1、第三十一讲：平面向量的数量积及其运算第三十一讲：平面向量的数量积及其运算 【学习目标】 1. 理解和掌握平面向量的数量积及其几何意义. 2. 掌握平面向量数量积的性质和分配率 3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 【知识梳理】 1、两向量的夹角与垂直 已知两个非零向量, a b ，作,OAa OBb ，则(0180 ) oo AOB叫做向量, a b 的夹 角。当, a b 夹角为 0 90时，a 与b 垂直，记作ab 。 2、向量数量积的定义 已知两个非零向量, a b ，它们的夹角为，我们把数量
2、叫做a 与b 的数量积， 记作a b ，即a b ，规定0 与任一向量的数量积为 3、a b 的几何意义 a b 的几何意义：a b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。 4、向量数量积的性质 （1）, a b 是两个非零向量，它们的夹角为. 当a 与b 同向时，a b ，当当a 与b 反向时，a b ； 特别地，a a 或|a （2）0a b （3）cos（4）| |a ba b 5、向量数量积的运算律 （1）a bb a （2）()a b =()R （3）()ab c 数量积不满足结合律与消去律。 6、向量数量积的坐标表示 （1）若 11 ( ,)ax y , 22 (,)bxy
3、 ,则a b （2）若( , )ax y ，则 2 2 |a aaa ，|a （3）若 11 (,)A x y, 22 (,)B xy则|AB （4）若 11 ( ,)ax y , 22 (,)bxy 则ab （5）, a b 是两个非零向量，它们的夹角为， 11 ( ,)ax y , 22 (,)bxy ,则cos 【典题分析】 题型 1：平面向量数量积的运算 例 1 已知| 2,| 3ab ,a 与b 的夹角为120o, (1)a b = ;(2) 22 ab = ; (3)(2) (3 )abab = ;(4)|ab = 方法： （1）求平面向量的数量积可直接利用定义|cosa ba b
4、 ，也可以利用坐标法进行求 解。 （2）利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用。 【题组训练】 1设a 、b 、c 是非零向量，则下列说法中正确是（ ） A()()a bcc ba Ba bab C若a b a c ，则b c D若 / / ,/ /ab ac ，则 / /bc 2设向量a ，b 夹角为，则“是锐角”是“a bab ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 3、已知两个单位向量 12 ,e e 的夹角为 3 ，若向量 112 2bee ， 212 34bee ，则 12 b b = 4、设向量, a b 满足| 2 5a ，(2,1)b 且
5、a 与b 的方向相反，则a 的坐标为 4、已知平面向量( 2,)am ，(1, 3)b ，且()abb ，则实数m的值为（） A、2 3B、2 3C、4 3D、6 3 5已知单位向量a 与b 的夹角为 3 ，若xab 与a 垂直，则实数x的值为（） A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 6 在ABC中，D为边BC的中点，AD3，BC4，G为ABC的重心， 则GB GC 的值为 （） A12B15C3D 15 4 7在ABC中，5a ，8b ，7c ，则BC CA 的值为_. 8已知菱形ABCD的边长为 4，60ABC，E是BC的中点 2DFAF ，则AE BF （） A24B7C10
6、D12 9边长为 2 的正方形ABCD中，P为对角线上一动点，则 AP AC _. 题型 2：向量数量积的应用 例 2 已知| 4,| 3ab ，(23 ) (2)61abab （1）求a 与b 的夹角； （2）求|ab ； （3）若,ABa ACb ,作ABC，求ABC的面积。 方法：平面向量数量积公式的应用，可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题。 【题组训练】 1设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， 2 |16BC ,| |ABACABAC ， 则|AM （） A、8B、4C、2D、1 2, a b 为平面向量,已知(4,3)a ,2(3,18)ab 则, a b 夹角的余弦值等于
7、（） A、 8 65 B、 8 65 C、 16 65 D、 16 65 3、若xR，向量( ,1)ax ,(1, 2)b ,且ab 则|ab （） A、5B、10C、2 5D、10 4设向量, a b 满足| | 1ab ， 1 2 a b ，则|2 |ab （） A、2B、3C、5D、7 5、已知向量(1, )ax ,( 1, )bx ，若2ab 与b 垂直，则|a （） A、2B、3C、2D、4 6、已知平面向量, a b 满足()3a ab ，且| 2a | 1b ，则向量a 与b 的夹角为（） A、 6 B、 3 C、 2 3 D、 5 6 7若 12 ,e e 是夹角为60的两个单
8、位向量，则向量 1212 ,2aeebee 的夹角为（） A30B60C90D120 8向量ae （e 是单位向量）.若tR ，a teae ，则（） Aae B aae C eae D aeae 9若两个非零向量a ，b 满足 0abab ，且 3abab ，则a 与b 夹角的余弦值为 （） A 1 3 B 4 5 C 1 3 D 4 5 10已知O是平面上一点， ，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O满足 0 ABACBABC OAOB ABACBABC ，则O点一定是ABC的（） A外心B内心C重心D垂心 11已知向量12 31 1abc ， ，.若 2 ab与c 共线，则a 在c 方向上的投影为 _. 12已知( ,2 ),(3 ,2)ab ，如果a 与b 的夹角为锐角，则的取值范围是. 13已知e 是单位向量，向量a 满足 4a e ，且 2 10aate 对任意实数t恒成立，则a r 的 取值范围是_. 14、已知向量(sin ,1)a ,(1,cos )b , 2 2 . （1）若ab ，求； （2）求|ab 的最大值。 15 （1）已知非零向量 1 e 、 2 e 不共线，欲使 12 kee 和 12 eke 共线，试确定实数k的值. （2）已知向量 1a ， 2b ， 23abab ，求a 与b 夹角的大小.
