1、南京师大附中 2020-2021 学年度第二学期 高一年级期末考试数学试卷 命题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本大题共 8 小题.每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.i是虚数单位，复数 i 0 1 2i a za ，若1z ，则a （） A. 1 2 B.1C.2D.3 2.如图，在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABACAA，2BC ，点 D 为 BC 的中点，则异面直线 AD 与 1 AC所成的角为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3.已知a，b是不同的直线，是不同的平面， 若a，b，a， 则下列命题中正确的
2、是 （） A.bB.bC.D. 4.钝角三角形ABC的面积是 1 2 ，1AB，2BC ，则AC等于（） A.1B.2C.5D.5 5.如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为 3 9cm，则其表面积的值为（） A. 2 18 3cmB. 2 18cmC. 2 12 3cmD. 2 12cm 6.已知向量1 cos ,2ax ，sin ,1bx ，0, 2 x ，若ab ，则sin x （） A. 4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 2 5 5 7.如图， 在ABC中， 3 BAC ，2ADDB ，P为CD上一点， 且满足 1 2 APmACAB ， 若3AC ， 4AB ，则AP
3、 CD 的值为（） A.3B. 13 12 C. 13 12 D. 1 12 8.如图，过圆O外一点 P 作圆的切线 PA ，PB，切点分别为 A，B，现将P AB沿AB折起到PAB， 使点 P 在圆O所在平面上的射影为圆心O， 若三棱锥PAOB的体积是圆锥PO体积的 3 4 .则 OA OP （） A. 1 2 B. 3 3 C. 1 2 D. 3 3 二、多项选择题：本大题共 4 小题。每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题 目要求的，每题全选对得 5 分，都分选对得 2 分，其他情况不得分 9.某家庭将 2018 年 1 月至 2019 年 12 月期间
4、每月的教育投入（单位，千元）绘制成如图所示的折线图，根据 该图，下列结论正确的是（） A.2019 年的教育总投入要高于 2018 年的教育总投入 B.2018 年与 2019 年中月教育投入最多的均在 8 月份 C.2018 年与 2019 年的月教育投入逐月增加 D.2018 年与 2019 年中每年 9 月至 12 月的月教育投入变化比较平稳，波动性较小 10.已知复数13iz （i为虚数单位） ，z为z的共轭复数，若复数 z w z ，则下列结论正确的有（） A.w在复平面内对应的点位于第二象限B.1w C.w的实数部分为 1 2 D.w的虚部为 3 i 2 11.现有分在问一组的三个
5、代表队参加党史知识竞赛， 若对于某个问题 3 个队回答正确的概率分别为 2 5 ， 3 4 ， 1 3 ， 则关于该问题的回谷情况，以下说法中正确的是（） A，3 个队都正确的概率为 1 10 B.3 个队都不正确的概率为 1 10 C.出现恰有 1 个队正确的概率比出现恰有 2 个队正确的概率大 D.出现恰有 2 个队正确的概率比出现恰有 1 个队正确的概率大 12.正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E，F，G 分别为 BC， 1 CC， 1 BB的中点则（） A.直线 1 D D与直线AF垂直 B.直线 1 AG与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面面积为 9
6、2 D.点 1 A和点D到平面AEF的距离相等 三、填空题：本大题共 4 小题 5 个空，每题 5 分，共计 20 分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 13.下列数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的下四百分位数为_，90 百分位数为_. 14.用斜二侧法画水平放置的ABC的直观图，得到如图所示等腰直角A B C 已知点 O 是斜边B C 的 中点，且1A O ，则ABC的BC边上的高为_. 15.在直三棱柱 111 ABCABC中.若90BAC，2ABAC， 1 2AA ，则点A到平面 11 ABC的距离 为_. 16.在边长为2 3的菱形ABCD中，60A ，沿对角线BD折起
7、，使二面角ABDC的大小为 120，这 时点 A，B，C，D 在同一个球面上，则该球的表面积为_. 四、解答题：本大题共 6 小题。共计 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 17.20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图 （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计总体中成绩落在50,60中的学生人数； （3）根据频率分布直方图估计 20 名学生数学考试成绩的众数，中位数； 18.在ABC中， 1 cos 2 acBb. （1）若7ab，ABC的面积为3 3，求c； （2）若4c ，求ABC周长的最大值. 19.已知平面向量1,2
8、a ，,1bx . （1）若2abab ，求实数x的值； （2）若2x ，求2ab 与ab 的夹角 20.如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 BCAB，侧面 11 BCC B为菱形. （1）求证： 1 BC 平面 1 ABC； （2）若点 D，E 分别为 11 AC， 1 BB的中点，求证：DE平面 1 ABC. 21.已知在测试中，客观题难度的计算公式为 i i R P N ，其中 i P为第 i 题的难度， i R为答对该题的人数，N为 参加测试的总人数现对某校高三年级 120 名学生进行一次测试，共 5 道客观题测试前根据对学生的了解， 预估了每道题的难度，如下表所示： 题号1
9、2345 考前预估难度 i P 0.90.80.70.60.4 测试后，从中随机抽取了 10 名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“”表示答对，“”表 示答错） ： 题号 学生编号 12345 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1）根据题中数据，将被抽取的 10 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这 120 名学生中第 5 题的实测答对人数 题号12345 实测答对人数 实测难度 （2）从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人答对第 5 题的概率 （3）定义统计量 22 2 1122 1 nn SPPPPPP n ，
10、其中 i P为第 i 题的实测难度， i P为第 i 题的预估难度i1,2,n规定：若0.05S ，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理判断本次 测试的难度预估是否合理 22.如图，圆锥顶点为 P，底面圆心为 O，其母线与底面所成的角为 22.5，AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平 行的弦，轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60， （1）证明：平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面； （2）求二面角COPD的余弦值. 南京师大附中 2020-2021 学年度第二学期 高一年级期末考试数学试卷答案 命题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本大题共 8 小题.每小题 5 分，
11、共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.【答案】C 【解析】 2 2 2 1 1 12 a ，解得2a 2.【答案】B 【解析】 取 11 BC的中点E， 连 1 A E，DE，CE， 1 AEAD， 所以异面直线AD与 1 AC所成角是 1 EAC， 或其补角，易得 1 AE 平面 11 BCC B， 1 AEEC， 1 1 3 tan3 1 CE EAC AE ， ， 1 60EAC. 3.【答案】C 【解析】 对于 A：b，故本选项不符合题意； 对于 B：b或b，故本选项不符合题意； 对于 C：，故本选项符合题意； 对于 D：，故本选项不符合题意； 4.
12、【答案】C 【解析】 1121 sin12 sinsin 2222 SAB BCBBB ， 2 sin 2 B ， 3 4 B 或 4 （舍） ； 2 cos 2 B ， 222 2 2cos1 22 125 2 ACABCBAB CBB . 5.【答案】A 【解析】设正四面体PABC，棱长为a，高为PO，O为底面正三角形外心（重心） ， 底面正三角形高为 3 2 ADa， 2 3 4 ABC Sa ， 3 3 AOa， 6 3 POa， 23 1362 9 34312 Vaaa， 3 2 cma ，表面积 2 2 3 43 218 3 cm 4 S 6.【答案】A 【解析】ab ，2sin1
13、cosxx ，可得cos2sin1xx，解得sin0 x 或 4 sin 5 x ，又由0, 2 x ， 则 4 sin 5 x ； 7.【答案】C 【解析】2ADDB ， 2 3 ADAB ， CPCD ， CPkCD ， 即 APACk ADAC ， 又 1 2 APmACAB ， 则 12 1 23 mACABkABAC ， 1 12 23 mk k ， 3 4 k ， 1 4 m， 112 423 AP CDAPADACACABABAC 22111169113 4 3cos 343343312 ABACAB AC . 8.【答案】D 【解析】 设2AOB， 2 2 1 1 sin2 s
14、in233 3 2 sin2 1 242 3 P AOB PO rPO V V rPO ， 所以 6 或 3 ， 所以 1 sin 2 OA OP 或 3 2 二、多项选择题：本大题共 4 小题。每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题 目要求的，每题全选对得 S 分，都分选对得 2 分，其他情况不得分 9.【答案】ABD 【解析】由图像可知 ABD 正确 10.【答案】ABC 【解析】 13i13i 13i13 i 2213i 13i13i z w z ； 故w对应的点为 13 , 22 ； 2 2 13 1 22 w ； 且w的实部为： 1 2 ，虚部为：
15、3 2 ； 11.【答案】ABC 【解析】对于 A： 2 3 11 5 4 310 P 对于 3 1 21 5 4 310 P P（1 个队正确） 2 1 23 3 23 1 15 5 4 35 4 35 4 312 P（2 个队正确） 2 3 22 1 13 3 123 5 4 35 4 35 4 360 12.【答案】BCD 【解析】因为 11 DDCC，所以 A 错误； 取 11 BC中点H，易证面 1 HAG面AEF，所以直线 1 AG与平面AEF平行，B 正确； 截面为 1 AD FE， 119 22 25 222 S ，C 正确；因为 11 ADADO，O是 1 AD中点，所以 D
16、 正 确. 三、填空题：本大题共 4 小题 5 个空，每题 5 分，共计 20 分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 13.【答案】3；9.5 【解析】 10 252.5 100 ， 10 909 100 所以分别为 3；9.5 14.【答案】2 2 【解析】直观图是等腰直角A B C ，90B A C ，1A O ， 2A C ；根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半， ABC的高为22 2ACA C . 15.【答案】 2 3 3 【解析】 1111 1111 22 226 3232 A A BCCA BA VVh ，解得 2 3 3 h 16.【答案】28 【解析】120AFC，60A
17、FE， 3 2 33 2 AF ， 3 3 2 AE ， 3 2 EF ，设OOx ，则 2O B，1O F， 2 2 22 33 3 41 22 Rxx 2 7R 四面体的外接球的表面积为 2 428R， 四、解答题：本大题共 6 小题。共计 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 17.【解析】 （1）23762101aaaaa，解得0.005a （2）由频率分布直方图得成绩落在50,60中的频率为2100.1a， 估计总体中成绩落在50,60中的学生人数为：200.12人 （ 3 ） 根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 20 名 学 生 数
18、 学 考 试 成 绩 的 众 数 为 ： 7080 75 2 ， 0.5495 0.01 0.0150.03570 107 xx 18.【解析】 （1） 1 sinsincossin 2 ACBB， 1 sincossin 2 BCB，所以 1 cos 2 C ， 3 C 1 sin3 312 2 SabCab 2 222 3493613cabababab 所以13c （2） 221 1638 4 abababab，当且仅当4ab时取等 所以周长最大值为 12 19.【解析】 （1） 1 21 2 xxx （2）20,3ab ，所以3,3ab ， 92 cos 23 3 2 ， 4 20.【解
19、析】 （1） 1 BCAB， 11 BCBC， 11 ABBCBBC面 1 ABC （2）取 11 BC中点G，可证DG面 1 ABC，EG面 1 ABC，DGEGG面DEG面 1 ABC DE 面DEGDE面 1 ABC 21.【解析】 （1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表： 题号12345 实测答对人数88872 实测难度0.80.80.80.70.2 估计 120 人中有1200.224人答对第 5 题 （2）记编号为 i 的学生为 i A，i1,2,3,4,5， 从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人，基本事件总数 2 5 10nC， 恰好有 1 人答对第 5
20、题包含的基本事件有 6 个，分别为： 12 ,A A， 13 ,A A， 14 ,A A， 23 ,AA， 35 ,A A， 45 ,AA， 恰好有 1 人答对第 5 题的概率 63 105 P . （3）定义统计量 222 1122 1 nn SPPPPPP n ，其中 i P为第 i 题的实测难度， i P为第 i 题的预估难度i1,2,n. 222221 0.80.90.80.80.80.70.70.60.20.40.014 5 S ， 0.0140.05S ，该次测试的难度预估合理 22.【解析】 （1）证明：设平面 PAB 与平面 PCD 的交线为 l，则 ABCD，AB 平面 PC
21、D，AB平面 PCD AB 面 PAB，平面 PAB 与平面 PCD 的交线为 l，ABl AB 在底面上，l 在底面外 l 与底面平行； （2）因为OPOD，OPOC，所以二面角COPD为COD 设 CD 的中点为 F，连接 OF，PF 由圆的性质，2CODCOF ，OFCD OP 底面，CD 底面，OPCD OPOFO CD 平面 OPF CD 平面 PCD 平面OPF 平面 PCD 直线 OP 在平面 PCD 上的射影为直线 PF OPF为 OP 与平面 PCD 所成的角 由题设，60OPF设OPh，则tan3OFOPOPFh 22.5OCP， tantan22.5 OPh OC OCP 2 2tan22.5 tan451 1 tan 22.5 ， tan22.521 21 21 h OC 在RtOCF中， 3 cos63 21 OFh COF OC h 2 coscos 22cos117 12 2CODCOFCOF
