1、一、填空题：(本题满分 15 分，每小题 3 分) 一、填空题：(本题满分 15 分，每小题 3 分) (1) 曲线 2 sinyxx在点( ,1) 22 处的切线方程是1yx. (2) 幂级数 11n n n x 的收敛域是 1,1). (3) 齐次线性方程组 0 0 0 321 321 321 xxx xxx xxx 只有零解，则应满足的条件是1. (4) 设随机变量X的分布函数为)(xF 00 sin0/2 1/2 x Axx x 若 若 若 ,则 A =1 ； P|x| 6 =2/1. (5) 设随机变量 X 的数学期望 EX= ,方差 DX= 2 ，则由切比雪夫(chebyshev)
2、不等式， 有3XP 1/9 . 二、选择题：(本题满分 15 分，每小题 3 分) 二、选择题：(本题满分 15 分，每小题 3 分) (1) 设232)( xx xf, 则当 x0 时， (B) (A)( )f x与x是等价无穷小量(B)( )f x与x是同阶但非等价无穷小量 (C)( )f x是比x较高阶的无穷小量(D)( )f x是比x较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中，正确的结果是 (C) (A) )()(xfdxxf(B) )()(xfxdf (C) )()(xfdxxf dx d (D) )()(xfdxxfd (4)设. A 和? B 均为? n n 矩阵 , 则必有 (C)
3、 (A) BABA( B)BAAB (C) BAAB (D) 111 )( BABA A(3)设.A 是? 4 阶矩阵，且?A 的行列式 (A) 必有一列元素全为? 0； (B) 必有两列元素对应成比例；? (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合. (C) 1989 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷四） 学（试卷四） (C)“甲种产品滞销”(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 三、计算题 (本题满分 15 分，每小题 5 分) 三、计算题 (本题满分 1
4、5 分，每小题 5 分) (1) 求极限 11 lim(sincos )x x xx 解：解：设 1 u x ，则当x时，0u . 0 1sincos ) lim 0 lim(sincos ) uu uu ln( uu 原式. 1 分 而 00 ln(sincos )cossin limlim1 sincos uuuu uuu 4 分 于是原式e. 5 分 (2) 已知( , )zf u v,uxy vxy，且( , )f u v的二阶偏导数都连续, 求 yx z 2 . 解：解： zfufv xuxvx ff y uv 2 分 22222 22 zfufvfufvf y x yuyu vyv
5、 uyvyv 4 分 2222 22 fffff xyxy uu vv uvv 222 22 () ffff xyxy uu vvv . 5 分 (3) 求微分方程 x eyyy 265 的通解. 解：解：由特征方程为 2 56(2)(3)0rrrr ，知特征根为2, 3.1 分 于是对应齐次微分方程的通解为 23 12 ( ) xx y xCeC e . 2 分 其中 12 ,C C为任意常数.设所给非齐次方程的特解为 *( )x yxAe.3 分 将 *( ) y x代入原方程，可得1A，故所给非齐次微分方程的特解为 *( )x y xe. 4 分 从而，所给微分方程的通解为 23 12
6、( ) xxx y xCeC ee .5 分 四、 （本题满分 9 分） 四、 （本题满分 9 分） 设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为 2 ( )10 x pp xe 且最大需求量为 6，其中 x 表示需求量，p 表示价格. （1）求该商品的边际收益函数； （2 分） （2）求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格. （4 分） （3）画出收益函数的图形.（3 分） (5) 以 A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则其对立事件A为 (D) (A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”(B)“甲，乙产品均畅销” 解：解：(1) 收益函数为 2 ( )10,06; x
7、 R xpxxex 1 分 边际收益函数为 2 5(2) x dR MRx e dx . 2 分 (2) 由 2 5(2)0 x Rx e ，得驻点 0 2x . 由于 1 2 0 0 5 |(4)50 2 x x x Rxee .4 分 可见( )R x在点2x 处达到极大值，亦即最大值 1 2 2 (2)1020 x x Rxee . 于是当产量为时，收益取最大值 1 20e，而相应的价格为 1 10e.6 分 (3) 由上面的计算结果，易得下表 x0,2 2 2,4 4 4,6 R 0 R 0 R单增，凸极大值 20 e 单减，凸 2 40 (4,) e 单减，凹 9 分 收益函数的图形
8、为 五、 （本题满分 9 分） 五、 （本题满分 9 分） 已知函数 212 10 )( xx xx xf 若 若 ，试计算下列各题： (1) 2 0 0 ( ) x Sf x e dx ， （4 分） ； (2) 4 1 2 (2) x Sf xe dx ， （2 分） ； (3) 22 2 (2 ) n x n n Sf xn e dx （n=2,3,）（1 分） ； (4) 0n n SS.（2 分） 解：解：(1) 12 0 01 (2) xx Sxe dxx e dx . 1 分 其中 111 1 000 1 2 xxx xe dxxee dxe ，2 分 222 2 111 (2)
9、(2) xxx x e dxx ee dxe .3 分 从而 121 2 0 1 2(1)Seee . 4 分 (2) 令2tx，则 42 22 10 20 (2)( ) xt Sf xe dxf t edtS e .6 分 (3) 令2txn，则 2 22 0 0 ( ) tnn n Sf t edtS e .7 分 (4) 22 00 000 () nn n nnn SSS eSe 8 分 0 2 1 11 Se ee . 9 分 六、 （本题满分 6 分） 六、 （本题满分 6 分） 假设函数( )f x在 , a b上连续，在( , )a b内可导，且0)( x f，记 x a dtt
10、f ax xF)( 1 )(，证明在( , )a b内0)( x F. 证：证： 由于( )f x在 , a b上连续，在( , )a b内可导，因此 2 1111 ( )( )( )( )( ) () xx aa F xf xf t dtf xf t dt xaxaxaxa . 2 分 由积分中值定理知，存在,ax，使 1 ( )( ) x a ff t dt xa . 因此 1 ( )( )( )F xf xf xa .4 分 又由于( )0fx，知( )f x在( , )a b上非增函数，所以当x时， ( )f xf. 因 1 0 xa ，故由此可知( )0F x. 6 分 七、 （本题
11、满分 5 分） 七、 （本题满分 5 分） 已知 X=AX+B,其中 010 111 101 A , 11 20 53 B ,求矩阵 X. 解：解： 以E表示 3 阶单位矩阵，由X= AX+B，有(-)E A XB. 1 分 其中 110 101 102 EA. 2 分 其逆矩阵为 1 02/31/3 ()12/31/3 01/3 1/3 EA；4 分 于是 1 02/31/31131 ()12/31/32020 01/3 1/35311 XEAB. 5 分 八、 （本题满分 6 分） 八、 （本题满分 6 分） 设1, 1, 1 1 ，3, 2, 1 2 ，t, 3, 1 3 ， (1) 问
12、当 t 为何值时，向量组 321 ,线性无关？（3 分） (2) 问当 t 为何值时，向量组 321 ,线性相关？（1 分） (3) 当向量组 321 , 线性相关时，将 3 表示为 1 和 2 的线性组合.（2 分） 解：解：设有实数 123 ,k k k，使 121233 0k aakk a，则得方程组： 123 123 123 0 230 30 kkk kkk kkk t （*） ， 其系数行列式为 111 1235 13 Dt t .2 分 (1) 当5t 时，0D ， 方程组 （*） 只有零解： 123 0kkk.这时， 向量组 3, 21, aaa 线性无关. 3 分 (2) 当5
13、t 时，0D ，方程组（*）有非零解，即不存在不全为 0 的常数 123 ,k k k， 使 121233 0k aakk a，这时，向量 3, 21, aaa线性相关. 4 分 (3) 设5t .由 111111 123012 135000 知方程组（*）可化为 13 23 0 20 kk kk . 令 3 1k ，得 12 1,2kk .因此，有 123 20aaa.从而 3 a可以通过 1 a和 , 2 a表示为 312 2aaa. 6 分 九、 （本题满分 5 分） 九、 （本题满分 5 分） 设 122 212 221 A ， (1) 试求 A 矩阵的特征值.（2 分） (2) 利用
14、(1)小题的结果，求矩阵 1 AE的特征值.其中 E 是三阶单位矩阵（3 分） 解： （解： （1）矩阵 A 的特征方程为 2 122 |212(1) (5)0 221 EA， 由此得矩阵 A 的特征值1,1, 5. 2 分 （2）由于矩阵 A 的特征值1,1, 5，可知 1 A的特征值为 1 1,1, 5 .3 分 因此，有 1 | 0 E A， 1 1 ()0 5 EA.由此可见 1 |(1 1)()| 0 EEA， 1 1 |(1)()| 0 5 EEA，即 1 |2()| 0 EE A， 1 4 |()| 0 5 EEA. 于是，矩阵 1 EA的特征值 4 2,2, 5 .5 分 十、
15、(本题满分 7 分) 十、(本题满分 7 分) 已知随机变量 X 和 Y 的联合密度为 其他 若 0 0 ,0 ),( )( yxe yxf yx ， 试求：(1) P XY (5 分) ； （2）()E XY (2 分) 解：解：(1) ( , ) X Y P XYf x y dxdy 2 分 () 00000 1 (1) 2 yy x yyxyy edxdye dye dyeedy .5 分 (2) () 0000 ()1 x yxy E XYxyedxdyxe dxye dy .7 分 十一、(本题满分 8 分) 十一、(本题满分 8 分) 设随机变量在 2,5上服从均匀分布.现在对 X 进行三次独立观 测.试求至少有两次观测值大于 3 的概率. 解：解：以 A 表示事件“对X的观测值大于 3” ，即 A3X，由条件知，X的密度函 数为 1 25 ( )3 0 x f x 若 其他 ， 5 3 12 ( )3 33 P AP Xdx .4 分 以 3 u表示三次观测值大于 3 的次数（即在三次独立观测中事件 A 出现的次数）. 显然， 3 u服从参数为3n ， 2 3 p 的二项分布， 因此，所求概率为 2233 333 21220 2( )( ) 33327 P uCC.8 分
