1、江苏徐州江苏徐州 20202021 学年度第二学期期末抽测学年度第二学期期末抽测 高二年级数学试题高二年级数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
2、 目要求的. 1.集合 2 4,Ay yxyN， 2 log12Bx yxx，则AB A.02xx B.02xxC.0,1D.0,1,2 2.过 1 ,0 4 的直线与抛物线 2 yx交于A，B两点，若4AB ，则弦AB的中点到直线 1 0 2 x的距离等 于 A. 7 4 B. 9 4 C.4D.2 3.已知：棣莫弗公式cossincossin n xixnxinx（i为虚数单位），则复数 13 cossin 55 i 在复平 面内所对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4.若 5 2345 012345 1xaa xa xa xa xa x，则 012345 aa
3、aaaa A.0B.1C.32D.1 5.根据长期生产经验，某企业正常情况下生产的医用口罩的过滤率 2 0.9372,0.0139xN.若 2 0,N ux，则满足220.9545Px，0.997333xp， 50 0.977250.3164.对如下命题： 甲：0.90.5P x；乙：0.41.5P xP x；丙：0.97890.00135P x ；丁：假设生产状 态正常，记X表示一天内抽取的 50 只口罩中过滤率大于2的数量，则10.6P x.其中假命题是 A.甲B.乙C.丙D.丁 6.已知双曲线 2 2 1 4 y x 的左、右顶点为A，B，焦点在y轴上的椭圆以A，B为顶点，且离心率为 3
4、 2 ， 过A作斜率为k的直线l交双曲线于另一点M，交椭圆于另一点N，若ANNM ，则k的值为 A. 2 3 3 B.1C. 3 3 D. 2 2 3 7.已知非零实数a，b满足ab，则下列不等式中正确的是 A. 11 ab B. 33 abC. 1 2ba ba D.33 ab 8.已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，点P是 1 AA的中点，点Q是 1 BDC内的动点，若 1 PQBC， 则点Q到平面 1111 ABC D的距离的范围是 A.1,2B.2,3C.3,4D.1,3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
5、题目要求，全部 选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9.已知函数 sin3 sin 2 f xxx ，则 A. f x在, 2 上的最小值是 1B. f x的最小正周期是 2 C.直线 2 k xkZ 是 f x图象的对称轴D.直线 2 yx 与 f x的图象有 2 个公共点 10.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用 * F nnN表示斐波那契数列的第n项，则数列 F n满 足： 121FF， 21F nF nF n.下列选项正确的是（） A. 2 8791FFF B. 12618FFFF C. 242212FFFnFn D. 222 121FFF nF nF n
6、 11.如图，正四棱锥SBCDE底面边长与侧棱长均为a，正三棱锥ASBE底面边长与侧棱长均为a，则下列 说法正确的是 A.ASCD B.正四棱锥SBCDE的外接球的半径为 2 2 a C.正四棱锥SBCDE的内切球的半径为 2 1 2 a D.由正四棱锥SBCDE与正三棱锥ASBE拼成的多面体是一个三棱柱 12.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另 一口袋，重复 * n nN次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 n X，恰有 2 个黑球的概率为 n p，恰有 1 个黑 球的概率为 n q，则下列结论正确的是 A. 2 16 2
7、7 p ， 2 7 27 q B.数列21 nn pq是等比数列 C. n X的数学期望 * 1 1 3 n n E XnN D.数列 n p的通项公式为 * 31111 109235 nn n pnN 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.某高中各年级男、女生人数统计如下表： 年级 性别 高一高二高三 男生592563520 女生528517a 按年级分层抽样，若抽取该校学生 80 人中，高二学生有 27 人，则a _. 14.如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD中，3AFAE ， 设AFxAByAD ，则xy的值为_.
8、 15.若偶函数 yf x，xR，满足 2f xf x ，且0,2x时， 2 2f xx，则方程 sinf xx在8,8内的根的个数为_. 16.我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为 5000 元；（2）每月应纳税所得额含税=收 入-个税起征点-五险一金（个人缴纳部分）-累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：赡养老人费用，子女 教育费用，继续教育费用，大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：赡养老人费用，每月扣除 2000 元，子女教育费用，每个子女每月扣除 1000 元，个税政策的税率表部分内容如下： 级数全月应纳所得额税率% 1不超过 3000 元的部分3% 2超过 30
9、00 元至 12000 的部分10% 3超过 12000 元至 25000 的部分20% 现王某每月收入为 30000 元，每月缴纳五险一金（个人缴纳部分）6000 元，有一个在读高一的独生女儿，还 需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分）已知数列 n a的首项 1 3 5 a ， 1 3 21 n n n a a a ，1,2,n . （1）求证：数列 1 1 n a 为等比数列； （2）记 12 111 n n S aaa ，若100 n
10、S ，求最大的正整数n. 18.（本小题满分 12 分）若 sin0,0 2 fxx 的部分图象如图所示， 1 0 2 f， 5 0 12 f . （1）求 f x的解析式； （2）在锐角ABC中，若AB， 3 2125 B f A ，求cos 2 AB ，并证明 2 5 sin 5 A . 19. （本小题满分12分） 如图1所示， 在边长为12的正方形 11 AA A A 中， 111 BBCCAA， 且3AB ，4BC ， 1 AA 分别交 1 BB， 1 CC于点P，Q，将该正方形沿 1 BB、 1 CC折叠，使得 1 A A 与 1 AA重合，构成如图 2 所示 的三棱柱 111 A
11、BCABC中. （）求证：ABPQ； （）在底边AC上是否存在一点M，满足BM 平面APQ，若存在试确定点M的位置，若不存在请说明 理由. 20.（本小题满分 12 分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客 户进行回访，调查结果如表： 汽车型号 回访客户（人数）250100200700350 满意率0.50.50.60.30.2 满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型 号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等. （1）从所有的回访客户中随机抽取 1 人，求这个客户满意的概率；
12、 （2） 若以样本的频率估计概率， 从型号和型号汽车的所有客户中各随机抽取 1 人， 设其中满意的人数为， 求的分布列和期望； （3）用“ 1 1”，“ 2 1”，“ 3 1”，“ 4 1”，“ 5 1”分别表示，型号汽 车让客户满意， “ 1 0”， “ 2 0” ， “ 3 0” ， “ 4 0” ， “ 5 0” 分别表示不满意.写出方差 1 D， 2 D， 3 D， 4 D， 5 D的大小关系. 21.（本小题满分 12 分）已知直线 1 l过坐标原点O且与圆 22 4xy相交于点A，B，圆M过点A，B且 与直线20y 相切. （1）求圆心M的轨迹C的方程； （2）若圆心在x轴正半轴上
13、面积等于2的圆W与曲线C有且仅有 1 个公共点. 求出圆W标准方程； 已知斜率等于1的直线 2 l交曲线C于E，F两点，交圆W于P，Q两点，求 EF PQ 的最小值及此时 2 l直线 的方程. 22.（本小题满分 12 分）已知函数 2 cos1 x fxaxe ，且0 2 f . （1）求实数a的值，并判断 f x在0, 2 上的单调性； （2）对确定的 * kN，求 f x在2,2 2 kk 上的零点个数. 徐州市徐州市 20202021 学年度学年度第二学期期末抽测高二数学参考答案及评分标准第二学期期末抽测高二数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共
14、40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的. 1-5：CBBAD6-8：ABC 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9.ACD10.BD11.ABD12.BC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.48014. 6 5 15.816.1790 元（无单位不扣分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（1） 1 121 33 nn aa ， 1 111
15、 1 33 nn aa ，则 1 111 11 3 nn aa ， 且 1 12 10 3a ， * 1 10 n n a N，数列 1 1 n a 是以 2 3 为首项，公比为 1 3 的等比数列. （2）由（1）可求得 1 121 1 33 n n a ， 11 21 3 n n a . 2 12 111111 2 333 n n n Sn aaa 1 11 1 33 21 1 3 1 3 n n nn ， 若100 n S ，则 1 1100 3n n ， max 99n. 18.解： （1）由 1 0 2 f，得 1 sin 2 .又0 2 ，故 6 . 由 5 0 12 f ，得 5
16、 sin0 126 . 所以 5 126 k ，kZ，即 2 61 5 k，kZ. 由0，结合函数图象可知 1 25 212 ，所以 12 0 5 . 所以有 212 061 55 k，即 17 66 k.又kZ，所以1k . 从而 2 6 1 12 5 .因此， sin 2 6 fxx . （2）由 3 2125 AB f ，得 3 sin 5 AB.又0 2 AB ，故 4 cos 5 AB. 于是 1 cos3 cos 2210 ABAB . 2 1 sin1 cos 2210 ABAB ， 又 2 AB ，所以 2242 ABABAB A . 又sinyx在0, 2 上单调递增，0,
17、2 A ，0, 422 AB ， 所以 2312 5 sinsin 42251010 AB A . 19.（）证明：因为3AB ，4BC ，所以5AC ，从而 222 ACABBC，即ABBC. 又因为 1 ABBB，而 1 BCBBB，所以AB 平面 11 BCC B，又PQ 平面 11 BCC B，所以ABPQ； （）解：在底边AC上存在一点M，使得:3:4AM MC ，满足BM 平面APQ， 证明：过M作MNCQ交AQ于N，连接PN， :3:4AM MC ，:3:7AMACMN CQ3MNPB， PBCQ，MNPB，四边形PBMN为平行四边形， BMPN，BM 平面APQ，BM 平面AP
18、Q，此时有 3 4 AM MC . 20.解： （）设“从所有的回访客户中随机抽 1 人，这个客户满意”为事件M. 由题意知，样本中的回访客户的总数是250 1002007003501600， 满意的客户人数是250 0.5 100 0.5200 0.6700 0.3 350 0.2575， 故所求概率为 57523 160064 P M . （）可取 0，1，2. 设“从型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件A， “从型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件B. 根据题意， 0.5P A ， 0.2P B ，A与B相互独立. 所以00.5 0.80.4P；10.5 0.80.5 0.2
19、0.5P；20.5 0.20.1P. 所以的分布列为： 012 P0.40.50.1 所以的期望 0 0.4 1 0.52 0.10.7E . （）根据题意 1 0.51 0.50.25D， 2 0.51 0.50.25D， 3 0.61 0.60.24D， 4 0.31 0.30.21D， 5 0.21 0.20.16D. 12345 DDDDD. 21.解： （1）设,M x y， 由题意圆 22 4xy的圆心为0,0，半径为 2，直线 1 l过坐标原点O， 所以坐标原点O为AB的中点，2AO ， 当0 x 时，易知MOAO，所以 222 MOOAMA， 又因为圆M与直线20y 相切，所以
20、圆M的半径2ryMA，所以 2 22 42xyy， 化简得M的轨迹C的方程为 2 4xy，0 x 当0 x 时，由于圆M与直线20y 相切，所以0y ，此时0,0M满足 2 4xy 综上：M的轨迹C的方程为 2 4xy （2） （）由（1）知曲线C为 2 4 x y ，设 2 4 f x x ，则 2 x fx， 设圆W与曲线C的公共点为 2 ,0 4 t T tt ， 则曲线C在T的切线l的斜率 2 t kft，由题意，直线l与圆W相切于T点， 设圆W的标准方程为 2 2 20 xaya，则圆W的圆心为,0a， 则直线WT的斜率 2 2 4 4 WT t t k tata ， 因为lWT，所
21、以 2 1 2 4 tt ta ，即 3 80tta， 又因为 2 2 2 2 4 t ta ，所以 22 32 2 84 tt ，所以 64 41280tt 令 2 t，则 32 41280，所以 322 481280即 2 48320， 所以4，所以2t ，3a ，从而圆W的标准方程为 2 2 32xy； （）设 11 ,E x y， 22 ,F xy，直线 2: lyxm ， 由 2 4 yxm xy 得 2 440 xxm，所以 12 4xx ， 12 4x xm ， 所以 2 1212 244 2 1EFxxx xm，又因为圆W的圆心3,0到直线PQ的距离为 3 2 m ， 所以 2
22、 2 3 2 221210 2 m PQmm ，所以 2 2 4 2 1 1 4 65 21210 mEF m PQmm mm ， 由于 2 l与曲线C、圆W均有两个不同的交点， 16 160 3 2 2 m m ，解得15m， 令12,6mu，则1mu， 则 2 11 44426 12 121615 8 28 EFu PQ uu u u u u ， 当且仅当 12 u u ，即2 3u ，22 31m 时取等号， 当2 31m 时， EF PQ 的最小值为26，此时直线 2 l的方程为2 31yx . 22.解： （1） f x的定义域为R. 2 sine x fxax . 所以 22 si
23、ne1 22 faa .由题意，10a，即1a . 于是， 2 sine x fxx . 因为函数sinyx 在0, 2 上单调递减， 2 e x y 在0, 2 上单调递减， 所以， 2 sine x fxx 在0, 2 上单调递减. 又 22 sine0 22 f ，所以当0, 2 x 时， 0 2 fxf . 所以 f x在0, 2 上单调递增. （2）由（1）得 2 sine x fxx ，令 g xfx ，则 2 cose x xgx . 因为cosyx 在2,2 2 kk 上单调递增， 2 e x y 在2,2 2 kk 上单调递增， 所以 2 cose x xgx 在2,2 2
24、kk 上单调递增. 又 5 2 222 2cos 2ee0 22 k k gkk ， 22 22 2cos 2e1 e0 kk gkk ， 由零点存在定理及 gx的单调性，知存在唯一的 0 2,2 2 xkk ，使得 0 0gx. 从而，当 0 2, 2 xkx 时， 0 0gxgx， g xfx单调递减； 当 0,2 xxk时， 0 0gxgx， g xfx单调递增. 2 2022 2sin 2ee1e10 22 k k fkk ， fx 在2,2 2 kk 上的最小值 0 min 20 2 fxfxfk ， 22 22 2sin 2ee0 kk fkk . 由零点存在定理及 fx的单调性，知存在唯一的 10,2 xxk，使得 1 0fx. 从而，当 1 2, 2 xkx 时， 1 0fxfx， f x单调递减； 当 1,2 xxk时， 1 0fxfx， f x单调递增. 2 2022 2cos 21 e1 e1 e0 22 k k fkk ， 22 22 2cos 21 ee0 kk fkk ， f x在2,2 2 kk 上的最小值 1 min 20f xkffx. 由零点存在定理及 f x的单调性，知 f x在 * 1 2, 2 kxkN 上有且仅有一个零点. 在 1,2 xk上无零点.即 f x在 * 2,2 2 kkkN 上有且仅有一个零点.
