由 1
21、 2 e 可设2at，ct，则3bt， 则方程化为 22 22 1 43 xy tt ， 又点 3 (1, ) 2 P在椭圆上，则 22 9 1 4 1 43tt ，解得1t ， 因此椭圆C的方程为 22 1 43 xy . （4 分） （2）当直线AB的斜率存在时，设AB直线的方程为ykxm， 联立直线AB和椭圆C的方程消去y得， 22 34()120 xkxm，化简得： 222 (34)84120kxkmxm， 2 22 212112 22 1118412 | |()4|()4 2223434 AOB kmm Smxxmxxx xm kk 222222 22 24 22 2222 2|2|
22、 4(3)(34)9312 3434 2 3 | 342 3 3434(34) mm k mmkmk kk mmm km kkk 当 2 2 1 342 m k 时，S取得最大值3，即此时 22 234mk， 又 12 2 8 34 km xx k ， 1212 2 6 ()2 34 m yyk xxm k ， 则 1212 (,) 22 xxyy M ，即 22 43 (,) 3434 kmm M kk 令 2 2 4 34 3 34 km x k m y k ，则 22 1 3 2 2 xy ， 因此平面内存在两点G、H使得| 2 2GMHM. 当直线AB的斜率不存在时，设(2cos ,
23、3sin )A，则(2cos ,3sin )B 2 3sincos3sin2 AOB S ，即当 4 取得最大值3. 此时AB中点M的坐标为( 2,0)，满足方程 22 1 3 2 2 xy ， 即| 2 2GMHM. （12 分） 22.（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【试题解析】 （1）曲线 1 C的普通方程为cossin0yx，即极坐标方程为（R）. 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 23xyx，即 22 (1)4xy. （5 分） （2）曲线 2 C的极坐标方程为 2 2cos30 ，代入，可得 12 3 ， 则 12 | | | 3OAOB . （10 分） 23.（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【试题解析】 （1）( )(4) |1|3|8f xf xxx，则(, 53,)x . （5 分） （2）要证() |( ) b f aba f a 成立，即证|1| |abba成立， 即证 2222 1baba成立，只需证 222 (1)(1)0a bb成立 即 证 22 (1)(1)0ab成 立 ， 由 已 知 | 1,| 1ab 得 22 (1)(1)0ab显 然 成 立 . （10 分）
