1、扬州市扬州市 20202021 学年度第二学期期末检测试题学年度第二学期期末检测试题 高一数学高一数学 2021.6 （全卷满分（全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）分钟） 一一 单项选择题（本大题共单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的选项中，只有一项分在每小题给出的选项中，只有一项 符合要求）符合要求） 1sin22 sin52sin68 sin38（） A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 2已知正四棱锥SABCD的底面边长为 2，侧棱长为3，则该正四棱锥的体积等于（） A 4 3 B 4 3 3 C4
2、 3D4 3已知复数z满足(1 2i)34iz（i为虚数单位） ，则| z （） A5B5C3D3 4设每个工作日甲乙两人需使用某种设备的概率分别为 0.4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工 作日至少 1 人需使用这种设备的概率为（） A0.3B0.5C0.7D0.9 5设mn、是两条不同的直线，、 、是三个不同的平面下列命题中正确的命题是（） A若，m，n，则mnB若，则 C若m，n，则mnD若，m，则m 6在等边ABC中，2DBCD ，向量AD 在AB 向量上的投影向量为（） A 1 3 AB B 2 3 AB C 1 3 ABD 2 3 AB 7已知 sincos 1 1 c
3、os2 ， 1 tan() 3 ，则tan（） A1B1C7D7 8已知ABC中，2AB ，其外接圆半径为 2，若4AB AC ，则角A的最大值为（） A 6 B 4 C 3 D 2 二二 多项选择题（本大题共多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出消费支出包括食品烟酒衣着居住 生活用品及服务交通通信教育
4、文化娱乐医疗保健和其他用品及服务八大类国家统计局采用分层多阶段 与人口规模大小成比例的概率抽样方法，在全国 31 个省（区市）的 1800 个县（市区）随机抽选 16 万个居 民家庭作为调查户国家统计局公布的我国 2019 年和 2020 年全国居民人均消费支出及构成，如图 1 和图 2 所示，则下列说法中正确的有（） A2020 年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出高于 2019 年 B2020 年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于 2019 年 C2019 年和 2020 年全国居民人均居住消费在八大类中所占比重最大 D2020 年全国居民人均消费支出低于 201
5、9 年全国居民人均消费支出 10已知实数, ,x a b和虚数单位i，定义：复数 0 cosisinzxx为单位复数，复数 1 izab为伴随复数， 复数 0 1 ( )( )izz zf xg x为目标复数，目标复数的实部( )f x和虚部( )g x分别为实部函数( )f x和虚部函 数( )g x，则正确的说法有（） A( )cossinf xaxbx B( )sincosg xaxbx C若( )=2sin() 3 f xx ，则3a ，1b D若3a ，1b 且 6 ( )= 5 g x，则锐角x的正弦值 3 34 sin 10 x 11设, , ,A B C D是两两不同的四个点，
6、若ACmAB ，ADnAB ，且2mnmn，则下列说法正确的 有（） A点C可能是线段AB的中点B点B可能是线段AC的中点 C点,C D不可能同时在线段 AB 上D点,C D可能同时在线段AB的延长线上 12已知长方体 1111 ABCDABC D中，3ABBC， 1 1AA ，P是线段 1 BC上的一动点，则下列说法 正确的有（） A当P与 1 C重合时，三棱锥PACD的外接球的表面积为7 B三棱锥 1 APCD的体积不变 C直线AP与平面 1 ACD所成角不变 DAPPC的最小值为 3 三三 填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）
7、13数据9，8，7，6，5，4，3，2，1的40百分位数是_ 14已知平行四边形ABCD中，6AB ，4AD ， 3 BAD ，MN分别为BCCD的中点，则 AM AN _ 15如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角 45 ,MANC点的仰角30CAB以及75MAC；从C点测得60MCA，已知山高 50mBC ，则山高MN _m 16 甲乙两班参加了同一学科的考试， 其中甲班 50 人， 乙班 40 人 甲班的平均成绩为 76 分， 方差为 96 分 2 ； 乙班的平均成绩为 85 分，方差为 60 分 2 那么甲乙两班全部 90 名学生的平均成绩是_分
8、，方差是 _分 2 （注：第一空 2 分，第二空 3 分） 四四 解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 70 分解答应写出必要的文字说明分解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 17已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, , , 3sincos2,2 3a b cAAa （1）求A； （2）在cossinaBbA， 222 2bacac这两个条件中任选一个作为条件，然后求ABC的面 积（注：如果选择条件超过一个，按第一个计分） 18正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱 1 DD中点 （1）求证： 1 BD 平面AEC； （2）求证
9、：平面 1 B AC 平面 11 B BDD 19已知 1 12iz 是关于x的实系数方程 2 0 xmxn的一个复数根 （1）求实数,m n的值； （2）设方程的另一根为 2 z，复数 12 ,z z对应的向量分别是, a b 若向量tab 与atb 垂直，求实数t的值 20某大型连锁超市随机抽取了 100 位客户，对去年到该超市消费情况进行调查经统计，这 100 位客户去年 到该超市消费金额（单位：万元）均在区间0.2,0.8内，按 0.2,0.3 , 0.3,0.4 , 0.4,0.5 , 0.5,0.6 , 0.6,0.7 , 0.7,0.8分成 6 组，其频率分布直方图如图所示 （1
10、）求该频率分布直方图中a的值，并求出这 100 位客户最近一年到该超市消费金额的平均数x（同一组中 的数据以这组数据所在范围的组中值作代表） ； （2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间0.3,0.4和0.4,0.5内的客户中，采用分层抽样的方法抽 取 5 人进行电话访谈，再从访谈的 5 人中随机选择 2 人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有 1 人来自区间 0.3,0.4的概率 21 如图， 直角梯形ABCD中，,33ABCD ABBC CDAB，3BC ， 点E在CD上， 且1CE 沿 AE将ADE翻折到SAE处，使得平面SAE 平面ABCE （1）证明；SE 平面ABCE； （2）求
11、二面角SACE的正切值 22在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知()acmb mR （1）若2m ，求B的最大值； （2）若B为钝角，求： m的取值范围； sinsin 1 coscos AC AC 的取值范围 （参考公式：sinsin2sincos 22 ） 20202021 学年度第二学期期末检测试题学年度第二学期期末检测试题 高一数学高一数学参考答案参考答案 一一、单项选择题单项选择题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，只有一项只有一项 符合要求符合要求） 1 【答案】D 2 【答
12、案】A 3 【答案】B 4 【答案】C 5 【答案】D 6 【答案】B 7 【答案】A 【解析】因为 sincos 1 1 cos2 ，所以 2 sincos2cos且sincos0，所以tan2又 1 tan() 3 ，所以 3 2 tantan() 3 tantan()1 2 1tantan() 1 3 8 【答案】C 【解析】 如图， 设ABC的外接圆圆心为O， 因为ABC的边2,ABABC的外接圆半径为 2， 所以AOB 为正三角形，因为4AB AC ，所以点C与点O在AB同侧，即30ACB， 方法一：所以 2 1 sinsin 2 ACAB ABCACB ，即4sinACABC， 则
13、2cos8sincosAB ACACBACABCBAC ， 设BAC，则 31 8sincos8sincoscos 622 AB AC 311 8sin2cos24sin 224 4446 ，即 1 sin(2) 62 ； 因为 5 0 6 ，所以 11 2 666 ，所以 5 2 666 ，解得：0 3 所以角A的最大值 为 3 方法二： 当,A O C三点共线时，4AC ， 且CBAB， 此时4AB AC ， 当 3 CAB 时，4AB AC ， 所以角A的最大值为 3 【来源】原创题 二二、多项选择题多项选择题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每
14、小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 【答案】BD 10 【答案】AD 因为 cossinsincoszf xg x iaxbxaxbx i，所以 cossinf xaxbx， sincosg xaxbx，故 A 对 B 错； 因为( )2sin2 sincoscossin3cossin 333 f xxxxxx ，所以3,1ab，故 C 错； 因为 6 ( )sincos3sincos2sin 65 g xaxbxxxx ， 所以 3 si
15、n() 65 x ，又因为x为锐角，则(,) 66 3 x ，所以 2 4 cos()1 sin () 665 xx ， 所以 3 34 sinsin ()sin()coscos()sin 66666610 xxxx ，故 D 对 综上，选 AD 11 【答案】BC 【解析】因为2mnmn，则 11 2 mn 对于A，若C是线段AB的中点，则 1 2 m ，则n不存在，故点C不可能是线段AB的中点，则 A 错误； 对于B，若B可能是线段AC的中点，则2m ，则 2 3 n ，故点B可能是线段AC的中点，则 B 正确； 对于C，若点,C D同时在线段AB上，则01,01mn，则1mn，此时,C
16、D重合，与已知矛盾， 点,C D不可能同时在线段AB上，故 C 正确； 对于D，若点,C D同时在线段AB的延长线上时，则1,1mn，则 11 2 mn ，这与 11 2 mn 矛盾，所 以点,C D不可能同时在线段AB的延长线上，故 D 错误；故选：BC 12 【答案】ABD 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 【答案】4 14 【答案】41 15 【答案】50 3 16 【答案】80，100 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答应
17、写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 【答案】 （1）因为3sincos2AA，所以2sin()2 6 A ，所以sin()1 6 A 因为0,A，所以 7 (,) 666 A ，所以 62 A ，所以 3 A 4 分 （2）若选择：cossinaBbA，则sincossinsinABBA， 因为sin0A，所以sincosBB，则tan1B ， 又因为0,B，所以 4 B ；6 分 若选择： 222 2bacac，由余弦定理 222 22 cos 222 acbac B acac ， 因为0,B，所以 4 B ；6 分 （选择或的结果相同） 因为, 34 AB ，由正弦定理4 si
18、nsin ab AB 得2 2b ，且 5 3412 C ， 所以 562 sinsinsinsincoscossin 124646464 C ，8 分 所以 1162 sin2 3 2 233 224 ABC SabC 10 分 18 【答案】 （1）设AC与BD交于点O，连结OE 因为 1111 ABCDABC D是正方体，所以ABCD为正方形，O为BD中点 又因为E为 1 DD中点，所以 1 OEBD3 分 又因为OE 平面 1 ,AEC BD 平面AEC， 所以 1 BD 平面AEC6 分 （2）因为 1111 ABCDABC D是正方体， 1 BB 平面ABCD 又AC 平面ABCD
19、，所以 1 ACBB 又由（1）知ABCD为正方形，所以ACBD 因为 11 ,ACBD ACBB BB平面 11, BDD B BD 平面 111 ,BDD B BBBDB， 所以AC 平面 11 BDD B9 分 又因为AC 平面 1 B AC， 所以平面 1 B AC 平面 11 B BDD12 分 19 【答案】 （1）由题得 2 (12 )(12 )12 220iminmnimi ， 所以 10, 2 220, mn m 得 2, 3. m n 6 分 （2）由（1）知，关于x的实系数方程为 2 230 xx，所以 12 2zz， 1 12zi ，则 2 12zi ，所以(1, 2)
20、,(1,2)ab ， 则(1, 2(1),(1, 2(1)tabttatbtt 因为tab 与atb 垂直， 所以 2 ()()(1)(1)2(1)2(1)10tab atbttttt ， 解得：1t 12 分 20 【答案】 （1）由题可知20.1 2 0.1 3 0.1 1.8 0.1 0.6 0.1 1a ， 即0.20.26a ，所以1.3a 2 分 由频率分布直方图可得 0.25 0.130.35 0.20.45 0.30.55 0.180.65 0.130.75 0.060.466x ， 因此，这 100 位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为 0.466 万元5 分 （2）记“
21、幸运客户中恰有 1 人来自区间0.3,0.4”为事件A6 分 因为区间0.3,0.4与0.4,0.5频率之比为2:3， 采用分层抽样的方法抽取 5 人进行电话访谈， 故从分组区间 0.3,0.4中抽取 2 人，分别记为 12 ,A A，从分组区间0.4,0.5中抽取 3 人，分别记为 123 ,B B B，从这 5 个 人中随机选择 2 人作为“幸运客户” ，样本点 11 ,A B表示“选出 11 ,A B” （余类推） ，则样本空间为 12111213212223121323 ,A AA BA BA BA BA BA BB BB BB B ，8 分 111213212223 ,AA BA B
22、A BA BA BA B 所以 63 ( ) 105 P A 11 分 答： （1）该频率分布直方图中a的值为 1.3，这 100 位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为 0.466 万元； （2）幸运客户中恰有 1 人来自区间0.3,0.4的概率为 3 5 12 分 21 【答案】 （1）因为33,1CDABCE，所以1,2ABECDESE 又因为ABCD，所以ABCE为平行四边形， 又因为ABBC，所以ABCE为矩形， 所以AEDC，则AESE3 分 又因为平面SAE 平面ABCE，平面SAE平面,ABCEAE SE平面SAE， 所以SE 平面ABCE6 分 （2）在平面ABCE内，过E
23、作EPAC，垂足为P，连结SP 由（1）知SE 平面ABCE 又因为AC 平面ABCE，所以SEAC 又因为,EPAC EP平面,SEP SE 平面,SEP EPSEE，所以AC 平面SPE 又因为SP 平面SEP，所以ACSP 又因为EPAC，所以SPE即为二面角SACE的平面角10 分 由（1）知,3,1AEEC AEBCEC，又EPAC， 所以 11 22 AEC SAE ECAC EP ，所以 22 3 13 2 ( 3)1 AE EC EP AC 又Rt SEP中，90 ,2SEPSE，所以 24 3 tan 33 2 SE E P P S E ， 所以二面角SACE的正切值为 4
24、3 3 12 分 22 【答案】 （1）当2m 时， 2 ac b ，所以 2 22 2 ()2 cos0 24 ac ac ac B acac ，因为(0, )B， 所以(0, 2 B ，则B的最大值为 2 4 分 （2）因为acb，所以1m ；因为B为钝角，即存在0,0ac，使得 222 acb， 即 2 2222 22 ()2 () ,1 acac acm ac ma a c c 成立； 因为2 ac ca ，所以 2 12m，即12m；7 分 又因为acmb，所以sinsinsinACmB， 则2sincos2sincos 2222 ACA CBB m ，因为sinsincos0 222 ACBB ， 所以sinsin()cos 22222 A CBACAC cosmmm ，所以 222 coscos 22 A CAC m ， 则 2 1 cos()1 cos() 22 A CAC m ， 2 1 coscossinsin(1 coscossinsin)ACACmACAC， 所以 2 22 12 1 1 cosc sins os in 11 A Amm Cm C ，因为12m，所以 2 21 01 13m ， 所以 1 si coscos nsinA AC C 的取值范围为 1 (0, ) 3 12 分
