1、贤者常以愚人为前车之鉴。乔叟联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级基础班第三讲学生版Page 1 of 4 第三讲第三讲数论之数的整除性数论之数的整除性 专题精讲专题精讲 数论研究的数论研究的是是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数整数及其内部关系，但是从这些简单整数及其内部关系，但是从这些简单 的数中诞生了的数中诞生了“费马大定理费马大定理”、“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”和和“朗兰兹纲领朗兰兹纲领”这样的难题，它们吸引数学家们花这样的难题，它们吸引数学家们花 费数十年、甚至整世纪努力研究费数十年、甚至整世纪努力研究，本讲我们将学习一些
2、最基本的数论知识，本讲我们将学习一些最基本的数论知识. . 1 1一个数的末位能被一个数的末位能被 2 或或 5 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 2 或或 5 整除；整除； 一个数的末两位能被一个数的末两位能被 4 或或 25 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 4 或或 25 整除；整除； 一个数的末三位能被一个数的末三位能被 8 或或 125 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 8 或或 125 整除；整除； 2 2一个数各位数数字和能被一个数各位数数字和能被 3 3 整除，这个数就能比整除，这个数就能比 9 9 整除；整除； 一个数各位数数字和能被一个数各位数数字和能被 9 9
3、 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 9 9 整除；整除； 3 3如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 1111 整除，那么这个数能整除，那么这个数能 被被 1111 整除整除. . 4 4如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7 7、1111 或或 1313 整除，那么这个数整除，那么这个数 能被能被 7 7、1111 或或 1313 整除整除. . ( (以上规律仅在十进制数中适用以上规律仅在十进制数中适用) ) 5 5部分特殊数的分
4、解：部分特殊数的分解：111=3111=33737；1001=71001=711111313；11111=4111111=41271271；10001=7310001=73137137； 1995=31995=35 57 71919；1998=21998=23 33 33 33737；2007=32007=33 3223223；2008=22008=22 22 2251251； 2007+2008=4015=52007+2008=4015=511117373，10101=310101=37 7131337.37. 想挑战吗？ 在下面的方框中各填一个数字，使六位数在下面的方框中各填一个数字，使六
5、位数 11111111 能被能被 1717 和和 1919 整除，那么方框中的两位数是整除，那么方框中的两位数是. . 贤者常以愚人为前车之鉴。乔叟联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级基础班第三讲学生版Page 2 of 4 整除与数字谜题整除与数字谜题 【例【例 1 1】 （）六位自然数六位自然数 10821082能被能被 1212 整除，末两位数有整除，末两位数有种情况种情况 【例【例 2 2】 （全国希望杯数学邀请赛全国希望杯数学邀请赛）若四若四位数位数9a8a能被能被 1515 整除，则整除，则 a a 代表的数字是代表的数字是 【例【例 3 3】 （）如果有一个九
6、如果有一个九位数位数A1999311B 能被能被 72 整除，试求整除，试求 A、B 两数的差两数的差(大大减小减小) 【例【例 4 4】 （）要使）要使15ABC6能被能被 3636 整除，而且所得的商最小，那么整除，而且所得的商最小，那么 A A、B B、C C 分别是多少？分别是多少？ 【例【例 5 5】 （）4630546305 乘以一个自然数乘以一个自然数 a a，乘积是一个整数的平方。求最小，乘积是一个整数的平方。求最小 a a 和这个整数和这个整数. . 【例【例 6 6】 （祖冲之杯小学数学邀请赛祖冲之杯小学数学邀请赛）一个数的）一个数的 2020 倍减倍减 1 1 能被能被
7、153153 整除，这样的自然数中最小的整除，这样的自然数中最小的 是是. . 整除与数字组合整除与数字组合 【例【例 7 7】 （） 用数字用数字 6 6， 7 7， 8 8 各两个各两个， 组成一个六位数组成一个六位数， 使它们能被使它们能被 168168 整除整除， 这个六位数是这个六位数是. . 贤者常以愚人为前车之鉴。乔叟联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级基础班第三讲学生版Page 3 of 4 【例【例 8 8】 （）在十进制的十位数中，有多少个能被在十进制的十位数中，有多少个能被 9 9 整除，并且各位数字都是整除，并且各位数字都是 0 0 或或 5 5 的
8、数的数? ? 【例【例 9 9】 （）用用 1 1，9 9，8 8，8 8 这四个数字能排成几个被这四个数字能排成几个被 1111 除余除余 8 8 的四位数的四位数? ? 【例【例 1010】 （）一个一个 4 4 位数位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 4 位数位数. .已知这两个已知这两个 4 4 位数的位数的 和是以下和是以下 5 5 个数的一个：个数的一个：98659865；98669866；98679867；98689868；9869.9869.这两个这两个 4 4 位数的和到底是多少位数的和到底是多少? ? 多位数整除多位数整除 【例【
9、例 1111】 （香港圣公会小学数学奥林匹克香港圣公会小学数学奥林匹克）这个这个 199199 位整数位整数： 199 10010010011001 位 被被 1313 除除，余数余数 是多少？是多少？ 【例【例 1212】 （全国小学数学奥林匹克全国小学数学奥林匹克）如果）如果 2005 20052005200501 n 个 能被能被 1111 整除，那么整除，那么 n n 的最小值的最小值 是是. . 专题展望专题展望 数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊
10、 情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授. 贤者常以愚人为前车之鉴。乔叟联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级基础班第三讲学生版Page 4 of 4 练习三练习三 1 1、 （例例 1 1）六位数）六位数 20032003能被能被 9999 整除，它的最后两位数是整除，它的最后两位数是. . 2 2、 （例例 1 1）一个三位数能同时被）一个三位数能同时被 4 4、5 5、7 7 整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中 间一个数是多少？间一个数是多少？ 3 3、 （例
11、例 6 6）一个数的）一个数的 4040 倍减倍减 1 1 能被能被 9797 整除，这样的自然数中最小的是整除，这样的自然数中最小的是. . 4 4、 （例例 3 3）一个）一个 6 6 位数位数2008AB能被能被 7272 整除，那么整除，那么 A A 的值为多少？的值为多少？ 5 5、 （例例 7 7）只修改）只修改 2147521475 的某一位数字，使修改后的数能被的某一位数字，使修改后的数能被 225225 整除整除. . 数学知识数学知识 时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系.可是，为什么它
12、们都分成可是，为什么它们都分成 分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？ 我们仔细研究一下我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的就知道这两种量是紧密联系着的.原来原来，古代人由于生产劳动的需要古代人由于生产劳动的需要，要研究天要研究天 文和历法文和历法，就牵涉到时间和角度了就牵涉到时间和角度了.譬如研究昼夜的变化譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间这里自转的角度和时间 是紧密地联系在一起的是紧密地联系在一起的.因为历法需要的精确度较高因为历法需要的精确度较高，时间的单位时间的单
13、位小时小时、角度的单位角度的单位度度都嫌太大都嫌太大，必必 须进一步研究它们的小数须进一步研究它们的小数.时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使使 1/2、1/3、1/4、1/5、1/6 等都能成为它的整数倍等都能成为它的整数倍.以以 1/60 作为单位，就正好具有这个性质作为单位，就正好具有这个性质.譬如：譬如：1/2 等于等于 30 个个 1/60，1/3 等于等于 20 个个 1/60，1/4 等于等于 15 个个 1/60 数学上习惯把这个数学上习惯把这个 1/60 的单位叫做的单位叫做分分，用符号，用符号来表示；把来表示；把 1
14、分的分的 1/60 的单位叫做的单位叫做秒秒，用，用 符号符号来表示来表示.时间和角度都用分、秒作小数单位时间和角度都用分、秒作小数单位. 这个小数的进位制在表示有些数字时很方便这个小数的进位制在表示有些数字时很方便.例如常遇到的例如常遇到的 1/3，在十进位制里要变成无限小数，但，在十进位制里要变成无限小数，但 在这种进位制中就是一个整数在这种进位制中就是一个整数. 这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久 地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天.
