1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第九讲教师版Page 1 of 9 第九讲第九讲抽屉原理抽屉原理 教学目标教学目标 1、 典型抽屉原理的巩固和提高。典型抽屉原理的巩固和提高。 2、 熟练掌握最不利原则的应用。熟练掌握最不利原则的应用。 3、 学会利用枚举、排列组合、图形计数构造抽屉解决问题。学会利用枚举、排列组合、图形计数构造抽屉解决问题。 知识说明知识说明 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先
2、明确的提出来并用以证明一些数论 中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解 决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问 题题，在利用抽屉原则后在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决能很快使问题得到解决.在每年的希望杯考试和小升初中抽屉原理的题目常常以在每年的希望杯考试和小升初中抽屉原理的题目常常以 填空题和口算题的形式出现
3、，同学们一定要打好基础掌握好这一类经典题型。填空题和口算题的形式出现，同学们一定要打好基础掌握好这一类经典题型。那么，那么，这一讲我就来巩固这一讲我就来巩固 学习学习抽屉原则抽屉原则以及它的典型应用。以及它的典型应用。 抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式。抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式。 抽屉原理抽屉原理 1：将多于：将多于 n 件的物品任意放到件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件。件。 例：有例：有 5 只鸽子飞进只鸽子飞进 4 个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少
4、飞进了 2 只鸽子。只鸽子。 抽屉原理抽屉原理 2：将多于：将多于 mn 件的物品任意放到件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于于 m+1。 例例：如果将如果将 13 只鸽子放进只鸽子放进 6 只鸽笼里只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放那么至少有一只笼子要放 3 只或更多的鸽子只或更多的鸽子。道理很简道理很简 单。如果每只鸽笼里只放单。如果每只鸽笼里只放 2 只鸽子，只鸽子，6 只鸽笼共放只鸽笼共放 12 只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪 只鸽笼里，总有一只鸽笼放了只鸽笼里，总有一只鸽笼
5、放了 3 只鸽子。只鸽子。 分析：拿球配组的方式为抽屉，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共分析：拿球配组的方式为抽屉，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共 9 9 种情况种情况，即有即有 9 9 个抽屉个抽屉，则则：66669 97 73 3，7 71 18 8，至少有至少有 8 8 名同学所拿球的种类是一样的名同学所拿球的种类是一样的。 想挑战吗？ 体育用品的仓库里有许多足球，排球和篮球，有体育用品的仓库里有许多足球，排球和篮球，有 6666 个同学来仓个同学来仓 库拿球，要求每个人至少拿一个最多拿两个球，问至少有多少名同库拿球，要求每个人至
6、少拿一个最多拿两个球，问至少有多少名同 学所拿的球的种类是完全一样的？学所拿的球的种类是完全一样的？ 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第九讲教师版Page 2 of 9 专题精讲专题精讲 、抽屉原理的典型应用、抽屉原理的典型应用 解题思路：解题思路：做抽屉问题关键是确定做抽屉问题关键是确定 “抽屉抽屉”和和“苹果苹果” ，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者 为为“苹果苹果” ，数量较少者为，数量较少者为“抽屉抽屉” 。 苹果苹果抽屉商抽屉商余数，得到的结论
7、为：至少有一余数，得到的结论为：至少有一 个抽屉里有（商个抽屉里有（商1 1）个苹果。）个苹果。 【例【例 1】 （）下面的题看看谁解释的最清楚：）下面的题看看谁解释的最清楚： （1）奥数网对所有五年级的同学进行出生年份统计奥数网对所有五年级的同学进行出生年份统计，发现有发现有 367 名名 1996 年出生的同学年出生的同学，试说明试说明：这些这些 同学中至少有同学中至少有 2 名同学是在同一天出生的。名同学是在同一天出生的。 （2）某班某班 32 名名同学同学是在是在 5 月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？ （3）班上有班上有
8、50 名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不 少于少于 3 本书？本书？ 分析分析： （1） 1996 年是闰年年是闰年，这一年应该有，这一年应该有 366 天，学生数天数，天，学生数天数，把把 366 天看作天看作 366 个抽屉，将个抽屉，将 367 名名同学同学看作看作 367 个个苹果苹果。这样，把。这样，把 367 个个苹果苹果放进放进 366 个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果苹果。 因此至少有因此至少有 2 名名同学同学的的是
9、同一天出生。是同一天出生。 （2） 5 月有月有 31 天天，学生数天数学生数天数，把把 31 天看作天看作 31 个抽屉个抽屉，将将 32 名名同学同学看作看作 32 个个苹果苹果。这样这样，把把 32 个个苹果苹果放进放进 31 个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果苹果。因此至少有。因此至少有 2 名名同学同学的的是同一天出生。是同一天出生。 （3）反用抽屉原理反用抽屉原理，求求“苹果苹果”即要保证至少有即要保证至少有一个小朋友能得到不少于一个小朋友能得到不少于 3 本书本书，最少拿最少拿：50（3 31 1） 1 1101101（本（本） ，所以，
10、所以至少要拿至少要拿 101 本书。本书。 【例【例 2】 （）证明）证明： （1）任意）任意 28 个人中，至少有个人中，至少有 3 个人的属相相同个人的属相相同。 （2）要想保证至少）要想保证至少 4 个人个人 的属相相同，至少有几个人？的属相相同，至少有几个人？ 分析分析： （1）把）把 12 种属相看作种属相看作 12 个抽屉，个抽屉，28 812122 24 4，根据抽屉原理，至少有，根据抽屉原理，至少有 3 3 个人的属相相同个人的属相相同。 （2）要保证有至少）要保证有至少 4 个人的属相相同，总人数最少为：个人的属相相同，总人数最少为：3 312121 13737（人）（人）
11、【拓展】在例题的基础上老师可以补充：要想保证至少 5 个人的属相相同，但不能保证有 6 个人的属相 相同，那么总人数应该在什么范围内？ 分析：要保证有至少 5 个人的属相相同，总人数最少为：412149（人） ，不能保证有 6 个人属相相 同的最多人数为：51260（人） ，所以总人数应该在 49 人到 60 人的范围内。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第九讲教师版Page 3 of 9 、最不利原则、最不利原则 解题思路解题思路：有些题目中没有明显的有些题目中没有明显的“苹果苹果”与与“抽屉抽屉
12、” ，在解决问题时在解决问题时，需要要从问题的最差状态着手需要要从问题的最差状态着手， 才能满足题目的要求。才能满足题目的要求。 【例【例 3 3】 （）一副扑克牌，共一副扑克牌，共 54 张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：（张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：（1 1）至少有）至少有 5 张牌张牌 的花色相同；（的花色相同；（2 2）四种花色的牌都有；（）四种花色的牌都有；（3 3）至少有）至少有 3 张牌是红桃。张牌是红桃。 分析：分析：一副扑克牌有四种花色，每种花色各一副扑克牌有四种花色，每种花色各 13 张，另外还有两张王牌，共张，另外还有两张王牌，共 5454 张。张。 （1
13、1）为了为了“保证保证”5 张牌花色相同张牌花色相同，我们应从最我们应从最“坏坏”的情况去分析的情况去分析，即先摸出了两张王牌即先摸出了两张王牌.把四种花色把四种花色 看作看作 4 个抽屉，要想有个抽屉，要想有 5 张牌属于同一抽屉，只需再摸出张牌属于同一抽屉，只需再摸出 44+117（张），也就是共摸出（张），也就是共摸出 19 张牌张牌.即即 至少摸出至少摸出 19 张牌，才能保证其中有张牌，才能保证其中有 5 张牌的花色相同。张牌的花色相同。 （2 2）因为每种花色有）因为每种花色有 13 张牌张牌.若考虑最若考虑最“坏坏”的情况，即摸出了的情况，即摸出了 2 张王牌和三种花色的所有牌共
14、计张王牌和三种花色的所有牌共计 13 32=41（张），这时，只需再摸一张即一共（张），这时，只需再摸一张即一共 42 张牌，就保证四种花色的牌都有了张牌，就保证四种花色的牌都有了.即至少摸出即至少摸出 42 张张 牌才能保证四种花色的牌都有。牌才能保证四种花色的牌都有。 （3 3）最坏的情形是先摸出了最坏的情形是先摸出了 2 张王牌和方块张王牌和方块、黑桃黑桃、梅花三种花色所有牌共计梅花三种花色所有牌共计 1332=41 张张，只剩红只剩红 桃牌桃牌.这时只需再摸这时只需再摸 3 张，就保证有张，就保证有 3 张牌是红桃了张牌是红桃了.即至少摸出即至少摸出 44 张牌，才能保证其中至少有张牌
15、，才能保证其中至少有 3 张红桃张红桃 牌。牌。 【拓展】在例题的基础上老师可以补充： （1）至少从中取出几张牌，才能保证至少有 2 张梅花牌和 3 张 红桃。 （2）至少从中取出几张牌，才能保证至少有 2 张牌的数码（或字母）相同。 分析：（1）因为每种花色有 13 张牌.若考虑最“坏”的情况，即摸出 2 张王牌、方块和黑桃两种花色的 所有牌共计：1322=28，然后是摸出所有的梅花和 3 张红桃（想想若摸出所有的红桃和 2 张梅花，是 最坏的情况么？），共计：28133=44 张； （2）16 【前铺】一副扑克牌有 54 张，最少要抽取多少张牌，方能保证其中至少有 2 张牌有相同的点数？
16、分析：最“坏”的情况把大小王和点数为 1（A） 、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（J） 、12（Q） 、13 （K） 的牌各取 1 张， 在在这 15 张牌中没有两张牌的点数相同， 这样如果在任取一张， 它的点数必 为 1 到 13 中的一个，所以最少要取 16 张牌方能使其中至少有 2 张牌有相同的点数。 【例【例 4 4】 （）奥数网竞赛班选拔考试，共有）奥数网竞赛班选拔考试，共有 1123 名同学参加，小明说名同学参加，小明说： “至少有至少有 10 名同学来自名同学来自 同一个学校同一个学校。 ”如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？如果他的说法是正
17、确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？ 分析分析：本题需要求抽屉的数量本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最反用抽屉原理和最“坏坏”情况的结合情况的结合，最坏的情况是只有最坏的情况是只有 1010 个同学来自个同学来自 同一个学校同一个学校，而其他学学校都只有而其他学学校都只有 9 9 同学参加同学参加，则人数最多为则人数最多为：（11231010）9 91231236 6，因此这个因此这个 班最多有班最多有：1231231 1124124（人人） （处理余数很关键处理余数很关键，如果有如果有 125125 人则不能保证人则不能保证至少有至少有 10 名同学来自同一个名同学来自同一个
18、学校学校） 。 【巩固】把 125 本书分给五（2）班的学生，如果其中至少有一个人分到至少 4 本书，那么，这个班最多 有多少人？ 分析：本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有 1 个人分 到 4 本书，而其他同学都只分到 3 本书，则人数最多为：（1254）3401，因此这个班最多有： 40141（人） （处理余数很关键，如果有 42 人则不能保证至少有一个人分到 4 本书） 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第九讲教师版Page 4 of 9 【例【例 5 5
19、】 （）有一个布袋中有有一个布袋中有 4040 个相同的小球个相同的小球，其中编上号码其中编上号码 1 1、2 2、3 3、4 4 的各有的各有 1010 个个，问问：一一 次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有 3 3 个小球的号码相同？个小球的号码相同？ 分析分析：将将 1 1、2 2、3 3、4 4 种号码看作种号码看作 4 4 个抽屉个抽屉，要保证一个抽屉中至少有要保证一个抽屉中至少有 3 3 个苹果个苹果，最最“坏坏”的情况是每个的情况是每个 抽屉里有抽屉里有 2 2 个个“苹果苹果”，共有共有：4 42 28 8，再取再取 1 1 个就
20、能满足要求个就能满足要求，所以所以一次至少要取出一次至少要取出 9 9 个小球个小球，才能才能 保证其中至少有保证其中至少有 3 3 个小球的号码相同个小球的号码相同. . 【巩固】有一个布袋中有 5 种不同颜色的球，每种都有 20 个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保 证其中至少有 3 个小球的颜色相同？ 分析：5 种颜色看作 5 个抽屉，要保证一个抽屉中至少有 3 个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有 2 个 “苹果”，共有：5210，再取 1 个就能满足要求，所以一次至少要取出 11 个小球，才能保证其中至 少有 3 个小球的号码相同. 【例【例 6 6】 （）将将 400400 本
21、书随意分给若干同学本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过但是每个人不许超过 1111 本本，问问：至少有多少个同至少有多少个同 学分到的书的本数相同？学分到的书的本数相同？ 分析：每人不许超过分析：每人不许超过 1111 本，最本，最“坏坏”情况是每人得到的本数为：情况是每人得到的本数为：1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9、1010、1 11 1 这这 1111 种各不相同的本数，共有：种各不相同的本数，共有：1 12 23 311116666，40066666 64 4，最不利的分法是：得，最不利的分法是：得 1 1、 2 2、3 3、4 4、5 5、6
22、 6、7 7、8 8、9 9、1010、1111 本书的各本书的各 6 6 人人，还剩还剩 4 4 本书本书，要使每个人不超过要使每个人不超过 1111 本本，无论发给谁无论发给谁， 都会使至少有都会使至少有 7 7 人得到书的本书相同。人得到书的本书相同。 【巩固】要把 61 个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中每个盒子最多可以装 5 个乒乓球，问：至少有多少个 盒子中的乒乓球数目相同？ 分析：每个盒子超不超过 5 个球，最“坏”的情况是每个盒子球数：1、2、3、4、5 这 5 种各不相同的个 数，共有：1234515，611541，最不利的分法是：得 1、2、3、4、5 个球的各 4 个， 还剩
23、 1 个球，要使每个盒子不超过 5 个，无论发给那个盒子，都会使至少有 5 个盒子的球数相同。 、构造抽屉解决问题、构造抽屉解决问题 解题思路解题思路：有些问题没有明确的给出抽屉的数量，这就需要我们应用以前学过的枚举、排列组合、图有些问题没有明确的给出抽屉的数量，这就需要我们应用以前学过的枚举、排列组合、图 形计数的知识构造出抽屉来解决问题形计数的知识构造出抽屉来解决问题，这是一类比较综合性的问题这是一类比较综合性的问题，需要大家细心的来构造需要大家细心的来构造 抽屉。抽屉。 【例【例 7 7】 任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是 7
24、7 的倍数？为什么？的倍数？为什么？ 分析：分析：因为任何整数除以因为任何整数除以 7，其余数只可能是，其余数只可能是 0、1、2、3、4、5、6 七七种情形。我们将余数的这种情形。我们将余数的这七七种情种情 形看成是形看成是 1 七七个个“抽屉抽屉”。一个整数除以。一个整数除以 7 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉抽屉”里。里。要想两要想两 个数的差是个数的差是 7 的倍数的倍数，这两个数必同余这两个数必同余，所以至少有一个抽屉里有两个数所以至少有一个抽屉里有两个数，故最少任取故最少任取 7 7 1 18 8 个自然数个自然数才能保证至少有两
25、个数的差是才能保证至少有两个数的差是 7 7 的倍数。的倍数。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第九讲教师版Page 5 of 9 【巩固 1】证明：在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整除。 分析：因为任何整数除以 3，其余数只可能是 0，1，2 三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽 屉”。一个整数除以 3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。将四个自然数放入三个抽屉， 至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 3 的余数相同。这两个
26、数的差必能被 3 整除。 （说明：本题是按照一个数字的余数构造的抽屉） 【巩固 2】在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 3 的倍数？ 分析：根据【例 7】的讨论，任何整数除以 3 的余数只能是 0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，根 据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。 第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以 3 后具有相同的余数。因为这三个数的余 数之和是其中一个余数的 3 倍，故能被 3 整除，所以这三个数之和能被 3 整除。 第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数， 这
27、三个数被 3 除的余数分别为 0，1，2。因此这三个数之和能被 3 整除。 综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是 3 的倍数。 【巩固 3】在 1，4，7，10，100 中任选 20 个数，其中至少有不同的两组数其和都等于 104，试证明。 分析：1，4，7，10，100 共有 34 个数，将其分为4，100，7，97，49，55，1，52共有 18 个抽屉. 从这 18 个抽屉里面任意抽取 20 个数，若取到1，52，则剩下的 18 个数取自前 16 个抽屉， 至少有 4 个数取自某两个抽屉中. 若不全取 1 和 52，则有多于 18 个数取自前 16 个抽屉，同样至少有 4
28、 个数取自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是 104. 【例【例 8 8】 （）有红、黄、蓝、绿四种颜色的小旗各一面，取其中的一面小旗或者多面小旗由上而有红、黄、蓝、绿四种颜色的小旗各一面，取其中的一面小旗或者多面小旗由上而 下挂在旗杆上作为信号（挂多面小旗时，不同的顺序表示不同的信号，如：挂出红、黄颜色小下挂在旗杆上作为信号（挂多面小旗时，不同的顺序表示不同的信号，如：挂出红、黄颜色小 旗时，红、黄与黄、红表示不同的信号），问：（旗时，红、黄与黄、红表示不同的信号），问：（1 1）共有多少种不同的信号？（）共有多少种不同的信号？（2 2）如果某天）如果某天 发出发出 32332
29、3 种信号，那么这天必定出现某种相同的信号多少次种信号，那么这天必定出现某种相同的信号多少次 分析：（分析：（1 1）若）若 4 4 种颜色的小旗仅取一面，则有种颜色的小旗仅取一面，则有 4 4 种不同的信号；种不同的信号； 若若 4 4 种颜色的小旗仅取两面，则有种颜色的小旗仅取两面，则有 4 43 31212（种）不同的信号；（种）不同的信号； 若若 4 4 种颜色的小旗仅取三面，则有种颜色的小旗仅取三面，则有 4 43 32 22424（种）不同的信号；（种）不同的信号； 若若 4 4 种颜色的小旗仅取四面，则有种颜色的小旗仅取四面，则有 4 43 32 21 12424（种）不同的信号
30、；（种）不同的信号； 则共有不同的信号共：则共有不同的信号共：4 41212242424246464（种）（种） （2 2）32332364645 53 3，根据抽屉原理，这一天某种信号必定至少出现，根据抽屉原理，这一天某种信号必定至少出现 6 6 次。次。 【前铺】新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相 同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时，看不见颜色），结果发现总有 3 个人取的球相同，由此 可知，参加取球的至少有几人？ 分析：取两个球的颜色有多少种情况为抽屉，所以抽屉有：红红、红黄、红白、红蓝、红绿、黄黄、黄 白、黄蓝、黄绿、白白、白蓝、白
31、绿、蓝蓝、蓝绿、绿绿共 15 种情况，即有 15 个抽屉，则参加取球的 人数，即“苹果”的数量至少为：152131（人） 。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第九讲教师版Page 6 of 9 【巩固】自制的一副玩具扑克共计 52 张（含 4 种牌：红桃、红方、黑桃、黒梅，每种牌都有 1、2、 13 点牌各一张），洗好后背面朝上放好，（1）一次至少抽取几张牌，才能保证其中必定有 2 张牌的点数 和颜色都相同？（2）如果要求一次抽出的牌中必定有 3 张牌的点数是相邻的（不计颜色）那么要取几张 牌? 分
32、析：（1）最“坏”的情况取出红、黑色的 1、2、313 点牌各一张共：13226（张） ，那么在任 取一张必定和其中某一张牌的点数相同，于是就有两张牌的点数和颜色相同，因此至少要取 27 张牌才能 保证其中必定有 2 张牌的点数和颜色都相同（2）要使三张牌的点数相邻有以下的搭配：（1，2，3）、 （4，5，6）、（7，8，9）、（10，11，12）、13，因而最“坏的情况对有下划线的 9 个数字，四种 花色的牌都取，这样可以取到：9436（张）牌，其中没有三张牌的点数是相邻的，现在再任意取一 张，必定有 3 张点数是相邻的。 【例【例 9 9】 （）在边长为在边长为 3 3 米的正方形中米的正
33、方形中，任意放入任意放入 2828 个点个点，求证求证：必定有四个点必定有四个点，以它们为顶点以它们为顶点 的四边形的面积不超过的四边形的面积不超过 1 1 平方米。平方米。 分析分析：将大正方形分成将大正方形分成 9 9 个边长为个边长为 1 1 米的小正方形米的小正方形，则则 9 9 个小正方形为个小正方形为“抽屉抽屉”有有：28289 93 31 1，则则 必有一个小正方形里（上）至少有必有一个小正方形里（上）至少有 3 31 14 4（个）点，若这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点，（个）点，若这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点， 那么以这那么以这 4 4 个点为顶点的四边行的面
34、积最大为个点为顶点的四边行的面积最大为 1 1 平方米；若有一个点落在正方形的内部，则面积将小平方米；若有一个点落在正方形的内部，则面积将小于于 1 1 平方米，综上所述，不论怎么放平方米，综上所述，不论怎么放，必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过，必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过 1 1 平方米。平方米。 【前铺 1】 在长度是 10 厘米的线段上任意取 11 个点， 是否至少有两个点， 它们之间的距离不大于 1 厘米？ 分析：把长度 10 厘米的线段 10 等分，那么每段线段的长度是 1 厘米（见下图） 。 将每段线段看成是一个“抽屉” ，一共有 10 个抽屉。现在
35、将这 11 个点放到这 10 个抽屉中去。根据 抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点） 。由于这两个点在同一 个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于 1 厘米。所以，在长度是 10 厘米的线段上任意取 11 个点， 至少存在两个点，它们之间的距离不大于 1 厘米。 【前铺 2】在 100 米的路段上植树，问：至少要植多少棵树，才能保证至少有 2 棵树之间的距离小于 10 米？ 分析：把长度 100 米的路段 10 等分，那么每段的长度是 10 米（见下图） 。 将每段线段看成是一个“抽屉” ，一共有 10 个抽屉。最坏的情况将每个点都植上树（包括端点）可 以植 11
36、 棵树现在每两棵树的距离都是 10 米，要想每两棵树的距离小于 10 米必须在植一棵树，所以 至少要植 12 棵树才能保证至少有 2 棵树之间的距离小于 10 米。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第九讲教师版Page 7 of 9 【例【例 1010】（）用数字用数字 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6 填满一个填满一个 6 66 6 的方格表的方格表， 如右图所示如右图所示，每个小方格只填其中一个数字每个小方格只填其中一个数字，将每个将每个 2 22 2 正方格内的正方格内的 四个数
37、字的和称为这个四个数字的和称为这个 2 22 2 正方格的正方格的“标示数标示数”，问问：能否给出一种能否给出一种 填法，使得任意两个填法，使得任意两个“标示数标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如均不相同？如果能，请举出一例；如 果不能，请说明理由。果不能，请说明理由。 分析：先计算出每个分析：先计算出每个 2 22 2 正方格内的四个数字的和最小为：正方格内的四个数字的和最小为：4 4，最大为：，最大为：2424， 从从 4 4 到到 2424 共有共有 2121 个不同的值个不同的值，即有即有 2121 个个“抽屉抽屉”；再找出在再找出在 6 66 6 的方格表最多有的方格表最多有：5
38、 55 52525（个个）2 2 2 2 正方格的正方格的“标示数标示数”，即有即有 2525 个个“苹果苹果”。根据抽屉原理根据抽屉原理:25:2521211 14,4,必有两个必有两个“标示数标示数”相相 同。同。 【巩固】在 88 的方格纸中，每个方格纸内可以填上 14 四个自然数中的任 意一个，填满后对每个 22“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同 的和至少有几个？ 分析：先计算出在 88 的方格中，共有 22“田”字形：77 49（个）， 在 14 中任取 4 个数（可以重复）的和可以是 416，共 13 种可能，根据抽屉 原理:4913310，至少有 314 个“田”字形内
39、的数字和是相同的。 【附加选讲】圆上的 100 个点将该圆等分为 100 段等弧，随意将其中的一些点染成红点，要保证至少有 4 个红点是一个正方形的 4 个顶点，问：你至少要染红多少个点？ 分析：如右图所示，圆的一对直径 AC、BD 互相垂直时，则 ABCD 恰是一个正方 形，反过来，如果圆上的四点 A、B、C、D 恰是一个正方形 ABCD 的四个顶点， 则对角线 AC、BD 恰是该圆的一对互相垂直的的直径。 圆上的 100 个点将该圆等分为 100 段等弧，恰有 25 对互相垂直的直径，由于互 相垂直的直径的 4 个端点恰可以构成 25 个不同的正方形，最不利的情况是：每 对互相垂直的直径的
40、 4 个端点中染红 3 个点，共染红：25375（个）点，此 时我们只要再染红一个点就必定会出现一个正方形的 4 个顶点都是红点，所以 至少要染红：75176(个)点 说明：附加题是图形与抽屉原理的另一种情况，老师您可以根据班级的情况来决定讲附加说明：附加题是图形与抽屉原理的另一种情况，老师您可以根据班级的情况来决定讲附加。 专题展望专题展望 抽屉原理的结论虽然简单，但这一类题目与数学中数论问题、图形计数、逻辑推理等分支都有结合，抽屉原理的结论虽然简单，但这一类题目与数学中数论问题、图形计数、逻辑推理等分支都有结合， 随着大家对这些数学知识具体的掌握，解决抽屉原理的问题也会更加得心应手。随着大
41、家对这些数学知识具体的掌握，解决抽屉原理的问题也会更加得心应手。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第九讲教师版Page 8 of 9 练习九练习九 1、 （） 证明证明： （1）任意任意 32 个人中个人中，至少有至少有 3 个人是在同一个月出生个人是在同一个月出生。 （2）要想保证至少要想保证至少 3 个人是个人是 在同一个月出生，至少有几个人？（在同一个月出生，至少有几个人？（3）要想保证至少）要想保证至少 5 个人是在同一个月出生，但不能保证有个人是在同一个月出生，但不能保证有 6 个个 人是
42、在同一个月出生，那么总人数应该在什么范围内？人是在同一个月出生，那么总人数应该在什么范围内？ 分析分析： （1）把把 12 个月看作个月看作 12 个抽屉个抽屉，3212122 28 8，由抽屉原理由抽屉原理，至少有至少有 3 3 个人个人是在同一个月出生是在同一个月出生。 （2）要保证有至少）要保证有至少 3 个人是在同一个月出生，总人数最少为：个人是在同一个月出生，总人数最少为：2 212121 12525（人）（人） （3）要保证有至少要保证有至少 5 个人是在同一个月出生个人是在同一个月出生，总人数最少为总人数最少为：4 412121 14949（人人） ，不能保证有不能保证有 6 6
43、 个人个人是在同一个月出生是在同一个月出生的最多人数为：的最多人数为：5 512126060（人（人） ，所以总人数应该在，所以总人数应该在 4949 人到人到 6060 人的人的 范围内。范围内。 2、 （） 布袋中有布袋中有 5 5 种不同颜色的小球共种不同颜色的小球共 6060 个个，其中每种颜色各有其中每种颜色各有 1212 个个，问问：一次至少要取出多一次至少要取出多 少个小球，才能保证其中至少有少个小球，才能保证其中至少有 5 5 个小球的颜色相同？个小球的颜色相同？ 分析：将分析：将 5 5 种颜色看作种颜色看作 5 5 个抽屉，要保证一个抽屉中至少有个抽屉，要保证一个抽屉中至少
44、有 5 5 个苹果，最个苹果，最“坏坏”的情况是每个抽屉里的情况是每个抽屉里有有 4 4 个个“苹果苹果”，共有共有：5 54 42020，再取再取 1 1 个就能满足要求个就能满足要求，所以所以一次至少要取出一次至少要取出 2121 个小球个小球，才能保证其才能保证其 中至少有中至少有 5 5 个小球的颜色相同个小球的颜色相同. . 3、 （） 52 张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花 4 种花色各种花色各 13 张，问：张，问： 至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少 2 张。张。 至少从中取出几张牌，
45、才能保证有花色相同的牌至少至少从中取出几张牌，才能保证有花色相同的牌至少 5 张。张。 至少从中取出几张牌，才能保证有至少从中取出几张牌，才能保证有 4 种花色的牌。种花色的牌。 至少从中取出几张牌，才能保证至少有至少从中取出几张牌，才能保证至少有 2 张牌的数码（或字母）相同。张牌的数码（或字母）相同。 分析：分析：.5 张；张； 17 张；张； 40 张；张；14 张。张。 4、 （） 老师在黑板上出了两道题老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得规定每道题做对得 2 2 分分，没有做得没有做得 1 1 分分，做错的做错的 0 0 分分。老师说老师说： “可以肯定全班同学中至少有可以肯定全
46、班同学中至少有 6 6 名同学各题的得分都相同名同学各题的得分都相同。”那么那么，同学们请算算这个班至少有多少同学们请算算这个班至少有多少 个人？个人？ 分析：同学做两道题的得分情况为分析：同学做两道题的得分情况为“抽屉抽屉”，用（，用（a,ba,b）表示各题的得分情况，其中）表示各题的得分情况，其中 a a，b b 表示一题和二表示一题和二 题的得分题的得分，那么抽屉共有那么抽屉共有：（2 2，2 2）（2 2，1 1）（1 1，2 2）（2 2，0 0）（0 0，2 2）（1 1，1 1）（1 1，0 0）（0 0，1 1）（0 0， 0 0）这）这 9 9 种情况，求学生数量即种情况，求
47、学生数量即“苹果苹果”数为：数为：9 95 51 14646（人（人） 。 5、 （）在边长为）在边长为 3 的正三角形内，任意放入的正三角形内，任意放入 10 个点，求证：必有个点，求证：必有 2 个点的距离不大于个点的距离不大于 1。 分析：将正三角行等分为分析：将正三角行等分为 9 个小正三角行。个小正三角行。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第九讲教师版Page 9 of 9 数学知识数学知识 芝诺悖论芝诺悖论-阿基里斯追龟阿基里斯追龟 古希腊数学家芝诺（约公元前古希腊数学家芝诺（约公元前
48、490 年至约前年至约前 425 年）提出了一个著名的悖论：阿基里斯（荷马史诗年）提出了一个著名的悖论：阿基里斯（荷马史诗 中的赛跑英雄中的赛跑英雄）和乌龟举行了一场赛跑和乌龟举行了一场赛跑，并让乌龟先跑并让乌龟先跑 100 米米，假定阿基米斯的速度是乌龟的假定阿基米斯的速度是乌龟的 10 倍倍，现现 在在，比赛开始了比赛开始了，当阿基里斯跑了当阿基里斯跑了 100 米米，到达乌龟的出发点时到达乌龟的出发点时，乌龟又向前跑了乌龟又向前跑了 10 米米，当阿基里斯又当阿基里斯又 追上追上 10 米米，乌龟又向前跑了乌龟又向前跑了 1 米米。 。 。如此继续下去如此继续下去，因为阿基米斯必须先到乌龟原来的位置因为阿基米斯必须先到乌龟原来的位置，所以乌龟所以乌龟 总在阿基米斯的前面，由此可得：阿基米斯永远追不上乌龟！总在阿基米斯的前面，由此可得：阿基米斯永远追不上乌龟！ 这个结论显然是错误的。亲爱的小朋友，你知道芝诺的这个谬论错在哪吗？这个结论显然是错误的。亲爱的小朋友，你知道芝诺的这个谬论错在哪吗？
