1、南通市南通市20212021年高一年级第二学期期末质量监测年高一年级第二学期期末质量监测 数学数学 一、 单选题一、 单选题 1. 设集合A=x|0 x2,B =x|x1,则AB = () A. (-,1B. (-,2C. 0,1D. 1,2 2.设zi=1-2i,则z= () A. -2-iB. -2+iC. 2+iD. 2-i 3.ab0是 1 a abB. bacC. acbD. bca 5.德国天文学家,数学家开普勒(J.Kepier,1571-1630)发现了八大行星的运动规律:它们公转时间 的平方与离太阳平均距离的立方成正比.已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的 2 倍,
2、土星的公转时间约为10753 d.则天王星的公转时间约为 () A. 4329 dB. 30323 dC. 60150 dD. 90670 d 6.已知m,n是两条不重合的直线， ,是两个不重合的平面， 则下列结论正确的是 () A. 若m/n,m/,则n/B. 若,m,则m/ C. 若m/,m/,则/D. 若m,n,则m/n 7.甲.乙两人独立地破译某个密码， 甲译出密码的概率为 0.3， 乙译出密码的概率为0.4.则密码被破 译的概率为 () A. 0.88B. 0.7C. 0.58D. 0.12 8.英国数学家泰勒发现了如下公式： sinx = x - x3 3! + x5 5! - x
3、7 7! + ., 其中 n! = 1 2 3 4 . n.根据该公式可知， 与-1+ 1 3! - 1 5! + 1 7! -.的值最接近的是 ( ) A. cos57.3B. cos147.3C. sin57.3D. sin(-32.7) 二、 多选题二、 多选题 9.在复平面内， 复数z对应的点为(1,3)则 () A. z+z =2B. z2=10C. zz =10D. | z 1+i |=5 10. 一只袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个白球和2个黑球， 从袋中不放回地依次随机摸 出2个球， 甲表示事件 “两次都摸到黑球” ， 乙表示事件 “两次都摸到白球” ， 丙表示事件
4、“一次摸到 白球， 一次摸到黑球” ,丁表示事件 “至少有一次摸到白球” ， 则 () A. 甲与乙互斥B. 乙与丙互斥C. 乙与丁互斥D. 丙与丁互斥 11. 已知O是ABC 所在平面内一点， 则下列结论正确的是 () A. 若(AB +AC )(AB -AC )=0， 则ABC 为等腰三角形 B. 若AB AC 0,则ABC 为锐角三角形 C. 若OB =AC -AB ， 则O,B,C 三点共线 D. 若OA BC =0， OB AC =0,则OC AB =0 12. 已知圆台上、 下底面的圆心分别为O1,O2， 半径为2， 4， 圆台的母线与下地面所成角的正切值为3， P为O1O2上一点
5、， 则 () A. 圆台的母线长为6 B. 当圆锥PO1圆锥PO2的体积相等时， PO1=4PO2 C. 圆台的体积为56 D. 当圆台上、 下底面的圆周都在同一个球面上时， 该球的表面积为80 三、 填空题三、 填空题 13. 今年5月1日， 某校5名教师在 “学习强国” 平台上的当日积分依次为43， 49， 50， 52， 56， 则这5个 数据的方差是. 14. 已知角的终边经过点P(-1,2),则tan(- 4 )= . 15. 已知a,b是非零实数， 若关于x的不等式x2+ax+b0恒成立， 则b+ 1 a2 的最小值是 . 16. 已知函数 f(x)=|x|-|x-2|,则 f(x
6、)的值域是， 不等式 f(x)b0是 1 a b0 1 a 1 b ,1 a b0 4.设a=20.3,b=log0.32,c=log32,则 () A. cabB. bacC. acbD. bca 【答案】 C 【解析】 a1,b0,0c0,则ABC 为锐角三角形 C. 若OB =AC -AB ， 则O,B,C 三点共线 D. 若OA BC =0， OB AC =0,则OC AB =0 【答案】 AC 【解析】 0=(AB +AC )(AB -AC )=c2-b2， c=b， A正确 A是锐角， 但不一定是锐角三角形， B 错误 OB =BC ,C 正确 O是垂心， 正确 12. 已知圆台上
7、、 下底面的圆心分别为O1,O2， 半径为2， 4， 圆台的母线与下地面所成角的正切值为3， P为O1O2上一点， 则 () A. 圆台的母线长为6 B. 当圆锥PO1圆锥PO2的体积相等时， PO1=4PO2 C. 圆台的体积为56 D. 当圆台上、 下底面的圆周都在同一个球面上时， 该球的表面积为80 【答案】 BCD 【解析】 h=3(4-2)=6,母线l=2 10,A错误 r1 r2 = 1 2 ,PO1 PO2 =4,B 正确 V= 1 3 6(4+ 416 +16)=56,C 正确 设球心到上底面的距离为x， 则22+x2=(6-x)2+42,解得x=4,r=2 5,S=80,D正
8、确 三、 填空题三、 填空题 13. 今年5月1日， 某校5名教师在 “学习强国” 平台上的当日积分依次为43， 49， 50， 52， 56， 则这5个 数据的方差是. 【答案】 18 【解析】 x =50,s2= 49+1+4+36 5 =18 14. 已知角的终边经过点P(-1,2),则tan(- 4 )= . 【答案】 3 【解析】 tan=-2,tan(- 4 )= -2-1 1-2 =3 15. 已知a,b是非零实数， 若关于x的不等式x2+ax+b0恒成立， 则b+ 1 a2 的最小值是 . 【答案】 1 【解析】 a2-4b0,b+ 1 a2 b+ 1 4b 1,当且仅当b=
9、1 2 ,a= 2 时取等 16. 已知函数 f(x)=|x|-|x-2|,则 f(x)的值域是， 不等式 f(x) f(2x)的解集是. 【答案】 -2,2 (0,2) 【解析】f(x)= -2,x2 ,值域为-2,2, x与2x同号， 所以x0时， 不成立 x0时， 0 x2x2或 0 x2 2x2 ,解得x(0,2) 四、 解答题四、 解答题 17. 已知函数 f(x)=log3(3+x)+log3(3-x). （1） 求证： f(x)为偶函数； （2） 求 f(x)的最大值. 【解析】 (1)定义域为(-3,3),f(-x)=log3(3-x)+log3(3+x)= f(x),所以 f
10、(x)为偶函数 （2） f(x)=log3(3+x)(3-x)=log3(9-x2)log39=2 当x=0时取得最大值2 18. 在(a+b+c)(a+b-c)=3ab tanA+tanB tanAtanB -1 = 3 sinC 2sinB -sinA = cosC cosA 这三个条件 中任选一个， 补充在下面的横线上， 并加以解答. 在ABC 中， 角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足. （1） 求角C 的大小； （2） 若D为边BC 上一点， 且AD=6,BD=4,AB =8,求AC. 【解析】（1） 选,a2+2ab+b2-c2=3ab,c2=a2+b2-ab,C = 3
11、 （2） cosADB = 62+42-82 264 =-1 4 ,sinADC =sinADB = 15 4 AC sinADB = 6 sinC ,解得AC =3 5 19. 如图， 菱形ABCD的边长为2， DAB =60， DE =EC ,DF =2FB 求：（1） AE AF ; （2） cosEAF 【解析】（1） AE AF = （ 1 2 AB +AD ） ( 2 3 AB + 1 3 AD )= 13 3 （2） cosEAF = 13 3 7 2 7 3 = 13 14 20. 某城市缺水问题比较严重， 市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价， 为了解家庭用水量 的情况
12、， 相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量 （单位： L） 得到如下频率分布表 分组频数频率 1.5,4.5)220.22 4.5,7.5)310.31 7.5,10.5)x0.16 10.5,13.5)100.10 13.5,16.5)yz 16.5,19.5)50.05 19.5,22.5)50.05 22.5,25.5)30.03 25.5,28.5)20.02 合计1001 （1） 求上表中x,y,z的值； （2） 试估计该区居民的月平均用水量； （3） 从上表月平均用水量不少于22.5t的5户居民中随机抽取2户调查， 求2户居民来自不同分组 的概率. 【解析】（1） x=
13、16,y=6,z=0.06 （2） x =30.22+60.31+90.16+120.1+150.06+180.05+210.05+240.03+ 270.02=9.27 （3） P= 3 5 21. 如图， 在四棱锥P -ABCD中， PD面ABCD， AB/CD,BAD=60， AB =AD= 1 2 CD=2,E 为棱PD上的一点， 且DE =2EP=2 （1） 求证： PB/面AEC； （2） 求直线AE 与面PCD所成角的正弦值. 【解析】（1） 连接BD交AC 于F， 连接EF.因为AB/CD， 所以 DF FB = CD AB =2= DE EP , 所以EF/PB， 又EF 面
14、AEC， PB 面AEC， 所以PB/面AEC （2） 作AG DC， 垂足为G， PD面ABCD， AG 面ABCD， 所以AG PD， 又PDCD=D， 所以AG 面PCD， 所以直线AE 与面PCD所成角为AEG. sinAEG = AG AE = 3 2 2 = 6 4 22. 已知函数 f(x)=3sin2x+2sinxcosx+3 3cos2x. （1） 若(0,),f( 2 )=3 3,求的值； （2） 将函数y= f(x)的图像向右平移 6 个单位长度， 向下平移2 3 个单位长度得到曲线C， 再把C 上所有的点横坐标变为原来的2倍 （纵坐标不变） ， 得到函数y= g(x)的
15、图像.若函数F(x)= g( 2 -2x)+mg(x)在区间(0,n)(nN *)上恰有2021个零点， 求m,n的值. 【解析】f(x)=2sin(2x+ 3 )+2 3 （1） f( 2 )=2sin(+ 3 )+2 3 =3 3 sin(+ 3 )= 3 2 , 因为(0,)， 所以+ 3 = 2 3 ,所以= 3 （2） g(x)=2sinx,F(x)=2cos2x+2msinx=2(1-2sin2x)+2msinx=0 令t=sinx-1,1,2t2-mt-1=0 （*） ,t=0时显然不成立 若 （*） 其中一根为1， 则m=1,另一根为- 1 2 , 所以F(x)在(0,)上1个
16、零点， (,2)上2个零点， 即F(x)在(0,1346)上共2019个零点， (1346,1347)上1个零点， (1347,1348)2个零点， 所以不存在n使得(0,n)有2021个零点 若 （*） 其中一根为-1， 则m=-1,另一根为 1 2 ,所以F(x)在(0,)上2个零点， (,2)上1个 零点， 即F(x)在(0,1346)上共2019个零点， (1346,1347)上2个零点， 所以n=1347 若 （*） 在(-1,1)上只有一根， 则F(x)在(k,(k+1)上要么2个零点， 要么0个， 所以(0,n) 上零点个数只能是偶数， 因为2021是奇数， 所以不符题意舍去 综上m=-1,n=1347
