2013年数学三真题答案解析.pdf

1、1 2013 年全国硕士研究生入学统一考试2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题答案 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上. （1）当0 x 时，用( )o x表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（） （A） 23 ()()x o xo x （B） 23 ( )()()o xo xo x （C） 222 ()()()o xo xo x （D

2、） 22 ( )()()o xo xo x 【答案】D 【解析】 2 ( )()( )o xo xo x，故 D 错误。 （2）函数 |1 ( ) (1)ln | x x f x x xx 的可去间断点的个数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C 【解析】由题意可知( )f x的间断点为0, 1。又 ln x0 x0 x0 x0 11ln lim( )limlimlim1 (1)ln(1)ln(1)ln xxx xexx f x x xxx xxx xx ln() x0 x0 x0 x0 ()11ln() lim( )limlimlim1 (1)ln()(1)ln()(1)

3、ln() xxx xexx f x x xxx xxx xx ln x1x1x1x1 11ln1 lim( )limlimlim (1)ln(1)ln(1)ln2 xxx xexx f x x xxx xxx xx ln() x1x1x1x1 ()11ln() lim( )limlimlim (1)ln()(1)ln()(1)ln() xxx xexx f x x xxx xxx xx 故( )f x的可去间断点有 2 个。 2 （3）设 k D是圆域 22 ( , )|1Dx yxy位于第k象限的部分，记() k k D Iyx dxdy 1,2,3,4k ， 则（） （A） 1 0I （B

4、） 2 0I （C） 3 0I （D） 4 0I 【答案】B 【解析】令cos ,sinxryr，则有 1 0 1 ()( sincos )(cossin ) 3 k k D Iyx dxdyrdrrrd 故当2k 时，, 2 ，此时有 2 2 0. 3 I 故正确答案选 B。 （4）设 n a为正项数列，下列选项正确的是（） （A）若 1 1 1 ,( 1)n nnn n aaa 则收敛 （B） 1 1 ( 1)n n n a 若收敛，则 1nn aa （C） 1 n n a 若收敛，则存在常数1P ,使lim P n n n a 存在 （D）若存在常数1P ，使lim P n n n a

5、存在，则 1 n n a 收敛 【答案】D 【解析】根据正项级数的比较判别法，当1P 时， 1 1 p n n 收敛，且lim P n n n a 存在，则 1 n n a 与 1 1 p n n 同 敛散，故 1 n n a 收敛. （5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若ABC，且C可逆，则（） （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 3 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价 【答案】 （B） 【解析】由ABC 可知 C 的列向量组可以由 A 的列

6、向量组线性表示，又 B 可逆，故有 1 CBA，从而 A 的列向量组也可以由 C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B） 。 （6）矩阵 11 11 a aba a 与 200 0b0 000 相似的充分必要条件为 （A）0,2ab （B）为任意常数ba, 0 （C）0, 2ba （D）为任意常数ba, 2 【答案】(B) 【解析】由于 11 11 a aba a 为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而 11 11 a aba a 与 200 0b0 000 相似的 充分必要条件为 11 11 a aba a 的特征值为0 , 2 b。 又 2 11 ()(2)2 1

7、1 a EAababa a ，从而为任意常数ba, 0。 （7）设 123 XXX，是随机变量，且 22 123 N(0,1)N(5,3 )XN，X0,2 ），X, 22(1,2,3), jj PPXj 则（） （A） 123 PPP （B） 213 PPP （C） 312 PPP （D） 132 PPP 4 【答案】 （A） 【解析】由 22 123 0,1 ,0,2,5,3XNXNXN知， 111 222221pPXP X ， 222 222211pPXP X ，故 12 pp. 由根据 2 3 5,3XN及概率密度的对称性知， 123 ppp，故选（A） （8）设随机变量 X 和 Y 相

8、互独立，则 X 和 Y 的概率分布分别为， 则2P XY() （A） 1 12 （B） 1 8 （C） 1 6 （D） 1 2 【答案】 （C） 【解析】21,12,03,1P XYP XYP XYP XY ， 又根据题意,X Y独立， 故 1 2112031 6 P XYP XP YP XP YP XP Y ，选（C）. 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上. （9）设曲线)(xfy 和xxy 2 在点) 1 , 0(处有公共的切线，则 2 lim n n nf n _。 【答案

9、】2 【解析】 2 yxx在(1,0)处的导数是(1)1y，故(1)1,(1)0ff， 2 (1)(1) 2 2 lim()lim(1) ( 2)2 2 22 2 nn ff nn n nff nn n 5 （10）设函数),(yxzz 由方程xyyz x )(确定，则 )2, 1( x z _。 【答案】22ln2 【解析】原式为 ln() , xzy exy 左右两边求导得：ln(),1,2 x z xyzyxyxy zy 令 得0,2(1 ln2) x zz （11）求dx x x 1 2 )1 ( ln _。 【答案】2ln 【解析】 2 ln1ln1ln ln()+ln (1)11(

10、1)11 xxxx dxxddx xxxxxxx 2 1 1 lnlnln lim+ln+lnln2 (1)1111 x x xxxxx dx xxxxx （12）微分方程0 4 1 yyy通解为y_。 【答案】 21 2 1 CxCe x 【解析】特征方程为 2 11 0,() 42 二重根，所以通解为 1 2 12 x yeC xC （ 13 ） 设 ij A(a )是 三 阶 非 零 矩 阵 ，|A|为 A 的 行 列 式 ， ij A为 ij a的 代 数 余 子 式 ， 若 ijij aA0(i, j1,2,3),_A则 【答案】1 【解析】 0 ijij aA由可知， *T AA

11、112233112233 33 22 11 0 iiiiiijjjjjj ijij ji Aa Aa Aa Aa Aa Aa A aa 2 * ,=-1. T AAAAA 从而有故 （14）设随机变量 X 服从标准正态分布N(0,1)X,则 2 () X E Xe= _。 【答案】 2 2e 6 【解析】由0,1XN及随机变量函数的期望公式知 2 21 24 222 22 11 2 22 x x Xx E Xexeedxxedxe . 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算

12、步骤 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 当0 x 时，1 coscos2cos3xxx与 n ax为等价无穷小，求n与a的值。 【解析】因为当0 x 时，1 coscos2cos3xxx与 n ax为等价无穷小 所以 0 1 coscos2cos3 lim1 n x xxx ax 又因为： 1 coscos2cos3 1 coscoscoscos2coscos2coscos2cos3 1 coscos (1 cos2 )coscos2 (1 cos3 ) xxx xxxxxxxxx xxxxxx 即 00 1 coscos2cos31 coscos (

13、1 cos2 )coscos2 (1 cos3 ) limlim nn xx xxxxxxxxx axax 0 222222 0 1 coscos (1 cos2 )coscos2 (1 cos3 ) lim() 111 ()(2 )()(3 )() 222 lim() nnn x nnn x xxxxxx axaxax xo xxo xxo x axaxax 所以2n 且 149 17 222 a aaa （16）（本题满分 10 分） 设D是由曲线 1 3 yx，直线(0)xa a及x轴所围成的平面图形，, xy V V分别是D绕x轴，y轴旋转一 周所得旋转体的体积，若10 yx VV，求

14、a的值。 【解析】由题意可得： 15 2 33 0 3 () 5 a x Vxdxa 17 33 0 6 2 7 a y Vx x dxa 因为：10 yx VV所以 75 33 63 107 7 75 aaa （17）（本题满分 10 分） 7 设平面内区域D由直线3 ,3xy yx及8xy围成.计算 2 D x dxdy 。 【解析】 12 222 DDD x dxdyx dxdyx dxdy 2368 22 02 33 xx xx x dxdyx dxdy 416 3 （18） （本题满分 10 分） 设生产某产品的固定成本为 6000 元， 可变成本为 20 元/件， 价格函数为60

15、1000 Q P ， （P 是单价， 单位： 元，Q 是销量，单位：件） ，已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。 （2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价 P。 【解析】 （I）设利润为l，则 2 (206000)406000 1000 Q lPQQQ 边际利润40 500 Q l （II）当50P 时，边际利润为 20， 经济意义为：当50P 时，销量每增加一个，利润增加 20 (III)令0,20000lQ得，此时6040 1000 Q P （19） （本题满分 10 分） 设函数( )f x在0,上可导，(0)0lim( )2 x ff x

16、且，证明 （1）存在0a ，使得( )1f a （2）对（1）中的a，存在(0, ),a使得 1 ( ).f a 【答案】 （I）证明： 3 lim( )2,( ) 2 x f xXxXf x 当时，有， ( )0,f xX在上连续，根据连续函数介值定理，存在0,( )1aXf a，使得 （II）( )f x在0, a上连续且可导，根据拉格朗日中值定理， ( )(0)( )1,(0, )f affaa， 故 1 (0, )( )af a ，使得 （20） （本题满分 11 分） 8 设 101 , 101 a AB b ，当, a b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。 【解析

17、】 由题意可知矩阵 C 为 2 阶矩阵，故可设 12 34 xx C xx ，则由ACCAB可得线性方程组： 23 124 134 23 0 1 1 xax axxax xxx xaxb （1） 01001011110111 1011010101 1011101000100 010010010 10111 0101 00001 00001 a aaaaaa aa ababab aa a ba 由于方程组（1）有解，故有10,10aba ，即1,0,ab 从而有 010010111 10101100 1011100000 01000000 a aa ab ，故有 112 21 12 31 42

18、1 ,. xkk xk kk xk xk 其中 、 任意 从而有 121 12 1kkk C kk （21） （本题满分 11 分） 设二次型 22 1231 122331 12233 ,2fx xxa xa xa xb xb xb x，记 11 22 33 , ab ab ab 。 （I）证明二次型f对应的矩阵为2 TT ； （II）若, 正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型 22 12 2yy。 【答案】(1) 9 222222222 111222333121 212 131 313232 323 (2)(2)(2)(42) (4)(42) fabxabxabxa

19、abb x x a abb x xa ab b x x 2222 11121 2131 31121311 21 3 2222 121 222232 3122231 222 3 2222 131 3232 333132331 32 33 222 2222 222 2 TT aba abba abbaa aa abbbbb fa abbaba ab ba aaa abbbb b a abba ab baba aa aabbb bb 则 的矩阵为 （2）,2 , TTTTTT AA 令A=2则22，则 1,2 均为 A 的特 征值，又由于( )(2)()()2 TTTT r Arrr，故 0 为 A

20、 的特征值，则三阶矩阵 A 的特 征值为 2,1,0，故 f 在正交变换下的标准形为 22 12 2yy （22） （本题满分 11 分） 设,X Y 是二维随机变量，X的边缘概率密度为 2 3,01, 0,. X xx fx 其他 ， 在给定 01Xxx 的 条件下，Y的条件概率密度 2 3 3 ,0, 0,. Y X y yx fy x x 其他 （1）求 ,X Y 的概率密度 ,fx y ； （2）Y 的边缘概率密度 Y fy . 【答案】 （1） 2 9 ,01,0, , 0,. XY X y xyx f x yfy x fx x 其他 （2） 2 9ln ,01, , 0,. Y y

21、yy fyf x y dx 其他 （23） （本题满分 11 分） 设总体X的概率密度为 2 3 ,0, 0,. x ex f x x 其它 其中为未知参数且大于零， 12 , N XXX，为来自总体 X的简单随机样本. （1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量. 【答案】(1) 2 3 00 ( )() xx EXxf x dxxedxed xx ， 令EXX，故矩估计量为X. 10 (2) 2 2 33 11 1 1 00 ( )( ; ) 00 ii nn xxn n ii iii ii i exex Lf x xx 其他其他 当0 i x 时， 11 1 ln ( )2 ln3ln nn i ii i Lnx x 令 1 ln ( )21 0 n i i dLn dx ， 得 1 2 1 n i i n x ，所以得极大似然估计量 = 1 2 1 n i i n x .