1、高二数学试题（理科） 第 1页 共 4 页 眉山市高中 2022 届第四学期期末教学质量检测 数学试题卷（理工类）2021.07 本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分共 150 分考试时间 120 分钟 注意事项： 1.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号 2.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 4.考试结束后，将答题卡交回 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每
2、小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项 中，只有一项是符合题目要求的 1若i是虚数单位， 3 1 1 i z i ，则z的虚部为 A1BiCiD1 2用数学归纳法证明等式 + (2)(3) 1 2 3(2)() 2 nn nnN 时，第一步验证 1n时，左边的项是 A1B1+2C1+2+3D1+2+3+4 3某班有学生 48 人，现将所有学生按 1，2，3，48 随机编号，若采用系统抽样的方 法抽取一个容量为 6 的样本，抽得编号为6, ,22,30, ,46xy，则xy A52B50C62D54 4某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电 量
3、y(单位：kWh)与气温 x(单位：)之间的关系，随机选取了 4 天的用电量与当天气 温， 并制作了如下对照表： 由表中数据得线性回归方程：y 2x60，则 a 的值为 A40B48C58D64 5若(21) n x展开式中的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则展开式中 3 x的 系数为 A40B80C80D40 x(单位：)1714101 y(单位：kWh)243438a 高二数学试题（理科） 第 2页 共 4 页 6我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道闻名世 界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争小僧三 人分一个，大小和尚各几丁？”如右图所示的程序框图 反映了对此问题的一个
4、求解算法，则输出n的值为 A20B25 C30D35 7若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10 x10,给出以下结论： a2=160|a0|+|a1|+|a2|+|a10|=310 a1+a2+a10=1 312 23 222 aaa 10 10 1 2 a 其中正确的结论有 ABCD 8设函数( )f x在R上可导，其导函数为( ) f x ，且函数(1)( )yx f x的图像如图所示， 则下列结论中一定成立的是 A函数( )f x有极大值(2)f和极小值(1)f B函数( )f x有极大值( 2)f和极小值(1)f C函数( )f x有极大值(2)f和极小值( 2)f D函数
5、( )f x有极大值( 2)f和极小值(2)f 9两对夫妇各带一个小孩儿到某游乐园游玩，购票后依次进行“防疫”检查入园，为安 全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这 6 个人的入园顺序 的排法种数是 A12B24C36D48 10从6，9中任取一个实数 m，则直线 3x4ym0 被圆 x2y22 截得的弦长大于 2 的概率为 A2 3 B2 5 C1 3 D1 5 11关于x的方程 32 ln2xxexmx有两个实数根，则实数m的取值范围为 A 2 1 m e e B 2 1 m e e C 2 1 m e e D 2 1 m e e 12已知函数( )f x的定义域为(0
6、,)，导函数为( ) f x ,满足( )( )(1) x xfxf xxe( 为 自然对数的底数)，且(1)=0f,则 A 1 ( )(1)(2)fff e B( )f x在1x处取得极小值 C( )f x在1x处取得极大值D 1 (2)(1)( )fff e 高二数学试题（理科） 第 3页 共 4 页 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题:本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.请将答案填在答题卷中的相应位置. 13设i为虚数单位，复数z满足iiz2)1 (，则z. 14伟大出自平凡，英雄来自人民. 在武汉疫情期间，某大学学生会自发从学生会6 名男生和8 名女生骨干成员中
7、选出2 人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A表示事件“抽到 的2 名队长性别相同”，B表示事件“抽到的2 名队长都是男生”， 则()=P B A. 15为了引导广大师生积极学习党史,某市教育局抽调四名机关工作人员去该市三所不同的 学校开展党史宣讲服务,每个学校至少去一人,则不同的分配方法种数为. 16若a为整数， 且对(0,) x,不等式()(1)2 x a x ex恒成立， 则整数a的最大值为. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（本小题满分 10 分） 设 32 ( )232f xxx （1）求( )f x的单调区间及( )
8、f x的极值； （2）求( )f x在区间0,2上的最大值与最小值. 18 （本小题满分 12 分） 国庆 70 周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线， 每一名女兵都是经过层层筛选 才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女 兵身高(单位：cm)在区间165,175内现从全体受阅女 兵中随机抽取 200 人，对她们的身高进行统计，将所得 数据分为165,167)，167,169)，169,171)，171,173)， 173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中 第三组的频数为 75，最后三组的频率之和为 0.7. （） 请根据频率分布直方图估计样本的平均数 x 和方 差 s
9、2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)； （）用频率估计概率，从全体受阅女兵中随机抽取 3 个，求身高位于区间165，169） 内的人数不超过 2 个的概率； （）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X(cm)近似服从正态分布N(，2)，其中近 似为样本平均数 x ，2近似为样本方差s2，求P(167.86X174.28). 参考数据： 若XN(， 2)， 则P(X)0.6826， P(2X2)0.9544，11510.7. 高二数学试题（理科） 第 4页 共 4 页 19（本小题满分 12 分） 经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数(010,)xxxN与每辆车 的销售价格y(单位
10、：万元)进行整理，得到如表的对应数据： 使用年数246810 售价16139.574.5 （）试求y关于x的回归直线方程； （）已知每辆该型号汽车的收购价格w(单位：万元)与使用年数(010,)xxxN的函 数关系为 2 0.051.7517.2,(06) 1.517.7,(610) xxx w xx ，根据()中所求的回归方程，预测x为 何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 20（本小题满分 12 分） 新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、 透气、舒适，长年供不应求.评价棉花质量的重要指标之
11、一就是棉花的纤维长度，新疆农 科所在土壤环境不同的 A、B 两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉 花质量， 在棉花成熟后， 分别从 A、 B 两地的棉花中各随机抽取 40 根棉花纤维进行统计， 结果如下表： （记纤维长度不低于 300mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”）. 纤维长度(0,100)100,200)200,300)300,400)400,500 地（根数）492178 地（根数）2122015 （）由以上统计数据，填写下面2 2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”( 2 K的观测值精确到 0.001) . 附： （
12、）临界值表； 2 0 ()P Kk 0.100.050.0250.0100.0050.001 0 k2.7063.8415.0246.6357.87910.828 现从抽取的 80 根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取根做进一步研究，记地 “短纤维”的根数为 Y，求 Y 的分布列和数学期望. （）根据上述地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将地“长纤维”的频率 视为概率，现从地棉花（大量的棉花）中任意抽取根棉花，记抽取的“长纤维” 的根数为 X，求 X 的数学期望和方差. 21（本小题满分 12 分） 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd A地B地总计 长纤维
13、短纤维 总计 1 2 2 1 n ii i n i i x yn x y bayb x xn x ， 高二数学试题（理科） 第 5页 共 4 页 已知函数 3 ( ) ( )ln , ( ) f x f xxx g x x . （）若直线l过点(0, 1)且与曲线( )yf x相切，求直线l的方程； （）若 2 1 ( )g xm x 对(0,) x恒成立，求m的取值范围. 22（本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( ) ax f xxe(e为自然对数的底数)，( ) f x 为( )f x的导函数. （）求函数( )f x的单调区间； （）当1a时，若存在不相等的实数 12 ,x x,使
14、得 12 ( )= ( )f xf x,证明： 12 ()0 2 xx f. 眉山市高中 2022 届第四学期期末教学质量检测 高二数学试题（理科） 第 6页 共 4 页 数学(理科类)参考答案2021.07 一.选择题（每题 5 分，共 60 分） 123456789101112 DCADCBDDBAAB 二.填空题（每题 5 分，共 20 分） 13.214. 15 43 15.3616.2 三.解答题 （6 小题，共 70 分） 17. 解： （）,令1 分 当时，,当时，2 分 所以，减区间为；4 分 当时，有极大值, 当时，有极小值；6 分 （）由（1）知在上为减函数，在上为增函数，
15、 所以当的最小值为8 分 又,所以的最大值为 6.10 分 18. 解： （）由题知五组频率依次为 0.1,0.2,0.375，0.25，0.075，1 分 故 x 0.11660.21680.3751700.251720.075174170，3 分 s2(170166)20.1(170168)20.2(170172)20.25(170174)20.0754.6， 5 分 （）随机抽一个身高在内的概率，记身高在内的 人数为 X，则，所以；8 分 （）由题知170， 4.6 115 5 2.14，9 分 高二数学试题（理科） 第 7页 共 4 页 P(167.86X174.28)P(X2)0.6
16、82 60.954 40.682 6 2 0.818 5，12 分 19. 解： （）由表中数据，得 x 1 5(246810)6，1 分 y 1 5(16139.574.5)10，2 分 由最小二乘法得 b 21641369.587104.55610 4163664100536 1.45，4 分 a 10(1.45)618.75 分 所以 y 关于 x 的回归直线方程为 y1.45x18.7.6 分 （）由题意当，zy 1.45x18.7(0.05x21.75x17.2) 0.05x20.3x1.5， 其中 0 x10，且 xN， z0.05x20.3x1.5 0.05(x3)21.95，
17、所以预测 x3 时，z 最大为9 分 当时 所以预测时，z 最大为，11 分 综上时，所获得的利润最大.12 分 20. 解： （）根据已知数据得到如下列联表： A 地B 地总计 长纤维253560 短纤维15520 总计404080 根据列联表中的数据可得：3 分 因为，所以可以在犯错误的概率不超过的前提下认为“纤维长度与 土壤环境有关系” ，4 分 （）由题意可知 的可能取值为：0,1,2. 高二数学试题（理科） 第 8页 共 4 页 且7 分 所以 的分布列为： 012 P 所以；9 分 （）由表中数据可知，抽到的棉花为“长纤维”的概率为，10 分 所以. 12 分 21.解： （）设切
18、点为, 1 分 所以,解得, 2 分 所以直线 l 的斜率为 1，从而得直线 l 的方程为：; 5 分 （）由,即恒成立，6 分 令,则, 7 分 令得,8 分 当时，;当时，所以递增， 在递减，10 分 所以,所以. 12 分 22. 解： （）由题知：1 分 当时，上递增；2 分 当时，令,令，所以 高二数学试题（理科） 第 9页 共 4 页 递减；3 分 当时，同理可得递增；4 分 综上当时，上递增； 当时，递减； 当时，递增.5 分 （）当时，,由（1）知递减，所以 要证,只需证：,即证：6 分 由递减， 且, 所以当则，7 分 令-,8 分 当时，上递增，9 分 所以当时，,由,10 分 由得，又上递减， 所以 所以原不等式成立.12 分
