1、 高二数学参考答案 第1页（共 5 页） D C B A C1 B1 A1 绵阳市高中 2019 级第二学年末教学质量测试 理科数学 参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 DABDC BCAAC AD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1312 140 15( ，2) 16 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17解： （1）由题意所求概率为 501 502506 P = + 3 分 （2）由题意 X 的可能取值为 0，1，24 分 A 地区抽取 1 户，纯收入未超过 10000 元的概率为 15 1 66 =
2、 B 地区抽取 1 户，纯收入未超过 10000 元的概率为 1001 200 1003 = + 6 分 5121 (0)(1)(1) 63189 P X =， 521111 (1) 636318 P X =+=， 515 (2) 6318 P X = 9 分 分布列为 X 0 1 2 P 1 9 11 18 5 18 期望为 11157 ()012 918186 E X =+ +=12 分 18解： （1）ABCCAB=， 又CA=a，CB =b， 1 CC =c， AB = ba 2 分 由题意得 1111 C DADAC=+ 点 D 是 BC1的中点， 1111 1 2 ADACC B=
3、+4 分 由三棱柱 ABC-A1B1C1得 11 CAC A=a 11 C BCBCC=bc， 1 11 22 AD = +abc 6 分 高二数学参考答案 第2页（共 5 页） （2）CA=1，BC= CC1=2，ACC1=90，ACB=BCC1=60， 102= = =，a ba cb c 2 222 )2412 1 2 cos603(AB=+ =bab +aa b， 3AB = 8 分 22 2 1 22 11111 ) 2242 ( 4 AD +=+ =abcabca ba cb c， 1 1 1 1 1021 2 + + += 1 1AD = 9 分 1 22 111111 ) ()
4、 2222 ( 22 AB AD += + +=+baabcb abb caa ba c 11111 142110 22222 + += 11 分 由 1 1 1 113 cos 263 1 AB AD AB AD ABAD = ，= 异面直线 AB 与 A1D 所成角的余弦值为 3 6 12 分 19解： （1） 2 ( )32f xxaxb=+， 1 分 由题意得(2)1244fab=+=， 又(2)842 +3fab c=+=，且点(0，1)在函数 f(x)的图象上， 48 1 425 ， ， ， ab c abc += = += 解得 5 21 2， ，abc= =.5 分 32 5
5、( )21 2 f xxxx=+. 6 分 （2）由函数 232 7 ( )( )21 2 g xf xxxxx=+，x-1，2. 2 ( )372g xxx=+，7 分 由( )0g x，解得 1 1 3 x ，函数 g(x)在(-1， 1 3 )上单调递增. 由( )0g x，解得 1 2 3 x，函数 g(x)在( 1 3 ，2)上单调递减. 11 ( 1) 2 g = ，(2)1g= ， 函数g(x)的最小值为 11 2 . 11分 要使不等式( )tg x在区间-1，2上恒成立， 11 2 t 12 分 高二数学参考答案 第3页（共 5 页） x z y F P E D C B A
6、F P E D C B A 20解： （1）取 AD 中点 F，连接 EF，PF PA=PD， PFAD， 2222 ( 5)12PFPAAF= 在ABD 中，BAD=45， 2 2AB = ，BC=2， 由余弦定理 222 2cosBDABADAB ADBAD=+ 2 8422 224 2 =+ =， 222 BDADAB+= ，BDAD3 分 点 E，F 分别是 AB、AD 的中点，EF= 1 2 BD=1 又2PF =， 5PE = ， 222 EFPEFP+= ，PFEF. 点 E，F 分别为AB，AD 的中点，EFBD. BDPF， 又ADPFF=，AD，PF 平面ADP， BD 平
7、面ADP6 分 （2）由（1）得EF 平面ADP.建立如图所示的空间直角坐标系F xyz 由题意得 D(-1，0，0)，P(0，0，2)，C(-3，2，0)，E(0，1，0). CP =(3，-2，2)，DC =(-2，2，0)，EC =(-3，1，0) 8 分 设平面DPC的法向量为() 111 ， ，nxyx= 则 11 111 2 220 320 ， ， DC CP nxy nxyz = += =+= 取 1 1z = ，则 1 2x =， 1 2y = n =(2，2，-1) 9 分 设平面CPE的法向量为() 222 ， ，mxyx= 则 222 22 3220 30 ， ， m C
8、Pxyz m ECxy =+= =+= 取 2 6y =，则 2 2x =， 2 3z = m =(2，6，3) 10 分 cos 44143619 1313 2 mn m n mn = + + ， 由图知，二面角DCPE为锐角， 二面角DCPE的余弦值为 13 21 12 分 高二数学参考答案 第4页（共 5 页） 21解： （1）由题意得 2 22 (2)11 ( ) (1)(1) axa fx xxx x x+ = + (0)x 2 分 当0，即24a 时， ( ) 0fx 恒成立， 函数 ( )f x在(0)， +上单调递增 4 分 当0 ，即4a 时，令 ( )0fx= ， 解得 2
9、 1 (2)4 2 aaa x = ，或 2 2 (2)4 2 aaa x + = a2， 2 0 x 22 (2)(4 )40aaa=， 1 0 x ，且 12 xx 函数 ( )f x在 1 (0)，x和 2 (+ )x，上单调递增，在 12 ()，xx上单调递减 5 分 综上所述，当 24a时，函数 ( )f x在(0)， +上单调递增； 当4a 时，函数 ( )f x在 2 (2)4 (0) 2 ， aaa 和 2 (2)4 () 2 ， aaa+ +上单调递增， 在 22 (2)4(2)4 () 22 ， aaaaaa+ 上单调递减 6 分 （2）由题意知 2 2 (2) ) (1)
10、 1 (0f xa x x x x + = + 有两个不相等实数根 1 x， 2 x， 不妨令 1 x 2 x,由（1）可知 12 4 2，axxa+=， 12 1x x = 则 11 1 ( )ln 1 a f xx x =+ + ， 22 2 ()ln 1 a f xx x =+ + 8 分 121 12 212 () ( )()ln (1)(1) xa xx f xf x xxx =+ + 121 21212 () ln ()1 xa xx xx xxx =+ + 221 1 () ln 1(2)1 a xx x a =+ + 2 121 lnxxx=+ 2 11 1 1 lnxx x
11、=+，又由 121 1 1 22axxx x =+=+ 得 1211 1 2514 ( )()2ln 3333 f xf xaxx x =+ 10分 12 xx， 1 1 1) 4， x 设 12 2514 ( )( )()2ln 3333 g xf xf xaxx x =+( 1 1) 4， x)， 2 251 ( ) 33 g x xx = 2 2 (561) 3 xx x + = 2 (1)(51) 3 xx x =， 1 1) 4， x，( )0g x，( )g x在 1 1) 4， 单调递增， 8 ( )(1) 3 g xg= ， 12 28 ( )() 33 f xf xa ， 1
12、2 28 ( )() 3 a f xf x 12 分 高二数学参考答案 第5页（共 5 页） 22解： （1）直线 l 的参数方程为 3 1 2 1 1 2 xt yt = = + ， （t 为参数） 3 分 2= ，且 222 xy=+， 22 4xy+=， 曲线 C 的直角坐标方程为 22 4xy+= 5 分 （2）设点 A，点 B 对应的参数分别为 12 ，tt 将直线l的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得 2 ( 3 1)20tt， 由韦达定理得 121 2 ( 3 1)2ttt t， 1 212 2PAPBttt t= 10 分 23解： （1）依题意，3 1313xx+ . 当
13、1 3 x 时，31 31 3xx +，解得 1 2 x； 当 11 33 x时，31 31 3xx+ +，解得 23（舍） ； 当 1 3 x 时， 31 31 3xx+ +解得 1 2 x 4 分 综上所述，不等式 ( ) 3f x 的解集为 1 | 2 x x或 1 2 x. 5 分 （2）依题意得，( ) 3131(31)(31)2f xxxxx=+= ， 当 11 33 x时， 等号成立， 2ab+= 7 分 12112 ()() 2 ab abab +=+ 12 (3) 2 ba ab =+ 1 (32 2) 2 + 当且仅当 2ba ab =，即 2 22a = ， 42 2b = 时，等号成立， 12 ab +的最小值为 1 (32 2) 2 +. 10 分
