1、第六讲第六讲 简单的二元二次方程组简单的二元二次方程组 在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消 元法解二元一次方程组高中新课标必修 2 中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解 法因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程，叫做二元二次方程 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方 程组，叫做二元二次方程组 一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组
2、成的方程组一般都可以用代入法求解其蕴含着转 化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解 【例【例 1】解方程组 22 20 (1) 30 (2) xy xy 分析：分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2yx，代入方程(2)消去y 解：解：由(1)得：2yx(3) 将(3)代入(2)得： 22 (2 )30 xx，解得： 12 11xx 或 把1x 代入(3)得： 2 2y ；把1x 代入(3)得： 2 2y 原方程组的解是： 11 11 11 22 xx yy 或 说明：说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： 由二元一次方程变形为用
3、x表示y的方程，或用y表示x的方程(3)； 把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； 解消元后得到的一元二次方程； 把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的 值； 写出答案 (2) 消x，还是消y，应由二元一次方程的系数来决定若系数均为整数，那 么最好消去系数绝对值较小的，如方程210 xy ，可以消去x，变形 得21xy，再代入消元 (3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值， 不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点 切记 【例【例 2】解方程组 11 (1) 28 (2) xy xy 分析分析：
4、本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x、y看成是方程 2 11280zz的两根，则更容易求解 解：解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看成是方程 2 11280zz的两根， 解方程得：4z 或z=7 原方程组的解是： 11 11 47 74 xx yy 或 说明：说明：(1) 对于这种对称性的方程组 xya xyb ，利用一元二次方程的根与系数的关系构造 方程时，未知数要换成异于x、y的字母，如z (2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解 4 7 x y ，则必有解 7 4 x y 二、由两个二元二次方程组成的方程组二、由两个二元二次方程组成的方程组 1可因
5、式分解型的方程组可因式分解型的方程组 方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程 组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成 【例【例 3】解方程组 22 22 5() (1) 43 (2) xyxy xxyy 分析：分析：注意到方程 22 5()xyxy，可分解成()(5)0 xy xy，即得0 xy或 50 xy，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程 解：解：由(1)得： 22 5()0()()5()0()(5)0 xyxyxy xyxyxy xy 0 xy或50 xy 原方程组可化为两个方程组： 22
6、22 500 4343 xyxy xxyyxxyy 或 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： 3124 12 34 431643 , 61 4343 xxxx yy yy 说明说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元 一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程 【例【例 4】解方程组 2 2 12 (1) 4 (2) xxy xyy 分析分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二 次三项式的方程对其因式分解，就可以转化为例 3 的类型 解：解：(1) (2)3得： 22
7、3()0 xxyxyy 即 22 230(3 )()0 xxyyxy xy 300 xyxy或 原方程组可化为两个二元一次方程组： 22 300 , 44 xyxy xyyxyy 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： 12 12 33 , 11 xx yy 说明说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程此方程与 原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组 【例【例 5】解方程组 22 26 (1) 5 (2) xy xy 分析：分析：(1) +(2)2得： 2 ()36 (3)xy，(1) -(2)2得： 2 ()16 (4)xy，分别分
8、 解(3)、(4)可得四个二元一次方程组 解 ：解 ： (1) +(2)2得 ： 222 236()3666xyxyxyxyxy 或， (1) -(2)2得： 222 216()1644xyxyxyxyxy 或 解此四个方程组，得原方程组的解是： 3124 1234 1515 , 1551 xxxx yyyy 说明说明： 对称型方程组， 如 22 xya xyb 、 22 xya xyb 都可以通过变形转化为 xym xyn 的 形式，通过构造一元二次方程求解 2可消二次项型的方程组可消二次项型的方程组 【例【例 6】解方程组 3 (1) 38 (2) xyx xyy 分析分析：注意到两个方程
9、都有xy项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 解：解：(1)3(2) 得：3131 (3)xyyx 代入(1)得： 2 12 (31)33311xxxxxx 或 分别代入(3)得： 12 24yy 或 原方程组的解是： 12 12 11 24 xx yy 或 说明说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个 二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解 二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决 A组组 1解下列方程组： (1) 2 6
10、xy yx (2) 22 28 2 xy xy (3) 22 1 235 xy xxyy (4) 2 20 3210 xy xxy 练练习习 2解下列方程组： (1) 3 2 xy xy (2) 1 6 xy xy 3解下列方程组： (1) 2 (23)0 1 xx yx (2) (343)(343)0 325 xyxy xy (3) 22 (2)()0 8 xyxy xy (4) ()(1)0 ()(1)0 xy xy xy xy 4解下列方程组： (1) 22 22 3 0 xy xy (2) 16 8 xyx xyx B组组 1解下列方程组： (1) 2 23 2320 xy xyx (
11、2) 22 231 234330 xy xxyyxy 2解下列方程组： (1) 3 2 xy xy (2) 24 221 xy xy 3解下列方程组： (1) 22 22 38 4 xy xxyy (2) 22 4 221 xy xy 4解下列方程组： (1) 22 5 2 xy xy (2) 22 4 10 xy xy 第六讲第六讲 简单的二元二次方程组答案简单的二元二次方程组答案 A 组组 1 212 121 121 2 12 81010 3204 322 (1),(2),(3),(4), 32 223 1010 3 44 xxx xxxx yyyy y yy 2 1212 1212 12
12、32 (1),(2), 21 23 xxxx yyyy 3 2 311212 13 12 122 3 713 203113 2 ,(2),(3),33 152 3113 14 4 x xxxxxx yy yy yyy 23 414 414 23 11 201 22 ,(4), 20110 22 xx xxx yyy yy 4(1) 1234 1234 6666 2222 , 6666 2222 xxxx yyyy (2) 4 3 x y B 组组 1 1 122 122 1 7 515 4 (1),(2), 41 33 2 x xxx yyy y 2 12 12 1212 73 12 (1),(2), 37 21 22 xx xx yyyy 3 12 34 34 12 6 136 13 22 1313 (1), 22 2 132 13 1313 xx xx yy yy 3124 12 34 2002 (2), 22 22 xxxx yy yy 4 3124 1234 1212 (1), 1221 xxxx yyyy ， 12 12 13 (2), 31 xx yy
