1、第三十二讲：平面向量的应用第三十二讲：平面向量的应用 【学习目标】 1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 2. 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。 【知识梳理】 1、用向量法处理垂直问题 （1）对非零向量a 与b ，ab （2）若非零向量 11 ( ,)ax y , 22 (,)bxy ,ab 2、用向量法处理平行问题 （1）向量a 与非零向量b 共线，当且仅当存在唯一一个实数，使得 （2）设 11 ( ,)ax y , 22 (,)bxy 是平面向量，则向量a 与非零向量b 共线的充要条件是 3、用向量法求角 （1）设, a b 是两个非零向量，夹角记为，则cos （
2、2）若 11 ( ,)ax y , 22 (,)bxy 是平面向量，则cos 4、用向量法处理距离（长度）问题 （1）设( , )ax y ，则 2 2 |aa ，即|a （2）若 1122 ( ,), (,)A x yB xy，且aAB ,则|AB ；|AB 5、向量在物理中的应用 （1）向量在力的分解与合成中的应用 （2）向量在速度的分解与合成中的应用 6、向量方法解决几何问题的步骤 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化 为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系； （3）把运算结果“翻译”成几何关系 【典题分析】 题型 1：向量
3、在三角函数与解三角形中的应用 例 1（1） 、平面上有四个互异点, ,A B C D，已知(DB DC 2) ()0DAABAC 则ABC的形 状是（） A、直角三角形B、等腰直角三角形C、等腰三角形D、无法确定 （2）2 （2017-2018 学年全国 18 名校大联考高三第二次联考）已知向量 2,sinm ,cos , 1n ,其中 0, 2 ,且m n . (1)求sin2和cos2的值;(2)若 10 sin 10 ,且 0, 2 ,求角. 方法：通常考查平面向量坐标运算，结合三角函数公式进行变换。 【题组训练】 1已知向量1,2AB ，4, 2AC ，则ABC的面积为_ . 2在AB
4、C中， 3cos ,cos,cos ,sinABxxACxx ，则ABC面积的最大值是 _ 3在ABC中， 2 ()|BCBA ACAC ,则ABC的形状一定是（） A、等边三角形B、等腰三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形 4已知函数 fxa b ，其中 2cos , 3sin2axx ，cos ,1bx ，xR. （1）求函数 yf x的周期和单调递增区间； （2） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 2fA ，7a ， 且sin2sinBC， 求ABC的面积. 题型 2：向量在几何中的应用 例 2 如图， 在平行四边形ABCD中，, E F分别是,BC DC上的点，
5、且满足 ,2BEEC DFFC ， 记AB a ，AD b ，试以, a b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题； （1）用, a b 来表示向量,DE BF ； （2）若 3,2ABAD ，且 3BF ，求DE ； 方法：用向量法解决几何问题 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系。 【题组训练】 1如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近 点B的三等分点，AF与DE交于点M，求EMF的余弦值 2在Rt ABC中，90 ,BACABA
6、C ，,E F分别为边,AB BC上的点，且 ,2AEEBBFFC求证：CEAF 题型 3：向量在解析几何中的应用 例 3 已知点( 3,0)P ,点A在y轴上，点Q在x轴上的正半轴上，点M在直线AQ上，满足 0PA AM , 3 2 AMMQ ,当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程。 方法：在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则，性质列 出方程。 【题组训练】 1倾斜角为 4 的直线经过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且 2AFFB ，则该椭圆的离心率为（） A 3 2 B 2 3 C 2 2 D 3 3 2、平面
7、直角坐标系xOy中，若定点(1,2)A与动点( , )P x y满足4OP OA ，则点P的轨迹方程 为 3、直线0axbyc与圆 22 9xy相交于两点,M N,若 222 cab，则OM ON (O为坐标 原点)等于（） A、7B、14C、7D、14 4、已知圆 22 :(3)(3)4Cxy及点(1,1)A,M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延 长线上，且2MAAN ,则点N的轨迹方程为。 题型 4：向量在物理及其它知识中的应用 例 4（1） 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学 生做引体向上运动， 处于如图所示的平衡状态时， 若两只胳膊的夹角为60 每只胳膊的拉力大小
8、均为400N， 则该学生的体重 （单位：kg） 约为 （） （参考数据：取重力加速度大小为 2 10/31.732gm s，） A63B69C75 D81 （2） 力( 1, 2)F 作用于质点 P，使 P 产生的位移为 (3,4)s ,则力F 对质点 P 做的功是 _. 方法：主要应用在受力分析、速度合成与分解及求作用力做功。 【题组训练】 1长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度 1 v的大小 1 | 10km/hv ，水流的速度 2 v的大小 2 | 4km/hv ，设 1 v和 2 v所成角为 (0) ，若游船要 从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos
9、等于（） A 21 5 B 2 5 C 3 5 - -D 4 5 2、若向量 12 (2,2),( 2,3)OFOF 分别表示两个力 1 F与 2 F,则 12 |FF为（） A、2.5B、4 2C、2 2D、5 3、已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若OC 1200 a OAaOB ,且, ,A B C三点共线（该直线不 过原点） ，则 200 S（） A、100B、101C、200D、201 4、, a b 为非零向量， “ab ”是“函数( )(f xxa b) ()xba 为一次函数”的（） A、充分不必要条件B、必要不充分条件 C、充要条件D、既不充分也不必要条件 5设 , x y 满足约束条件 0 23 21 xy xy xy ，则向量 )4 , 1 (),(byxa ，则 ba 的最大值为（） A6B5 C4D3
