1、一、填空题一、填空题 (1)【答案】1 【详解】题目考察数列的极限，由于数列中有( 1) n ，故求此数列的极限，分为奇数列和 偶数列两个部分进行。 记 ( 1) 1 () n n n u n ，则 2 2121( 1) limlim ()lim ()1 2 22 n nn u n nn nnn 21 221( 1) limlim ()lim ()1 21 212 n nn u n nn nnn 所以 lim1un n . (2)【答案】 3 2e 【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数。 利用题目已知的函数关系式进行求导便 可得出。 由 ( ) ( ) fx fxe，有 ( )( )2
2、( ) ( )()( ) f xf xf x fxeefxe 所以 2 ( )2 ( )2 ( )3 ( ) ( )()(2 ( )2( )2 f xf xf xf x fxeef xefxe 以2x 代入，得 3 (2)3 (2) 22 f fee . (3) 【答案】42dxdy 【详解】题目求复合函数在某点处的全微分，可有两种方法： 方法方法 1：由微分形式不变性，有 222222 (4) (4)(4)(82)dzfxydxyfxyxdxydy (1,2) (0)(84)4-2dzfdxdydxdy 方法方法 2：求偏导数， 22 (4) 8 , z fxyx x 22 (4)( 2 )
3、 y z fxyy . 以 1 1,2,(0) 2 xy f ，代入 zz dzdxdy xy 便得如上结果. 2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 (4)【答案】2 【详解】由已知条件2BABE变形得，2BAEB()2B AEE, 两边取行列 式, 得 ()244B AEEE 其中， 211011 2 12011 1 A E ， 2 22 E4E 因此， 24 2 2 E B AE . (5)【答案】1 9 【详解】根据独立性原理：若事件 1, , n AA独立，则 1212nn P AAAP A P AP A 事件 max, 11,
4、111X YXYXY，而随机变量X与Y均服 从区间0,3上的均匀分布，有 1 0 11 1 33 P Xdx 和 1 0 11 1 33 P Ydy . 又随机变 量X与Y相互独立，所以， max( , )11,111Px yP xYP xP Y 11 33 1 9 (6)【答案】2. 【详解】样本方差是总体方差的无偏估计量 2 ()()E SD X，故只要计算()D X即可. X概率密度函数( )f x是偶函数，则( )xf x为奇函数，所以()( )0E Xxf x dx 所以 2222 ()()() ()()E SD XE XE XE X 22 0 ( )2( )x f x dxx f
5、x dx 2 0 x x e dx 2 0 x x de 22 0 0 | xx x ee dx 2 0 0 |2 xx x exde 2 00 0 |2|2 xxx x exee dx 002 0( 1) 2. 二、选择题二、选择题 (7)【答案】A 【详解】 方法方法 1： 图示法. 因为( )0,fx则( )f x严格单调增加；因为( )0,fx则( )f x是凹函数，又 0 x ，画 2 ( )f xx的图形 结合图形分析，就可以明显得出结论：0dyy. 方法方法 2：用两次拉格朗日中值定理 000 ()()()ydyf xxf xfxx(前两项用拉氏定理) 0 ( )()fxfxx
6、(再用一次拉氏定理) 0 ( )()fxx ,其中 000 ,xxx x 由于( )0fx，从而0ydy. 又由于 0 ()0dyfxx，故选 A 方法方法 3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式： 000 ( )( )( )()f xf xf xxx ( ) 2 00 00 ()() ()() 2! n n n fxfx xxxxR n ， 其中 (1) 0 0 () () (1)! n n n fx Rxx n . 此时n取 1 代入，可得 2 000 1 ()()()( )()0 2 ydyf xxf xfxxfx 又由 0 ()0dyfxx ，选( )A. (8) 【答案】C 【详
7、解】题目考察该抽象函数在 0 点处的函数值，及 0 点处的左右导数，计算如下： 换元令 2 xh，由题设可得 2 2 0 0 ()( ) limlim1 h x f hf x hx . 于是 00 ( ) lim( )lim1 00 xx f x f xx x 因为函数( )f x在点0 x 处连续，故 0 (0)lim( )0 x ff x ，进而有 Ox0 x0+xx y y=f(x)y dy 00 ( )( )(0) 1limlim(0) 0 xx f xf xf f xx . 这表明(0)0f且(0)f存在. 故应选( )C. (9) 【答案】D 【详解】 方法方法 1：数列收敛的性质
8、：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛 因为 1 n n a 收敛，所以 1 1 n n a 也收敛，所以 1 1 () nn n a a 收敛，从而 1 1 2 nn n aa 也收敛.选 D. 方法方法 2：记 ( 1)n n a n ，则 1 n n a 收敛. 但 11 1 n nn a n ，(p级数， 1 2 p 级数发散)； 1 11 1 1 nn nn a a n n (p级数，1p 级数发散)均发散。由排除法可知，应选 D. (10) 【答案】B 【详解】线性方程解的性质与结构：1.由非齐次线性微分方程的两个特解，求该方程的通 解；2. 线性非齐次微分方程的两个解的差是对
9、应的齐次微分方程的解. 因为 12 ( )( )y xyx，所以 12 ( )( )y xyx是齐次微分方程的一个非零解，C是任意常 数，所以 12 ( )( )C y xyx是对应的齐次微分方程的通解. 再加上原非齐次方程的一个特 解，便得原非齐次方程的通解，B. (11) 【答案】D 【详解】 方法方法 1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。 已知 00 (,)0 xy，由( , )0 x y，在 00 ,)xy（邻域，可确定隐函数( )yy x， 满足 00 ()y xy， dy xydx 。 00 ,)xy（是( , )f x y在 条 件( , )0 x y下 的 一 个 极 值
10、点 0 xx是 ( , ( )zf x y x的极值点。它的必要条件是 00 0000 (,)(,) x xx x f xyf xydzdy dxxydx 0 00 00 0000 (,) 0 (,) (,)(,) x y x x xy xy xy f x yfx y 若 00 (,)0 x fxy，则 00 (,)0 y fxy，或 00 (,)0 x xy，因此不选( )A，( )B. 若 00 (,)0 x fxy，则 00 (,)0 y fxy(否则 0 0 x x dz dx ). 因此选()D 方法方法 2：用拉格朗日乘子法. 引入函数( , , )( , )( , )F x yf
11、 x yx y，有 ( , )( , )0(1) ( , )( , )0(2) ( , )0 xxx yyy Ffx yx y Ffx yx y Fx y 因为 00 (,)0 y xy，所以 00 00 (,) (,) y y fxy xy ，代入(1)得 0000 00 00 (,)(,) (,) (,) yx x y fxyxy fxy xy 若 00 (,)0 x fxy，则 00 (,)0 y fxy，选()D (12)【答案】A 【详解】 方法方法 1：若 12 , s 线性相关, 则由线性相关定义存在不全为0的数 12s ,k kk使得 1122 0 ss kkk 为了得到 12
12、 , s AAA的形式，用A左乘等式两边, 得 1122 0 ss k Ak Ak A 于是存在不全为0的数 12s ,k kk使得成立，所以 12 , s AAA线性相关. 方法方法2：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是: 1. 12 , s 线性相关 12 (,) s rs ；2.()( )r ABr B. 矩阵 1212 (,)(,) ss AAAA , 设 12s B(,) ， 则由 ()( )r ABr B得 1212 (,)(,) ss r AAArs . 所以答案应该为(A). (13) 【答案】B 【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等
13、矩阵相当于对矩阵进行初等行变 换或列变换)得出 将A的第 2 行加到第 1 行得B，即 110 010 001 BA 记 PA 将B的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C，即 110 010 001 CB 记 BQ 因为PQ 110 010 001 110 010 001 E，故 1 QP E 1 P. 从而 11 CBQBPPAP ,故选(B). (14) 【答案】A. 【详解】由于X与Y的分布不同，不能直接判断 1 | 1PX和 2 | 1P Y的大小 与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。 随机变量标准化，有 1 1 X (0,1)N，且其概率密度函数是偶函数. 所以
14、1 1 11 1 (1)() X P XP 1 1111 111 202 ()(0) 2 () 1 X P . 同理有， 2 2 1 (1)2 () 1P Y 因 为( ) x是 单 调 递 增 函 数 ， 当 12 | 1| 1PXP Y时 ， 1 1 2 () 1 2 1 2 () 1 ，即 12 11 ，所以 12 ，故选(A). 三、解答题三、解答题 (15)【详解】题目考察二元函数的极限，求( )g x时，可以将y视为常数 (I) ( )lim( , )lim 1sin 1arctan g xf x y yy x y yy xyx , 由于0 x ，所以limsinlim, yy x
15、x yyx yy 11 limlim, 1 1 yy y xyx x y 所以 11 ( ) arctan x g x xx . (II) 22 2 0000 11arctanarctan lim ( )lim()limlim arctanarctan xxxx xxxxxxx g x xxxxx 2 2 2 00 1 1 2 22 1 limlim 22(1) xx x xx x xx (16)【详解】题目考察二重积分的计算，画出积分区域，化为累次积分即可以很容易求出。 计算步骤如下： 积分区域D如下图所示.( , ) 01,0Dx yyxy， 故 1 22 00 y D yxydxdydy
16、yxydx 3 1 2 0 2 () 03 y y yxdy 1 2 0 2 3 y dy 2 9 . (17)【详解】令( )sin2cosf xxxxx，只需证明0 x 时,( )f x单调增加(严格) ( )sincos2sinfxxxxx cossinxxx ( )cossincossin0fxxxxxxx ( )fx单调减少(严格)， 又( )cos0f，故0 x时( )0fx，则( )f x单调增加(严格) ( )( )baf bf a由有得证 (18)【详解】(I) 设所求的曲线方程为( )yy x，按题意，在其上任意一点( , )P x y处的切线 斜率 y 与OP的斜率 y
17、x 的差等于(0,0)ax ax，即有 y yax x , 并且有初始条件 (1)0y. 解之，按一阶线性微分方程解的公式，有 11 lnln () dxdx xx xx yeaxedxCeaxedxCxadxCx axC (以上 1dx x 不写成ln x而可以写成ln x的原因是，题中有初始条件(1)0y，x取在1处 而微分方程的解应是连续的，题设0 x ，故其解只能取在包含1x 而不跨过0 x 区间， 故0 x ,因此ln x可以写成ln x). 再由(1)0y定出Ca ，于是所求的曲线方程为(1),0yax xa. (II) 直线yax与曲线(1)yax x的交点(0,0)与(2,2
18、)a. 所以直线yax与曲线 (1)yax x所围平面图形的面积为 22 2 00 4 ( )(1)2 3 S aaxax xdxaxax dxa 按题意， 48 33 a ，故2a . (19)【详解】 记 -121 (-1 (2 -1) nn n x u nn ） ， 有 23 (-1 2(1)(21) 1 limlim -1 21 (-1 (2 -1) nn x unn n x nn un nnx nn ） ） 所以，当 2 1x 即1x 时，原级数绝对收敛； 当 2 1x ，即1x 时，原级数通项不趋于 0，级数发散， 所以， 收敛半径1R . 在1x 处 -1 (-1 (2 -1)
19、n n u n n ） ， 级数 1 n n u 绝对收敛， 故收敛域为 1,1. 求和函数，应在收敛区间内进行，即 1,1x ， 由 -1 21-1 2 (-1(-1 (2 -1)(2 -1) 11 nnnn xx x nnnn nn ） 令 -1 2 (-1 ( ) (2 -1) 1 nn x f x nn n ） 有 -1 2-1 2-1 21 (-1(-12(-1 ( ) ()() (2 -1)(2 -1)2 -1 111 nnnnnn xxx fx nnnnn nnn ） -1 21-1 21 2(-12(-1 -1 22 ( ) ()()2(-1 2 -12 -1 111 nnnn
20、 xx nn fxx nn nnn ） ） 2 22 2(-12( 2 1 00 nnn xx x nn ） . 再倒回去，有 2 00 2 ( )(0)( )02arctan 1 xx fxfft dtdtx t ( )(0)( )0 2arctan 00 xx f xfft dtxdt 22 2arctan|2 arctanln(1) 0 02 1 x x tdtxtx t . 于是 1 21 ( 1 22 2arctanln(1),11 (2 -1) 1 nn x xtxxx nn n ） . 又因在1x 处级数收敛，右边和函数的表达式在1x 处连续，因此，在1x 处上式 仍成立，即有
21、1 21 122 ( )2arctanln(1),11 21 1 nn x s xxxxxx nn n (20)【详解】 方法方法 1：记 1234 ,A ，则 1234 1234 | 1234 1234 a a A a a 把所有列都加到第一列 10234 10234 10234 10234 a aa aa aa 把第一列公因式(10)a提到行列式前面 1234 1 234 (10) 1234 1234 a a a a 3 1234 000 (10)(10) 000 000 a aaa a a 线性相关的定义：存在一组不等于零的数 1234 k ,k ,k ,k ,使得 11223344 0
22、kkkk 成立，则 1234 , 线性相关. 于是当0A 时方程组 11223344 0kkkk有非零解，此时满足线性相关的定 义. 即： 3 (10)0aa，解得当0a 或10a 时， 1234 , 线性相关. 当0a 时， 1 为 1234 , 的一个极大线性无关组， 且 213141 2,3,4 . 当10a 时, 对A作初等行变换. 9234 1834 1274 1236 A 211 311 411 9234 101000 100100 100010 2 110 3 110 4 110 9234 1100 1010 1001 144 133 122 1234 0000 1100 , 1
23、010 1001 可以看出由于 234 , 为 1234 , 的一个极大线性无关组，且 1234 ， 故 234 , 为 1234 , 的一个极大线性无关组，且 1234 . 方法方法 2：记 1234 ,A ，对A施以初等行变换，有 211 311 411 12341234 123400 123400 123400 aa aaa AB aaa aaa 当0a 时， 1234 0000 0000 0000 B ，得 1r Ar B，因而 1234 , 线性相关, 此时 1 为 1234 , 的一个极大线性无关组，且 213141 2,3,4 . 0a 时，再对B施以初等行变换，有 2144 3
24、133 4122 1234 123410000 11001100 ,. 10101010 10011001 a a a aa BC 如果10a ，C的秩为 4，故 1234 , 线性无关；如果10a 时，C的秩为 3，故 1234 , 线性 相关. 由于 234 ,是 1234 , 的一 个极大线 性无关组 ，且 1234 ， 于 是 234 , 是 1234 , 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 1234 . (21)【详解】(I) 由题设条件 11 00A， 22 00A，故 12 , 是A的对应于0 的特征向量，又因为 12 , 线性无关，故0至少是A的二重特征值. 又因为A的
25、每行元 素之和为3，所以有(1,1,1)(3,3,3)3(1,1,1) TTT A，由特征值、特征向量的定义， 0 (1,1,1)T是A的特征向量, 特征值为 3 3， 3 只能是单根， 303 0k,k是全体特征 向量，从而知0是二重特征值. 于是A的特征值为3,0,0；属于3的特征向量: 333 0k,k；属于0的特征向量: 1122 kk， 12 ,k k不都为0. () 为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化 . 先将 0 单位化, 得 0 333 (, ) 333 T . 对 12 , 作施密特正交化, 得 1 22 (0, , ) 22 T , 2 666 (, ) 366
26、T . 作 123 (,)Q , 则Q是正交矩阵,并且 -1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 T Q AQQ AQ (III)由 T Q AQ ，其中 1T QQ 111121 623663 0 2111 000 6322 3 111111 333623 111 623 0001 1 1 21 00001 1 1 63 1111 1 1 111 333 623 T AQ Q 6666 6 6 1 666 3333 ()()( ()() 2222 33 22 0 33 0 22 3 33 22 333 ( )( )( ) 222 TTT T TT AEQ QEQE QQEQ QQQQ QEQ
27、QQE . (22)【详解】( )( ) YY fyFy, 由于( ) X fx是分段函数，所以在计算 2 P Xy时，要相应 分段讨论. 求 1 (,4) 2 F 2 11 (,4)(,4), 22 P XYP XX 只是与X有关，不必 先求出( , )F x y的函数. (I)因为 2 ( ) Y FyP YyP Xy，当0y 时，( )0; Y Fy 当01y时， 0 0 113 ( )() 244 y Y y FyPyXydxdxy ； 当14y时， 0 10 1111 ( )() 2424 y Y FyPyXydxdxy ； 当4y 时，( )1; Y Fy 综上所述，有 2 0,
28、0 3 , 01 4 ( ) 11 ,14 24 1, 4 Y y yy FyP YyP Xy yy y 由概率密度是分布函数在对应区间上的的微分，所以， 3 ,01 8 1 ( )( ),14 8 0, YY y y fyFyy y 其他 这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对 y 进行适当的讨论即可， 属于基本 题型. () 由协方差的计算公式 232 cov(, )cov(,)()()()X YX XE XE XE X 需要计算(E X）， 2 ()E X， 3 ()E X. 02 -10 1 ( ) 244 X xx E Xxfx dxdxdx （ ）； 22 02 22 -1
29、0 5 ( ) 246 X xx E Xx fx dxdxdx （）； 33 02 33 -10 7 ( ) 248 X xx E Xx fx dxdxdx （）. 故 232 cov(, )cov(,)(X YX XE XE XX） 7152 . 8463 (III) 根据二维随机变量的定义( , ),F a bP Xa Yb，有 2 1111 (,4)(,4),42 2222 FP XYP XXPX 由一维概率计算公式( ) b X a P aXbfx dx有，)4 , 2 1 (F 1 2 1 11 24 dx . (23)【答案】的矩估计 3 2 X ；的最大似然估计. N n 【详解
30、】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只 需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)，所以矩估计的关键在于 找出总体的矩()E X. 最大似然估计， 实质上就是找出使似然函数最大的那个参数， 问题的关键在于构造似然 函数. 样本值中 i x小于 1 的概率是， i x大于 1 的概率是1. 因此，似然函数应为： 1 ( );(1). n Nn N i i Lf x (I) 由数学期望的定义： 12 01 ()( ; )(1- )E Xxf xdxxdxxdx 133 (1) 222 样本均值 1 1 n i i XX n 用样本均值估计期望
31、有EXX即 3 2 X，解得 3 2 X. 所以参数的矩估计为 3 2 X .其中 1 1 n i i XX n . ()对样本 n xxx, 21 按照1或者1进行分类，不妨设： 12 , pppN xxx1， 12 , pNpNpn xxx 1. 似然函数 1212 (1),1,1 ( ) 0, Nn N pppNpNpNpn xxxxxx L ， 其他 ， 在 12 ,1 pppN xxx， 12 ,1 pNpNpn xxx 时，等式两边同取自然对数得 )1ln()(ln)(lnNnNL， 由于ln ( )L和( )L在的同一点取得最大值，所以令 0 1 )(ln NnN d Ld ， 解得 N n ，所以的最大似然估计值为 N n .
