1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十三讲教师版Page 1 of 9 第十三讲第十三讲牛吃草问题（二）牛吃草问题（二） 教学目标教学目标 在十二讲中大家对于牛吃草问题应该有了详细的了解了在十二讲中大家对于牛吃草问题应该有了详细的了解了， 对于简单的牛吃草问题的解题原理和解对于简单的牛吃草问题的解题原理和解 题过程应该已经都掌握了，题过程应该已经都掌握了，解决解决“牛吃草牛吃草”问题的步骤可以概括为三步：问题的步骤可以概括为三步： 1、 设定设定 1 头牛头牛 1 天吃草量为天吃草量为“1” ； 2、
2、 列出表格列出表格，分别表示牛的数量分别表示牛的数量、时间总量时间总量、草的总量草的总量（原有总原有总量量一一定时间内变化的量定时间内变化的量） ，根据根据 表格求出草的生长速度和草的总量；也可以画图来解题。表格求出草的生长速度和草的总量；也可以画图来解题。 3、 根据每头牛单位时间吃草数量根据每头牛单位时间吃草数量和草的生长速度不变这一关系根据题目要求解题。和草的生长速度不变这一关系根据题目要求解题。 关于关于牛吃草牛吃草这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走，行程中的追及，行程中的追及 问题问题等等等等，
3、解题方案就是先在题目中找出对应的解题方案就是先在题目中找出对应的“牛牛”和和“草草” ，然后按照上面的步骤来解题然后按照上面的步骤来解题。大家只有大家只有 掌握好这些才能更好的学习我们的牛吃草（二掌握好这些才能更好的学习我们的牛吃草（二） 。 分析：分析： 设设 1 头牛头牛 1 天吃天吃 1 份牧草。份牧草。 22 头牛头牛 54 天吃掉天吃掉11882254份，说明每公亩牧场份，说明每公亩牧场 54 天提供天提供36331188份牧草；份牧草； 17 头牛头牛 28 天吃掉天吃掉14288417份，说明每公亩牧场份，说明每公亩牧场 84 天提供天提供51281428份牧草。份牧草。 每公亩
4、牧场每公亩牧场305484天多提供天多提供153651份牧草，说明每公亩牧场每天的牧草生长量为份牧草，说明每公亩牧场每天的牧草生长量为 5 . 03015份，原有草量为份，原有草量为5184 95 . 0份。份。 如果是如果是 40 公亩的牧场公亩的牧场，原有草量为原有草量为360409份份，每天新长出每天新长出20405 . 0份份，24 天共计提供牧天共计提供牧 草草8402420360份，可供份，可供3524840头牛吃头牛吃 24 天。天。 【你还记得么？【你还记得么？】（三帆中学）（三帆中学）一块匀速生长的草地，可供一块匀速生长的草地，可供 1616 头牛吃头牛吃 2020 天或天或
5、者者供供 8080 只羊吃只羊吃 1212 天天. .如如 果一头牛一天吃草量等于果一头牛一天吃草量等于 4 4 只羊一天的吃草只羊一天的吃草量量，那那么这块草地可供么这块草地可供 lOlO 头牛和头牛和 6 60 0 只羊只羊一一起起吃多吃多少天少天? ? 分析：设头牛天的吃草量为分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 1616 头牛头牛2020 天天161620=32020=320：原有草量：原有草量+20+20 天生长的草量天生长的草量 8080 只羊（只羊（2020 头牛）头牛）1212 天天202012=2401
6、2=240：原有草量：原有草量+12+12 天生长的草量天生长的草量 从上易发现：从上易发现：8 8（=20-12=20-12）天生长的草量）天生长的草量=320-240=80=320-240=80，即，即 1 1 天生长的草量天生长的草量=10=10； 那么原有草量那么原有草量：320-20320-2010=12010=120； （lOlO 头牛和头牛和 6 60 0 只羊只羊 1 1 天一天一起起吃的草量吃的草量，相当于相当于 2525 头牛一天吃的草量头牛一天吃的草量） ； 2525 头牛中头牛中， 若有若有 1010 头牛去吃每天生长的草头牛去吃每天生长的草， 那么剩下的那么剩下的 1
7、515 头牛需要头牛需要 12012015=815=8 天可以把原有草量吃完天可以把原有草量吃完， 即即这块草地可供这块草地可供 lOlO 头牛和头牛和 6 60 0只羊只羊一一起起吃吃 8 8 天天。 想挑战吗？ 1717 头牛吃头牛吃 2828 公亩的草，公亩的草，8484 天可以吃完天可以吃完；2222 头牛同样牧场头牛同样牧场 3333 公亩的草公亩的草 5454 天可天可 吃完吃完，几头牛吃同样牧场几头牛吃同样牧场 4040 公亩的草公亩的草，2424 天可吃完天可吃完?(?(假设每公亩牧假设每公亩牧草原草量相草原草量相 等，且匀速生长等，且匀速生长) ) 讲义是乐谱，学生是听众，老
8、师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十三讲教师版Page 2 of 9 专题精讲专题精讲 I.经典的经典的“牛吃草牛吃草”的变例的变例 【例【例 1】 有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给 6 人喝，人喝，4 天可喝完；如天可喝完；如 果由果由 4 人喝，人喝，5 天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由 4 个人来喝需要几个人来喝需要几 天喝完？天喝完？ 分析分析
9、：一桶酒相当于原有一桶酒相当于原有“草草” ，喝酒人相当于喝酒人相当于“牛牛” ，漏掉酒相当于草在减少漏掉酒相当于草在减少，设设 1 人人 1 天喝酒量为天喝酒量为“1” 6 人人4 天天6 64 42424：原有酒：原有酒4 4 天自然减少的酒天自然减少的酒 4 人人5 天天4 45 52020：原有酒：原有酒5 5 天自然减少的酒天自然减少的酒 从上面看出：从上面看出：1 1 天减少的酒为（天减少的酒为（24242020）（5 54 4）4 4，可供，可供 4 4 人喝一天。人喝一天。 原有酒为：原有酒为：24244 44 44040，由，由 4 4 个人来喝需要：个人来喝需要：40404
10、 41010（天（天） 。 【例【例 2 2】 妮妮从家出发步行去美佳家玩妮妮从家出发步行去美佳家玩，出发一段时间后出发一段时间后，小新有事去追赶他小新有事去追赶他，若也步行若也步行，每分钟行每分钟行 1 15 5 米，米，6 6 分钟可以追上；若跑步，每分钟行分钟可以追上；若跑步，每分钟行 3535 米，米，2 2 分钟可以追上；小新骑三轮车若想分钟可以追上；小新骑三轮车若想 1.51.5 分钟追上妮妮分钟追上妮妮 需要以多快的速度来骑？需要以多快的速度来骑？ 分析：分析：步行：每分钟步行：每分钟 1515 米米6 6 分钟分钟15156 66 6 分钟妮妮走的路程分钟妮妮走的路程追及距离追
11、及距离 跑步：每分钟跑步：每分钟 3535 米米2 2 分钟分钟35352 22 2 分钟妮妮走的路程分钟妮妮走的路程追及距离追及距离 所以所以 15156 66 6 分钟妮妮走的路程分钟妮妮走的路程35352 22 2 分钟妮妮走的路程，即分钟妮妮走的路程，即 1 1 分钟妮妮走的路程分钟妮妮走的路程5 5（千米（千米） ， 那么追及距离那么追及距离15156 65 56 66060（ 米米） 。三轮车去追的话需要以：。三轮车去追的话需要以：60601.51.55 54545（米）的速度去追（米）的速度去追。 【巩固】有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的 2 倍追乙车，5 小时后
12、甲车追上乙车，如 果甲车以现在速度的 3 倍追乙车，3 小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追乙车，问：几 个小时后甲车追上乙车？ 分析：分析题知道甲车相当于“牛” ，甲追乙的追及路程相当于“原有草” ，乙车相当于“新生草” ， 设甲的速度为“1” ，摘录条件，讲其转化为如下的形式为 2 倍的甲速5 小时2510：追及路程5 个小时乙走的路程 3 倍的甲速3 小时33 9：追及路程3 个小时乙走的路程 从表上看乙 532 小时走的路程为 1091，乙的速度为 120.5，追及路程为：100.557.5 甲以现在的速度追乙的时间为：7.5（10.5）15（小时） 。 【例【例 3 3】
13、 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派 1515 个工人砌砖墙个工人砌砖墙 1414 天天 可以把砖运完，如果派可以把砖运完，如果派 2020 个工人，个工人，9 9 天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了 6 6 天后，调走天后，调走 6 6 名工人名工人， 其余工人又工作其余工人又工作 4 4 天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？ 分析：依题意知开工前运进的砖相当于分析：依题意知开工前运进的砖相当于“原有草原有草”开工后每天运进相同的砖相
14、当于开工后每天运进相同的砖相当于“草的生长速度草的生长速度”工工 人砌砖相当于人砌砖相当于“牛在吃草牛在吃草” 。所以设。所以设 1 1 名工人名工人 1 1 天砌砖数量为天砌砖数量为“1 1” ，列表分析得，列表分析得 1515 人人1414 天天15151414210210 ：原有砖的数量：原有砖的数量1414 天运来砖的数量天运来砖的数量 2020 人人9 9 天天20209 9 180180 ：原有砖的数量：原有砖的数量 9 9 天运来砖的数量天运来砖的数量 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班
15、第十三讲教师版Page 3 of 9 从上面的表中可以看出（从上面的表中可以看出（14149）5 5 天运来的砖为（天运来的砖为（210210180）3030，即，即 1 1 天运来的砖为天运来的砖为 3056 6 原有砖的数量为：原有砖的数量为：18018069 9126126； 设原有设原有 x x 名工人，根据题意可得：名工人，根据题意可得：126126（6 64 4）6 66 6（6 6）4 4；解得：；解得：x x2121，所以原来应，所以原来应 该派该派 2121 名工人。名工人。 【巩固】某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派 250 个工人砌砖墙 6 天
16、 可以把砖运完，如果派 160 个工人，10 天可以把砖用完，现在派 120 名工人砌了 10 天后，又增加 5 名工 人一起搬，还需要在搬几天？ 分析：依题意知开工前运进的砖相当于“原有草”开工后每天运进相同的砖相当于“草的生长速度”工 人砌砖相当于“牛在吃草” 。所以设 1 名工人 1 天砌砖数量为“1” ，列表分析得： 250 人6 天2506 1500 ：原有砖的数量 6 天运来砖的数量 160 人10 天16010 1600 ：原有砖的数量10 天运来砖的数量 从上面的表中可以看出（106）4 天运来的砖为（16001500）100，即 1 天运来砖为 100425 原有砖的数量为：
17、160010251350； 如果 120 名工人砌了 10 天，那么将会砌掉：1201012001025 新运来的砖950 原有的砖； 变成 1205125 人来砌砖的话，还有 1350950400 的原有的砖未运，现在就相当于派 25 人来砌新 运来的砖那么就有 100 人来砌原有的砖，需要：4001004（天） 。 【例【例 4】 一片一片匀速生长的匀速生长的牧草牧草，如果让马和牛去吃如果让马和牛去吃， 15 天将草吃尽天将草吃尽； 如果让马和羊去吃如果让马和羊去吃， 20 天将草吃尽天将草吃尽； 如果让牛和羊去吃如果让牛和羊去吃，30 天将草吃尽天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于
18、马每天的吃草量已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马现在让马、牛牛、 羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？ 分析：分析：设设 1 头头马马 1 天吃天吃草量为草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 马和牛马和牛15 天天15 天马和牛吃草量原有草量天马和牛吃草量原有草量15 天新长草量天新长草量（）（） 马和羊马和羊20 天天20 天马和羊吃草量原有草量天马和羊吃草量原有草量20 天新长草量天新长草量（）（） 牛和羊（同马）牛和羊（同马）30 天天30 马（牛和羊）吃原有草量马（牛和羊）
19、吃原有草量30 天新长草量天新长草量（）（） 由（）由（）（）可得：（）可得：30 天牛吃草量原有草量天牛吃草量原有草量牛每天吃草量原有草量牛每天吃草量原有草量30； 由（由（3）分析知道：）分析知道：30 天羊吃草量天羊吃草量30 天新长草量，羊每天吃草量每天新长草量；天新长草量，羊每天吃草量每天新长草量； 讲分析的结果带入（讲分析的结果带入（2）得：原有草量）得：原有草量20，带入（，带入（3）30 天牛吃草量天牛吃草量20 得牛每天吃草量得牛每天吃草量 2 3 这样如果马这样如果马、牛和羊一起吃牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃马和牛吃原有草可以吃：
20、20（1 2 3 ）12（天天） 。 【巩固】 （三帆中学阶段测试）一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的总 量正好是牛吃草的总量.如果草地放牧牛和羊，可以吃 45 天；如果放牧牛和鹅，可吃 60 天：如果放牧羊 和鹅，可吃 90 天.这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它们吃多少天? 分析：设 1 头牛 1 天吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 牛和羊天天牛和羊吃草量原有草量天新长草量（） 牛和鹅天天牛和鹅吃草量原有草量天新长草量（） 鹅和羊（同牛）天牛（鹅和羊）吃原有草量天新长草量（） 由（）（）可得：天羊吃草量原有草量羊每天吃草量原有草量； 由（3）
21、分析知道：天鹅吃草量天新长草量，鹅每天吃草量每天新长草量； 讲分析的结果带入（2）得：原有草量，带入（3）天羊吃草量得羊每天吃草量 2 3 ， 这样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草， 牛和羊吃原有草可以吃：（1 2 3 ）36（天） 。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十三讲教师版Page 4 of 9 II. 多块草地上的牛吃草多块草地上的牛吃草 【例【例 5】 东升牧场南面一块东升牧场南面一块 2000 平方米的牧场上长满牧草平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长牧草每天都在匀速
22、生长,这片牧场可供这片牧场可供 18 头头 牛吃牛吃 16 天天， 或者供或者供 27 头牛吃头牛吃 8 天天。 在在东升牧场的西侧有一块东升牧场的西侧有一块 6000 平方米的牧场平方米的牧场， 可供多少头牛吃可供多少头牛吃 6 天？天？ 分析：设头牛天的吃草量为分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 1818 头牛头牛1616 天天18181616288288 ：原有草量：原有草量1616 天自然增加的草量天自然增加的草量 2727 头牛头牛8 8 天天2727 8 8216216 ：原有草量：原有草量 8 8 天自然
23、增加的草量天自然增加的草量 从上看出：从上看出：2000 平方米的牧场平方米的牧场上上 16168 88 8 天生长草量天生长草量2882882162167272，即，即 1 1 天生长草量天生长草量72728 89 9； 那么那么 2000 平方米的牧场平方米的牧场上上原有草量：原有草量：28828816169 9144144 或或 2162168 89 9144144。 则则 6000 平方米的牧场平方米的牧场 1 1 天生长草量天生长草量9 9（6000600020002000）2727；原有草量原有草量：144144（6000600020002000）432.432. 6 6 天里，共
24、草场共提供草天里，共草场共提供草 43243227276 6594594，可以让，可以让 5945946 69999（头）牛吃（头）牛吃 6 6 天。天。 【前铺】老师可以在十二讲的【例 1】的基础上拓展为：有一块 1200 平方米的牧场，每天都有一些草在 匀速生长，这块牧场可供 10 头牛吃 20 天，或可供 15 头牛吃 10 天，另有一块 3600 平方米的牧场，每平 方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供 75 头牛吃多少天？ 分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 10 头牛20 天1020200 ：原有草量20 天生长的草量 15 头牛
25、10 天1510150 ：原有草量10 天生长的草量 从上易发现：1200 平方米牧场上 201010 天生长草量20015050，即 1 天生长草量50105； 那么 1200 平方米牧场上原有草量：200520100 或 150510100。 则 3600 平方米的牧场 1 天生长草量5（36001200）15；原有草量：100（36001200）300. 75 头牛里，若有 15 头牛去吃每天生长的草，剩下 60 头牛需要 300605（天）可将原有草吃完，即它 可供 25 头牛吃 5 天。 【例【例 6】 有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。有甲，乙两块匀速生长
26、的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。30 头牛头牛 12 天能吃完甲草天能吃完甲草 地上的草，地上的草，20 头牛拿头牛拿 4 天能吃完乙草地的草。问几头牛天能吃完乙草地的草。问几头牛 10 天能同时吃完两快草地上的草？天能同时吃完两快草地上的草？ 分析分析：设头牛天的吃草量为设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析将它们转化为如下形式方便分析，根据甲的面积是乙根据甲的面积是乙 的的 3 倍可以将关系（将乙看成倍可以将关系（将乙看成 1 份，则甲就是份，则甲就是 3 份）为：份）为： 30 头牛头牛12 天天30301212360360：甲原有草量：甲原有草
27、量1212 天甲地自然增加的草量天甲地自然增加的草量 转化为：转化为：1010 头牛头牛12 天天10101212120120：乙原有草量：乙原有草量1212 天乙地自然增加的草量天乙地自然增加的草量 20 头牛头牛4 天天20204 4 8080：乙原有草量：乙原有草量 4 4 天乙地自然增加的草量天乙地自然增加的草量 从上表中可以看出从上表中可以看出（12124）8 8 天运乙第长草量为天运乙第长草量为（12012080）4040，即即 1 1 天乙地长草量为为天乙地长草量为为 4085 5； 乙第的原有草量为乙第的原有草量为： 120120512126060； 则甲乙两地则甲乙两地 1
28、1 天的新生草为天的新生草为： 5 54 42020， 原有草量为原有草量为： 60604 4240240； 1010 天甲乙两地共提供青草为：天甲乙两地共提供青草为：24024020201010440440，需要：，需要：440440104444（头）牛。（头）牛。 【例【例 7 7】 （实验中学阶段测试（实验中学阶段测试）有三块草地有三块草地，面积分别为面积分别为 5 5 公顷公顷、1515 公顷和公顷和 2424 公顷公顷. .草地上的草一样厚草地上的草一样厚， 而且长得一样快而且长得一样快. .第一块草地可供第一块草地可供 1010 头牛吃头牛吃 3030 天，第二块草地可供天，第二块
29、草地可供 2828 头牛头牛吃吃 4545 天天. .问问：第三块草地可：第三块草地可 供多少头牛吃供多少头牛吃 8080 天天? ? 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十三讲教师版Page 5 of 9 分析分析： （方法一）（方法一）设设 1 头牛头牛 1 天吃天吃草量为草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 10 头牛头牛 30 天吃掉天吃掉 10103030300300 份，说明份，说明： 1 公顷公顷牧场牧场 30 天提供天提供 3003
30、005 56060 份草份草：1 1 公顷原有草量公顷原有草量3030 天天 1 1 公顷新生草量公顷新生草量 28 头牛头牛 45 天吃掉天吃掉 2828454512601260 份，说明份，说明 1 公顷公顷牧场牧场 45 天提供天提供 1260126015158484 份草份草：1 1 公顷原有草量公顷原有草量4545 天天 1 1 公顷新生草量公顷新生草量 每每公顷公顷牧场牧场 454530301515 天多提供天多提供 848460602424 份草份草， 说明说明 1 公顷公顷牧场牧场 1 天的草生长量为天的草生长量为 242415151.61.6 份份， 1 1 公顷原有草量公顷
31、原有草量60601.61.630301212。 1 1 天天 2424 公顷新生草公顷新生草1.61.6242438.438.4； 2424 公顷原有草公顷原有草12122424288288 那么那么 8080 天天 2424 公顷可提供草公顷可提供草： 28828838.438.4808033603360；所以共需要牛的头数是所以共需要牛的头数是：3360336080804242（头头）牛牛。 （方法二）除了按照最小公倍数统计外也可以统计为单位量（方法二）除了按照最小公倍数统计外也可以统计为单位量“1” 原条件：原条件：5 公顷公顷10 头牛头牛30 天天 15 公顷公顷28 头牛头牛45
32、天天 可转化为：相当于把可转化为：相当于把 5 公顷草地分割成公顷草地分割成 5 块每块一公顷有块每块一公顷有 2 头牛来吃，所以吃的时间不变头牛来吃，所以吃的时间不变 相当于把相当于把 15 公顷草地分割成公顷草地分割成 15 块每块一公顷有块每块一公顷有 28 15 头牛来吃，所以吃的时间不变头牛来吃，所以吃的时间不变 1 公顷公顷2 头牛头牛30 天天2 230306060：1 1 公顷原有草量公顷原有草量3030 天天 1 1 公顷新生草量公顷新生草量 1 公顷公顷 28 15 头牛头牛45 天天 28 15 45458484：1 1 公顷原有草量公顷原有草量4545 天天 1 1 公
33、顷新生草量公顷新生草量 从上易得：从上易得：1 1 天天 1 1 公顷新生草量公顷新生草量（84846060）（45453030）1.61.6；1 1 公顷原有草量公顷原有草量606030301.61.61212； 那么那么 8080 天天 2424 公顷可提供草公顷可提供草： 121224241.61.62424808033603360； 所以共需要牛的头数所以共需要牛的头数： 3360336080804242 （头头） 。 （方法三）现在是（方法三）现在是 3 3 块面积不同的草地，解决这个问题，只需将块面积不同的草地，解决这个问题，只需将 3 3 块草地的面积统一起来就可以了！块草地的面
34、积统一起来就可以了！ 55，1515，24=12024=120 ，设头牛天的吃草量为，设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析， 原条件：原条件：5 5 公顷公顷1010 头牛头牛3030 天天 1515 公顷公顷2828 头牛头牛4545 天天 可转化为可转化为：120120 公顷公顷240240 头牛头牛3030 天天240240303072007200 ：120120 公顷原有草量公顷原有草量3030 天天 120120 公顷新生草量公顷新生草量 120120 公顷公顷224224 头牛头牛4545 天天2242244545
35、1008010080：120120 公顷原有草量公顷原有草量4545 天天 120120 公顷新生草量公顷新生草量 从上易得：从上易得：1 1 天天 120120 公顷新生草量公顷新生草量192192；120120 公顷原有草量公顷原有草量72007200303019219214401440； 则则 1 1 天天 2424 公顷新生草量公顷新生草量1921925 538.438.4，2424 公顷原有草量公顷原有草量144014405 5288288； 那么那么 8080 天天 2424 公顷可提供草公顷可提供草： 28828838.438.4808033603360；所以共需要牛的头数是所以
36、共需要牛的头数是：3360336080804242（头头）牛牛。 【例【例 8 8】 （三帆中学（三帆中学）一个农夫有面积为一个农夫有面积为 2 2 公顷公顷、4 4 公顷和公顷和 6 6 公顷的三块牧场公顷的三块牧场. .三块牧场上的草长得一样三块牧场上的草长得一样 密密，而且长得一样快而且长得一样快. .农夫将农夫将 8 8 头牛赶到头牛赶到 2 2 公顷的牧场公顷的牧场，牛牛 5 5 天吃完了草天吃完了草；如果农夫将如果农夫将 8 8 头牛赶到头牛赶到 4 4 公顷公顷 的牧场的牧场, ,牛牛 1515 天可天可吃完草吃完草问：若农夫将这问：若农夫将这 8 8 头牛赶到头牛赶到 6 6
37、公顷的牧场，这块牧场够这些牛吃几天公顷的牧场，这块牧场够这些牛吃几天? ? 分析分析： （方法一）（方法一）设设 1 头牛头牛 1 天吃天吃草量为草量为“” ，可以将不同的公顷数统计为单位量可以将不同的公顷数统计为单位量“1”公顷来解决。公顷来解决。 原条件：原条件：2 公顷公顷8 头牛头牛5 天天 4 公顷公顷8 头牛头牛15 天天 可转化为：相当于把可转化为：相当于把 2 公顷草地分割成公顷草地分割成 2 块每块一公顷有块每块一公顷有 4 头牛来吃，所以吃的时间不变头牛来吃，所以吃的时间不变 相当于把相当于把 4 公顷草地分割成公顷草地分割成 4 块每块一公顷有块每块一公顷有 2 头牛来吃
38、，所以吃的时间不变头牛来吃，所以吃的时间不变 1 公顷公顷4 头牛头牛5 天天4 45 52020：1 1 公顷原有草量公顷原有草量5 5 天天 1 1 公顷新生草量公顷新生草量 1 公顷公顷2 头牛头牛15 天天215153030：1 1 公顷原有草量公顷原有草量1515 天天 1 1 公顷新生草量公顷新生草量 从上易得：从上易得：1 1 天天 1 1 公顷新生草量公顷新生草量（30302020）（15155 5）1 1；1 1 公顷原有草量公顷原有草量20201 15 51515； 1 1 天天 6 6 公顷新生草量公顷新生草量1 16 66 6；6 6 公顷原有草量公顷原有草量15156
39、 69090 8 8 头牛里，若有头牛里，若有 6 6 头牛去吃每天生长的草，剩下头牛去吃每天生长的草，剩下 2 2 头牛需要头牛需要 90902=452=45（天）可将原有草（天）可将原有草 吃完，即吃完，即它可供它可供 8 8 头头牛吃牛吃 4545 天。天。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十三讲教师版Page 6 of 9 （方法二）（方法二）设设 1 头牛头牛 1 天吃天吃草量为草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 8 头牛头牛 5
40、天吃掉天吃掉 8 85 54040 份，说明份，说明： 1 公顷公顷牧场牧场 5 天提供天提供 40402 22020 份草份草：1 1 公顷原有草量公顷原有草量5 5 天天 1 1 公顷新生草量公顷新生草量 8 头牛头牛 15 天吃掉天吃掉 8 81515120120 份，说明份，说明 1 公顷公顷牧场牧场 15 天提供天提供 1201204 43030 份草份草：1 1 公顷原有草量公顷原有草量1515 天天 1 1 公顷新生草量公顷新生草量 每每公顷公顷牧牧场场 15155 51 10 0 天多提天多提供供 303020201 10 0 份牧草份牧草， 说说明明 1 公顷公顷牧牧场场 1
41、 天的牧草生长量天的牧草生长量为为 101010101 1 份份， 1 1 公顷原有草量公顷原有草量20201 15 51515。1 1 天天 6 6 公顷新生草量公顷新生草量1 16 66 6；6 6 公顷原有草量公顷原有草量15156 69090 8 8 头牛里，若有头牛里，若有 6 6 头牛去吃每天生长的草，剩下头牛去吃每天生长的草，剩下 2 2 头牛需要头牛需要 90902=452=45（天）可将原有草吃完，即（天）可将原有草吃完，即它可它可供供 8 8 头头牛吃牛吃 4545 天。天。 （方法三）现在是（方法三）现在是 3 3 块面积不同的草地，解决这个问题，只需将块面积不同的草地，
42、解决这个问题，只需将 3 3 块草地的面积统一起来就可以了！块草地的面积统一起来就可以了！ 设设 1 头牛头牛 1 天吃天吃草量为草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 公顷公顷头牛头牛天天此条件可转化为此条件可转化为 公顷公顷头牛头牛天天公顷原有草量公顷原有草量天公顷新长草量天公顷新长草量 公顷公顷头牛头牛天天公顷原有草量天公顷新长草量公顷原有草量天公顷新长草量 由上可得：天公顷新长草量，那么天公顷新长草量；由上可得：天公顷新长草量，那么天公顷新长草量； 公顷原有草量公顷原有草量，那么公顷原有草量，那么公顷原有草量； 那么公顷牧场原有草量为
43、那么公顷牧场原有草量为：，每天新长草量每天新长草量：，那么这那么这 8 8 头牛赶到头牛赶到 6 6 公顷的牧场公顷的牧场， 这块牧场够这些牛吃：这块牧场够这些牛吃：（）（天（）（天） 。 【例【例 9 9】 （实验中学（实验中学）有三块草地有三块草地，面积分别是面积分别是 4 4 公顷公顷、8 8 公顷和公顷和 1010 公顷公顷草地上的草一样厚草地上的草一样厚而且长得而且长得 一样快第一块草地可供一样快第一块草地可供 2424 头牛吃头牛吃 6 6 周，第二块草地可供周，第二块草地可供 3636 头牛头牛吃吃 1212 周问：第三块草地可供周问：第三块草地可供 5050 头头 牛吃几周牛吃
44、几周? ? 分析：分析：设设 1 头牛头牛 1 周周吃吃草量为草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 24 头牛头牛 6 周周吃掉吃掉 24246 6144144 份，说明份，说明： 1 公亩牧场公亩牧场 6 周周提供提供 1441444 43636 份草份草：1 1 公顷原有草量公顷原有草量 6 6 周周 1 1 公顷新生草量公顷新生草量 36 头牛头牛 12 周周吃掉吃掉 36361212432432 份，说明份，说明 1 公亩牧场公亩牧场 12 周周提供提供 4324328 85454 份草份草：1 1 公顷原有草量公顷原有草量1212
45、 周周 1 1 公顷新生草量公顷新生草量 每公亩牧场每公亩牧场 12126 66 6 周周多提供多提供 545436361818 份草，说明份草，说明 1 公亩牧场公亩牧场 1 周周的草生长量为的草生长量为 18186 63 3 份，份， 1 1 公顷原有草量公顷原有草量36363 36 61818。1 1 天天 1010 公顷新生草公顷新生草3 310103030；1010 公顷原有草公顷原有草18181010180180； 5050 头牛中头牛中， 若有若有 3030 头牛去吃每天生长的草头牛去吃每天生长的草， 那么剩下的那么剩下的 2020 头牛需要头牛需要 18018020=920=9
46、 周可以把原有草量吃完周可以把原有草量吃完， 即即这块草地可供这块草地可供 5050 头牛头牛吃吃 9 9 周。周。 【例【例 1010】（三帆中学（三帆中学）120120 头牛头牛 2828 天吃完天吃完 1 1O O 公顷牧场上的全部牧公顷牧场上的全部牧草草，210210 头牛头牛 6363 天天吃完吃完 3030 公顷牧公顷牧 场场上上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛牛 126126 天可以吃完天可以吃完 7272 公顷牧场上的全部牧草公顷牧场上的全部
47、牧草？ 分析：分析：设设 1 头牛头牛 1 天吃天吃 1 份牧草。份牧草。 120 头牛头牛 28 天吃掉天吃掉 120283360 份，说明每公份，说明每公顷顷牧场牧场 28 天提供天提供 336010336 份牧草；份牧草； 210 头牛头牛 63 天吃掉天吃掉 2106313230 份，说明每公份，说明每公顷顷牧场牧场 63 天提供天提供 1323030441 份牧草份牧草； 每公每公顷顷牧场牧场 632835 天多提供天多提供 441336105 份牧草份牧草，说明每公说明每公顷顷牧场每天的牧草生长量为牧场每天的牧草生长量为 10535 3 份，原有草量为份，原有草量为 3362832
48、52 份。份。 如果是如果是 72 公公顷顷的牧场，原有草量为的牧场，原有草量为 2527218144 份，每天新长出份，每天新长出 372216 份份， 126 天共计提供牧草天共计提供牧草 1814412621645360 份份， 可供可供 45360126360 头牛吃头牛吃 126 天天。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十三讲教师版Page 7 of 9 【附加选讲】如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同 样速度均匀生长牧民带着一群牛先在号草地上吃
49、草，两天之后把号草地的草吃光(在这 2 天内其 他草地的草正常生长)之后他让一半牛在号草地吃草，一半牛在号草地吃草，6 天后 又将两个草地的草吃光 然后牧民把 1 3 的牛放在阴影部分的草地中吃草， 另外号的牛放在 号草地吃草， 结果发现它们同时把草场上的草吃完 那么如果一开始就让这群牛在整块 草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？ 分析： 一群牛，2 天，吃了 1 块+1 块 2 天新长的；一群牛，6 天，吃了 2 块+2 块 2+6=8 天新长的；即 3 天，吃了 1 块+1 块 8 天新长的.即 1 6 群牛，1 天，吃了 1 块 1 天新长的. 又因为， 1 3 的牛放在阴影部分的草地中
50、吃草，另外 2 3 的牛放在号草地吃草，它们同时吃完.所以， =2阴影部分面积.于是，整个为 19 4 22 块地.那么需要 193 624 群牛吃新长的草，于是 19 12 62 （）=现在 3 1 4 （）.所以需要吃： 193 12130 624 （）（）=天. 所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃 30 天. 专题展望专题展望 牛吃草问题实际上是在展示给大家一种解题思想，这种思想会在以后学习工程问题和行程问题中用牛吃草问题实际上是在展示给大家一种解题思想，这种思想会在以后学习工程问题和行程问题中用 到，所以希望大家好好的总结这两节课的内容，为以后的学习打下好的基础。到，所以希望大家
