1、江苏镇江江苏镇江 2020-2021 学年度第二学期高二期末数学试卷学年度第二学期高二期末数学试卷 数学数学 一、选择题本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 1已知集合1Ax x，213Bxx ，则AB A1,2B1,2C,2D1,1 2若 20212021 012021 (1)xaa xax，xR，则 22021 0122021 333aaaa 的值为 A 2021 12 B 2021 12C 2021 2D2021 3草木葱茏，绿树成荫，鸟语花香，空气清新是我们梦寐以求的家园为了改善生活环境，今年 3 月份某学 校开展了植树活动
2、，根据收集到的数据（如下表） ，由最小二乘法求得回归方程0.665 25.yx后，由于某 种原因其中一个数据被损坏（表格中？处数据） ，请你推断出该数据的值 植树棵树x（单位：棵）1020304050 花费时间y（单位：分钟）626875？89 A81B81.7C81.6D82 4一不透明的口袋内装有若干个形状、质地完全相同的红色和黄色小球若事件“第一次摸出红球且第二次 摸出黄球”的概率为 2 5 ，事件“在第一次摸出红球的条件下，第三次摸出黄球”的概率为 1 2 ，则事件“第一 次摸出红球”的概率为 A 1 10 B 1 5 C 7 10 D 4 5 5现有 4 位学生干部分管班级的三项不同
3、的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项 工作，则这 4 位学生干部不同的分管方案种数为 A18B36C72D81 6某航空母舰的飞行甲板后部有四套安全着陆装置A，B，C，D，降落的飞行员着陆时，启用哪套安全 着陆装置按就近原则，例如：当某次降落的飞行员着陆时离装置A最近，首选启用装置A，若成功启用装置 A，则在此次着陆过程中不启用其它三套装置，若装置A出现故障则启用除装置A之外的最近装置，依此类 推只有当四套安全着陆装置同时出现故障时， 降落的飞行员着陆失败需拉起复飞经过对多次试验数据统计分析 显示：成功启用装置A的概率为 25%，成功启用装置B或装置C的概率为 54%，降
4、落的飞行员着陆失败需拉 起复飞的概率约为 1%现有一架战机着舰演练 100 次，则成功启用装置D的次数约为 A5B15C20D25 7已知关于x的一元二次不等式 2 0axbxc的解集为 13xx，则不等式0 axb cxa 的解集为 A 1 ,4 3 B 1 4, 3 C 1 ,(4,) 3 D 1 (, 4), 3 8 若点A，B分别是函数4exyx与3 3yx图象上的动点（其中e是自然对数的底数） ，则AB的最小 值为 A 7 10 10 B 49 10 C17D17 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选 对的得 5 分
5、，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9若ab，则下列结论一定成立的是 A22 ab B 11 ab C 33 baD0acbc c 10一个不透明的口袋内装有若干张大小、形状完全相同的红色和黄色卡片，现从口袋内随机抽取卡片，每次 抽取一张，随机变量 5 表示抽到黄色卡片的张数，下列说法正确的有 A若口袋内有 3 张红色卡片，6 张黄色卡片，从袋中不放回地抽取卡片，则第一次抽到红色卡片且第二次抽 到黄色卡片的概率为 1 4 B口袋内有 3 张红色卡片，6 张黄色卡片，从袋中有放回地抽取 6 次卡片，则随机变量 2 6, 3 B ，且 8 (21) 3 D C若随机变量(6,)HM N，且
6、( )4E，则口袋内黄色卡片的张数是红色卡片张数的 2 倍 D随机变量(3, )Bp， 2 2,N，若(1)0.784P，(24)Pp，则(0)0.1P 11已知命题 2 :340p xx；命题:210qax 若p是q的充分不必要条件，则实数a的值是 A 1 2 B1C 1 2 D0 12 已知函数( )(1 ln )f xxx，( )( )(2)F xf xfx， 函数( )f x和( )F x的导数分别量为( )fx，( )F x， 则 A( )f x的最大值为 1B( )( )(2)F xfxfx C( )( )(2)F xfxfxD当(0,1x时，( )0F x 恒成立 三、填空题：本
7、题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13曲线ln(21)yx在原点处的切线方程为_ 14已知圆柱的体积为 3 16 dm，则该圆柱的表面积的最小值为_ 2 dm 15若 6 2 1 mx x 的展开式中 3 x的系数为 5 2 ，则m的值为_，二项展开式中系数最大的为_ 16某人投篮命中的概率为 0.3，投篮 15 次，最有可能命中_次 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）有三个条件：函数( )f x的图象过点(0,1)，且1a ；( )f x在1x 时取得极大值11 6 ；函 数( )f x在3x 处的切线方程为427
8、0 xy，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充 完整（只要填写序号） ，并解答本题 题目：已知函数 32 1 ( )2 32 a f xxxxb存在极值，并且_ （1）求( )f x的解析式； （2）当1,3x时，求函数( )f x的最值 18 （12 分）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身 体质量指数（Body mass Index，缩写BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 22 (:kg) :m BMI 体重 单位 身高单位 中国成人的 BMI 数值标准为：18.5BMI 为偏瘦；18.523.9BMI为正常；2
9、427.9BMI为偏胖； 28BMI 为肥胖 为了解某学校教职工的身体肥胖情况，研究人员通过对该学校教职工体检数据分析，计算得到他们的BMI值 统计如下表： 男教职工人数女教职工人数合计 偏瘦（18.5BMI ）121628 正常（18.523.9BMI）352358 偏胖（2427.9BMI）18624 肥胖（28BMI ）15520 合计8050130 （1） 根据上述表格中的数据， 计算并填写下面的2 2列联表， 并回答是否有 90%的把握认为肥胖 （28BMI ） 与教职工性别有关 27.9BMI 28BMI 合计 男教职工 女教职工 合计 （2）在24BMI 的教职工中，按男女比例采
10、用分层抽样的方法随机抽取 8 人，然后从这 8 名教职工中随机 抽取 2 人，问被抽到的 2 人中至少有一名女教职工的概率为多少？ 参考数据： 2 0 P Kk0.150.100.050.0250.0100.005 0 k2.0722.7063.8415.0246.6357.879 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 19 （12 分）在三棱柱 111 ABCABC中，M，N分别为线段 11 AC与AB的中点 （1）求证：/MN平面 11 BBC C； （2）若侧面 11 BBC C为矩形，底面ABC为等腰直角三角形，2ACBC，MN与侧
11、面 11 AAC C所成角 的正切值为 1 2 ，与底面ABC所成角的正弦值为 2 5 5 ，求二面角MABC的正切值 20 （12 分） （1）解不等式 21 1 2 x x ； （2）对于题目：已知0m ，0n ，且1mn ，求 42 2Amn mn 最小值 同学甲的解法：因为0m ，0n ，所以 4 0 m ， 2 0 n ，从而： 424242 2222 28mnmnmn mnmnmn 所以A的最小值为 8 同学乙的解法：因为0m ，0n ， 所以 422(2 ) 223(2 )626 2 mn mnmnmnmn mnmn 所以A的最小值为6 2 请对两位同学的解法正确性作出评价； 为
12、巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决： 已知0a ，0b ，且(1)(2)6ab，求 612 12 Bab ab 的最小值 21 （12 分）为了促进学生加强体育锻炼，提升身体素质，某校决定举行羽毛球单打比赛甲和乙进入了决赛， 决赛采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束） ，每局比赛甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率 为 0.4，且每局比赛结果互不影响 （1）求决赛只比赛三局就结束的概率； （2）假设比赛规定：每局胜者得 2 分，负者得1分 求甲得 5 分的概率； 设甲的分数为，求随机变量 5 的分布列和数学期望 22 （12 分）已知函数 1 ( ) x x f xax
13、 e （aR，e为自然对数的底数） （1）若 1 e a ，请判断函数( )f x的单调性； （2）若对 1 x， 2 x R，当 12 xx，时，都有 21 21 1 f xf x xx ，成立，求实数a的取值范围 20202021 学年度第二学期高二期末数学试卷学年度第二学期高二期末数学试卷 答案答案 一、选择题本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 1 【答案】D 【解析】易知12,Bxx ，则( 1,1)AB ，选 D 2 【答案】C 【解析】取3x ，则有 20212021 012021 332aaa ，选 C 3 【答案】
14、A 【解析】30 x ， 294 5 t y ，所以 294 0.66 3055.275 5 t ，得81t ，选 A 4 【答案】D 【解析】 24 2 55 P ，选 D 5 【答案】B 【解析】 23 43 36C A ，选 B 6 【答案】C 【解析】 启用装置D的概率为125%54%1%20%， 所以成功启用装置D的次数约为0.2 10020， 选 C 7 【答案】C 【解析】 易知3ca，4ba ，0a ， 则0 axb cxa ， 等价于 4 0 31 x x ， 可知其解集为 1 ,(4,) 3 ， 选 C 8 【答案】A 【解析】 法一： 设 0 00 ,4exA xx ，
15、则 有 0 0 14ex x x y ， 令 0 1 4e3 x ， 得 0 0 x ， 所 以 可 知(0, 4)A， min 2 77 10 10 1 3 AB ，选 A 法二： 设( )4exf xx，( )3 3g xx，( )1 4exfx 令( )02ln2fxx 且当2ln 2x 时，( )0fx， f x ； 当2ln 2x 时，( )0fx，( )f x 设与( )g x平行且与( )f x相切的直线与( )f x切于 0 00 ,4exP xx 0 00 1 4e30 x fxx (0, 4)P P到直线( )g x的距离为 77 10 1010 d ，即 min 7 10
16、 () 10 AB，故选 A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选 对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9 【答案】AC 【解析】由ab，易知22 ab ， 33 ab，选 AC 10 【答案】ACD 【解析】对于A， 131 344 P ，正确； 对于B， 1216 (21)4( )4 6 333 DD ，错误； 对于C，有 6 ( )4 M E N ，则 2 3 M N ，所以黄卡是红卡数量的 2 倍，正确； 对于D，有 3 (1)1 0.7840.216p ，得0.4p ，所以 12 (0)0.1
17、2 p P ，正确； 选 ACD 11 【答案】CD 【解析】 法一： 对于p：41x ，对于q： 1 ,0 2 R,0 1 ,0 2 xa a xa xa a ，又p是q的充分不必要条件， 可得 11 82 a，选 CD 法二： p：41xx，p是q的充分不必要条件，pq 若0a 时，q： 1 2 x x a ， 11 10 22 a a 若0a 时，q： 1 2 x x a ， 11 40 28 a a 0a ，q：全体实数，此时满足pq 综上选：CD 12 【答案】ACD 【解析】由( )lnfxx ，易知 max ( )(1)1f xf，A 正确； ( )( )(2)ln (2)0F
18、xfxfxxx ，则01x时，( )(1)0F xF， C，D 正确，选 ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 【答案】2yx 【解析】 2 21 y x ，所以2k ，则切线为2yx 14 【答案】24 【解析】设高为h，半径为r，有 2 16hr，则 2 16 h r 所以 222 3 2 1664 222624Srrhrr rr 表 15 【答案】 1 2 m ； 15 4 【解析】通项为 612 3 6 ( 1) rrrr C mx ，令1233r，得3r ，则 3 5 20 2 m ，得 1 2 m ； 又系数为 6 6 1 ( 1) 2 r rr
19、 C ，考虑r为偶数的情况即可，易知4r 时，系数最大为 15 4 16 【答案】4 【解析】 法一： 记命中次数为X，则 15 15 ()0.30.7 rrr P XrC ， 考虑 (1)() (1)() P XrP Xr P XrP Xr ，得 0.30.7 16 0.70.3 151 rr rr 所以 1924 55 r，则4r ， 所以最有可能命中 4 次 法二： 投篮命中次数(15,0.3)XB， 15 15 ()C0.30.7 kkk P Xk 设最有可能命中m次，则 151116 1515 151114 1515 ()(1)C0.30.7C0.30.7 ()(1)0.30.7C0
20、.30.7 mmmmmm mmmmmm P XmP Xm P XmP XmC 3.84.8m， mZ，4m 最有可能命中 4 次 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【解析】 选 （1）易知1ab，所以 32 11 ( )21 32 f xxxx； （2）由 2 ( )20fxxx， 所以( )f x单调递增，故 max 41 ( )(3) 2 f xf， min 23 ( )(1) 6 f xf 18 【解析】 （1）列联表如下： 27.9BMI 28BMI 合计 男教职工651580 女教职工45550 合计11020130 所以 2 2
21、 130 (65 545 15) 1.81 80 50 110 20 K ， 则有 2 2.706K ，故没有90%的把握认为肥胖与教职工性别有关； （2）在24BMI 的教职工中，男 33，女 11，比例为3:1，所以抽取男 6，女 2，记至少有一名女教职工为 事件A，则 2 6 2 8 13 ( )1 28 C P A C 19 【解析】 （1）取AC中点为D，连结MD，ND，则有 1 /MD CC，/ND BC，又 1 BCCCC，则平面/MND 平面 11 BBC C，所以/MN平面 11 BBC C （2）依题意易知 1 2 ND MD ，所以2MD ， 设二面角MABC为，易知有1
22、 ABD S ，5MA ，2 2AB ，3MB ， 由余弦定理有 9585 cos 56 5 AMB ，所以 2 5 sin 5 AMB， 所以 12 5 353 25 AMB S ，则有 1 cos 3 ABD AMB S S ，故tan2 2 解析二： （1）证明：取BC的中点D，连接 1 C D，ND，M，N分别为 11 AC，AB的中点 1 MC / 1 2 AC，ND/ 1 2 AC， 1 MC /ND 四边形 1 MNDC为平行四边形， 1 /MN C D MN 平面 11 BBC C， 1 C D 平面 11 BBC C，/MN平面 11 BBC C （2）ABC为等腰直角三角形
23、，ACBC，90ACB，BCAC， 又侧面 11 BBC C为矩形， 1 BCCC， 1 ACCCC， BC 平面 11 AAC C 取AC中点E，连接NE，ME，则/NE BC，NE 平面 11 AAC C 11 tan2 2 NMEME ME 由NE 平面 11 AAC C，NE 平面ABC 平面ABC 平面 11 AAC C 设M到底面ABC距离为h， 2 5 2 55 h h 而2ME ，ME 平面ABC，过E作EFAB于点F，连接MF 则MFE即为所求二面角MABC的平面角， 2 2 EF 2 tan2 2 2 2 MFE 20 【解析】 解法一： （1） 21311 102 223
24、 xx x xx （2）甲错误，乙正确，同学甲的解法取等为2m ，1n ，此时21mn ，不符合题目 要求，所以甲错误； 易知22(1)3(1)2(2)3Babbaab 2 6(1)(2)39ab ， 当且仅当3(1)2(2)ab，即1ab取等，故 min 9B 解法二： （1） (31)(2)0 2131 10 222 xx xx xxx 1 2 3 x，故不等式解集为 1 ,2 3 （2）甲错误，乙正确，甲同学连续两次运用基本不等式，并不能保证可以同时取“=” 612 1212 24 (1)(2) ba Bababba ab 3243(1)2(2)32 6(1)(2)39ababab 当且
25、仅当 3(1)2(2) (1)(2)6 ab ab ，即 1 1 a b 时，取“=” 21 【解析】 解法一： （1） 33 0.60.40.28P ； （2）甲得 5 分，3 胜 1 负，概率为 33 4 10.60.40.2592C ； 易知可取3，1，1，4，5，6， 有 3 (3)0.40.064P ， 3 (1)3 0.40.60.1152P 32 (1)6 0.40.60.13824P， 32 (4)6 0.60.40.20736P， (5)0.2592P， 3 (6)0.60.216P， 所以分布列如下： 3 1456 P0.0640.11520.138240.207360.2
26、5920.216 数学期望为( )3 0.064 1 0.1152 1 0.138244 0.207365 0.25926 0.2163.25248E 解法二： （1）设甲连胜三局的概率为 1 P，乙连胜三局的概率为 2 P 则比赛三局就结束的概率 33 12 0.60.40.28PPP （2）甲得 5 分的情况为：甲胜 3 局，负 1 局 22 3 0.60.4 0.60.2592PC 的所有可能取值为：6，5，4，1，1，3 3 (6)0.60.216P，(5)0.2592P， 222 4 (4)C0.60.40.60.20736P， 222 4 (1)C0.40.60.40.13824P
27、， 22 3 (1)C0.40.6 0.40.1152P ， 3 (3)0.40.064P 的分布列如下 654 13 P0.2160.25920.207360.138240.11520.064 ( )6 0.2165 0.25924 0.20736 1 0.13824( 1) 0.1152( 3) 0.0643.25248E 22 【解析】 解法一： （1）易知( ) x x fxa e ， 1 ( ) x x fx e 所以( )fx在(,1)单调递减，在(1,)单调递增，则 1 ( )(1)0fxfa e ， 所以 f x单调递增； （2）不妨设 12 xx，则 21 21 1 f xf
28、 x xx ，等价于 2211 f xxf xx， 记( )( )g xf xx，等价于( )g x在R单调递增，即( )0g x恒成立， 易知( )( ) 1g xfx，( )( )g xfx， 则由（1）可知( )g x在(,1)单调递减，在(1,)单调递增， 所以 min 1 ( )(1)1g xga e ，则可知 1 1a e 解法二： （1） 2 ee (1) ( ) ee xx xx xx fxaa 令( ) ex x h x ， 2 ee1 ( ) ee xx xx xx h x ，令 ( )01h xx令 且当1x 时，( )0h x，( )h x ；当1x 时，( )0h x，( )h x 1 ( )(1) e h xh ，而 1 e a ， 11 ( )0 ee fx ( )f x在R上单调递增 （2）由 1 x， 2 x的对称性，不妨设 12 xx 则 21211122 f xf xxxf xxf xx 令 1 ( )( )(1) ex x F xf xxax ， 12 F xF x ( )f x在R上单调递增 x ( )1 e x F xa ，( )10 ex x F xa 对任意的xR恒成立 max 11 11 eee x x aa ，实数a的取值范围为 1 1, e
