1、1. 已知四棱锥的顶点在底面的射影恰好是底面菱形的两对角线的交PABCDPABCD 点，若，则长度的取值范围为 3AB 4PB PA)5 ,7( 解析：如图设，则， P O A B xBO 2 16xPO ， 22 9xAO)3 , 0(,25 . 0 2 xxPA 2. 一个半径为 1 的小球在一个棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小64 球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_ 372 解析：如图，当小球贴着底面和三个侧面运动时， O M N P A B 它与底面的切点形成一个三角形，这个三角形和底面三角形之间的部分就是在底面上不能接 触的部分，设小球同时与底面和左右两侧面都相
2、切，O 为球心，与底面和右侧面切点分别为 M,N，平面 OMN 与底面棱 AB 交于点 P，显然，则为二面角的平面角， OMNAB MPN ，则,由二倍角公式可求得,而 3 1 cosMPN22tanMPN 2 2 tanOPM ，故,故四个面不能接触到面积=1 ONOM2MP6AP 672)62()64( 4 3 4 22 3. 在一个密封的容积为 1 的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液 面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ) 6 5 , 6 1 ( 解析：必须比如图的三棱锥体积大，然后小于剩余体 积，否则根据对称性一样液面是三角形 4. 一个半径为 2
3、 的球放在桌面上，桌面上的一点 1 A的正上方有一个光源A， 1 AA与球相 切， 1 6,AA 球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于_ 2 1 解析：（单德林双球）设 A1A2 上切点为 T，AB2 与球 O 切点为 P， 则而 4444 2 222 bTBPBAB 2 21 22 2 6BAAB 222 46b 5. 一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为的正三角形，这样的两个a 多面体的内切球的半径之比是一个最简分数，那么积是_6 n m mn 解析： 正六面体内切球的球心就是底面正三角形的中心，它到各个侧面的距离就是内切球半径， 可以直接求，也可以用体积法求
4、；而正八面体也可以用两种方法求解 6. 三位学友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半 径相等的圆口饮料杯，如图所示盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半设剩余饮 料的高度从左到右依次为，则它们的大小关系是 1 h 2 h 3 h B1 A2 A A1A1 B2 1 h 2 h 3 h 解析：圆锥、圆柱是圆台的特例，故介于，之间，结论是 2 h 1 h 3 h 1 h 2 h 3 h 7. 如图，在长方形ABCD中，2AB ，1BC ，E为DC的中点，F为线段EC（端 点除外）上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD 平面ABC在平面ABD内 过点D作DKAB，K
5、为垂足设AKt，则t的取值范围是 ) 1 , 2 1 ( 解析：过作于，则由三垂线定理知，在平面图形中三点共线，下DAFDG GKGD, 面只需要研究平面图形中点与，分别重合情形即可. FEC 8. 在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角BACD，则折起 后的BD =_ 5 337 解析：注意在平面图形中应用余弦定理求线段长 9. 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，以顶点 A 为球心，为半径作一个球，则球 3 32 面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_ 6 35 解析：（2007 全国联赛）如图，球面与正方体的六个面都相交
6、，所得的交线分为两类：一 类在顶点 A 所在的三个面上，即面 AA1B1B、面 ABCD 和面 AA1D1D 上；另一类在不过顶点 A 的三个面上，即面 BB1C1C、面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1上。在面 AA1B1B 上，交线为弧 EF 且 在过球心 A 的大圆上，因为，AA1=1，则。同理，所 3 32 AE 6 1 AEA 6 BAF 以，故弧 EF 的长为，而这样的弧 6 EAF 9 3 63 32 共有三条。在面 BB1C1C 上，交线为弧 FG 且在距球心为 1 的平 面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为 B，半径为 ，所以弧 FG 的长为。这样 3 3 2 FBG 6 3 23 3 的弧也有三条。 于是，所得的曲线长为 6 35 6 3 3 9 3 3 10.
