1、函数压轴大题之隐零点问题 有一种零点客观存在，但不可解，然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系实现消元、换元 以及降次达到解题的目的.这类问题就是隐零点问题. 类型一根据隐零点化简求范围 典例 1. 已知函数f (x)axxln x的图像在点xe(其中e为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. （1）求实数a的值； （2）若kZ，且k f (x) x1 对任意x1恒成立，求k的最大值； 1 【解析】 （1）f xa1ln x，由f (e)3解得a1； f (x)xxln x （2）f (x)xxln x，k g(x)， x1x1 g(x) x2ln x (x1) 2 ， 1 令h(x)x2
2、ln x，有h(x)10，那么h(x)h(1)1.高中资料分享 QQ 群：608396916 x 不妨设h(x )0，由h(3)0，h(4) 0，则可知 0 x0(3,4)，且ln xx 2. 00 因此，当hx0时，g x0， xx；当hx0时，g x0， 0 x x； 0 x (ln x1)x (x1) 即可知0000 g(x)g(x ) x minx1x1 00 11 00 ， 所以kx，得到满足条件的k的最大正整数为 3. 0 类型二根据隐零点分区间讨论 典例 2 已知函数f (x)x22tln x (t0)，t为何值时，方程f (x)2tx有唯一解. 【解析】x22tln x2tx2
3、t(xln x)x2，当xln x0时，有tR； 设u(x)xln x， 111 u(x)10；又u(1)10，u( ) 10，不妨 xee 设x0ln x00， 则 可 知 x 0 1 ( ,1).当xln x0时 ， 得 到 e x 2 2t g(x)； xln x g (x) xx2xln xx(x1 2ln x) 2 (xln x)(xln x) 22 ， 令g(x)x12ln x，易知g(1)0， 且x1时，g(x)0；x1时，g(x)0； 综上可知g(x)在区间(0,x ),(x ,1)上为减函数，在区间(1,)上为增函数； 00 画图函数图像：因此，可知所求t的范围为(,0)1.
4、高中资料分享 QQ 群：608396916 2 类型三根据隐零点构造新函数 典例 3已知函数fxexxax2，当x0时，fx0，求实数 a 的取值范围 1 【解析】 f xex12ax，首先，当a0时，在0,)上f x0恒成立，则有fxf0 0 其次，当a0时，令gxe，hx2ax1，由题 1 可知，当0 2a1，即 x 0 1 时，gx hx此 a 2 时f x0,同样有fx 0再者，当 1 a时，函数ygx与yhx相交于点0,1和x y同时， 0,0 2 当xx时，f x0；当 ，将 0,fxfxe1xax xx时，f x0. 即可知x 0,0 2 00 00 min e12ax代入得到：
5、高中资料分享 QQ 群：608396916 x 0 0 xe1xe1 xx 0 fxexxx00，令 x0，则 1F xe1xxF x 0 000 22 ex x 11 2 ee1 xx 又由变式 2 可知1，即Fx在区间0,上递减，因 此 有 x ，那么 xeF x0 2 1 fx0f00，与fx0矛盾，故 a不合题意 2 1 综上可知，满足题意的实数 a 的取值范围为(, 2 3 强化训练 1已知函数() = e (ln + )，() =+ 1 .（, 且为常数，为自然对数的底） （1）讨论函数()的极值点个数； （2）当 = 1 时，() ()对任意的 (0, + )恒成立，求实数 的取
6、值范围. 【解析】 （1）()的定义域为(0, + )，高中资料分享 QQ 群：608396916 () = ( + 1) 1 + 1 = +1 ，因为函数 = ()= + 0 在(0, + )上恒成立， 所以函数 = 在区间(0, + )上单调递增，且值域为(0, + )， 当 0 时， 0 在区间(0, + )上恒成立，即() 0，故()在(0, + )上单调递增， 所以无极值点； 当 0 时，方程 = 0 有唯一解，设为00 0 ， 当 0 0时，() 0时，() 0，函数()单调递增， 所以0是函数()的极小值点，即函数()只有 1 个极值点. （2）当 = 1 时，不等式() ()对
7、任意的 (0, + )恒成立， 即 ln 1 ( + 1)对任意的 (0, + )恒成立，即 ln+1 + 1 对任意的 (0, + )恒成立， 记() = ln+1，() = +ln 2= 2+ln 2 ，记() =2+ ln，因为() = 2 +2+ 1 0 在 11 11 )2 2 1 0， 所 (0, + )恒成立，所以()在(0, + )上单调递增，且( ) = ( 1 = 以存在0 1 ,1 使得0= 0，且 0,0时，() 0，() 0，() 0，函数()单调递增；. 所以()min= 0，即()min=0 ln0+1 0 ，又因为0= 0 0 20= ln0， 00= ln0
8、0 ， 00= ln 1 0 1 ln 1 0，所以0= ln，因此()min =0 0 ln0+1 0 = 00ln01 0 =1+ 01 0 = 1， 所以 1 + 1，解得 0.综上，实数 的取值范围是( ,0. 4 2已知() = 1 2 (ln)2 ln 1 ( ). （1）若()是(0, + )上的增函数，求的取值范围； （2）若函数()有两个极值点，判断函数()零点的个数. 【解析】（1）由() = 1 (ln)2 ln 1 得() =ln ， 2 由题意知() 0 恒成立，即 ln 0，设() = ln ，() = 1 1 ， (0,1)时() 0，()递增； 故()min=
9、(1) = 1 0，即 1，故的取值范围是( ,1.高中资料分享 QQ 群：608396916 （2）当 1 时，()单调，无极值；当 1 时，(1) = 1 0，且()在(0,1)递减，所以()在区间,1 有一个零点. 另一方面，= 2，设() = 2 ( 1)，则() = 2 0，从而() 在(1, + )递增，则() (1) = 2 0，即 0，又()在(1, + )递增，所以 ()在区间 1, 有一个零点.因此，当 1 时()在,1 和 1, 各有一个零点，将这两个零点记为1， 2 1 1 0，即() 0；当 1,2时() 0，即 () 0，即() 0：从而()在 0,1递增，在1,2
10、 递减，在2, + 递增；于是1是函数的极大值点，2是函数的极小值点. 下面证明：1 0，2 0 高中资料分享 QQ 群：608396916 由1= 0 得1 ln1 = 0，即 =1 ln1，由1=1 1 2 ln1 2 ln1 1 得1=1 1 2 ln1 2 1 ln1ln1 1 =1+ 1 2 ln1 2 1ln1 1， 令 () = + 1(ln)2 ln 1，则() = (1)ln ， ， 2 当 (0,1)时 () (1) = 0，而 1 0； 当 (1, + )时 () 0， ()递减，则 () 1，故2 0； 一方面，因为2=2 1 0，且()在 0,1递增，所以()在 2,
11、1上有一个零点，即()在 0,1上有一个零点. 另一方面，根据 1 + ( 0)得 1 + ，则有： 4=4 122 1 (1 + )4 122 1 = 4+ 4 3 4 2 + 7 4 0， 又2 1|时，()0 恒成立，求的所有取值集合与的关系； （）记() = () () 2 ，是否存在 +，使得对任意的实数 ( , + )，函数()在(1, + )上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数 ，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意，可得() = () () = ln ln + ， 则() = ln 1 ，所以(1) = 1，(1) = 0 所以()在(1,(1)处的切线
12、方程为 = + 1 由() 0，即 ln + ln = () 则 () =1 ln， (1, + )，高中资料分享 QQ 群：608396916 因为 () =1 ln 在(1, + )上单调递减，所以 () 1， 0 1，所以的所有取值集合包含于集合. （）令() = ln ln() 2 = ， (1, + ) 2 （1）() = ln+ 1 1 + 2 0， (1, + )，由于 ( , + )， 1， (1) = 0， (1, + )，(1) = 1 3 2 0，所以()单调递增. (2) = ln2 4 5 = 132 ln4 0，0 (2,2 + 1)， 此时 = 0 2 1 0+
13、2 =0+ 1 2 + 1 1 2 40+ 1 8 5 ,2 ，所以满足条件的最小正整数 = 2. 6 4已知函数= ,= 125 1（为自然对数的底数） 22 （1）记= ln+，求函数在区间 1,3 上的最大值与最小值； （2）若 ，且+ 0 对任意 恒成立，求的最大值 【解析】 （1）= ln+= ln+ 1 25 22 1，= 21 2 2 ， 令= 0，则1= 1 2 ,2= 2， 高中资料分享 QQ 群：608396916 所以函数在区间 1,2 上单调递减，在区间 2,3 单调递增， min= 2 = 4 + ln2， max= max1 , 3= 4 + ln3 （2）+ 0
14、对任意 恒成立， + 1 25 22 1 0 对任意 恒成立， + 125 1 对任意 恒成立令= + 1 222 25 2 1，则= + 5 2 由于= + 1 0，所以在上单调递增 又0 = 3 2 0, 1 2 1 = 2 2 0， 3 2 2 0，3 4 3 =4 7 4 = 0， 所以存在唯一的0 1 2 , 3 4 ，使得0= 0，且当 ,0时， 0 即在 ,0单调递减，在0, + 上单调递增 min= 0=0+ 1 2 0 2 5 2 0 1 又0= 0，即0+0 5 2 = 0，0= 5 2 0 0= 5 2 0 + 1 2 0 2 5 2 0 1 = 1 2 2 0 70 +
15、 3 0 1 3 , 2 4 ， 0 27 32, 1 8 又 + 125 1 对任意 恒成立， 0，又 ，max= 1 22 7 5己知函数() = ln 2( ). （1）讨论函数()的单调性； （2）若函数()有两个零点1，2，求的取值范围，并证明1+2 2 2. 【解析】 （1）解：因为() = ln ，函数的定义域为 0, + ，所以() = 1 2 + 2 3= 2+2 3, 0 当 0 时， 0，所以函数()在 0, + 上单调递增 高中资料分享 QQ 群：608396916 当 0 时，由() = 0，得 =2（负根舍去），当 0,2 时， 0，所以函数()在 0,2 上单调递
16、减；在2, + 上单调递增 综上所述，当 0 时，函数()在(0, + )上单调递增；当 0 时，函数()在 0,2 上单调递减， 在2, + 上单调递增 （2）先求的取值范围： 方法 1:由（1）知，当 0 时，()在 0, + 上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件 当 0 时，函数()在 0,2 上单调递减，在2, + 上单调递增，所以()min=2 = ln 2 + 1 2 ，要使函数()有两个零点， 首先()min= ln 2 + 1 2 0，解得 1 2 0 因为2 2 0，下 面证明 2 = ln 2 1 4 0 设 = ln 2 1 ，则= 1 4 + 1 42 = 4+1
17、42 因 为 1， 所 以 = 1 2 + 1 42 = 4+1 42 2 +1 42 0 所以在 1 ,0 上单调递增，所以 2 = 2 1 2 1 = ln + 2 0所以的 取值范围是 1 ,0 2 方法 2:由() = ln 2= 0，得到 = 2ln 设 = 2ln，则 = 2ln+ 1 11 当 0 2时，2时， 0， 111 所以函数在 0,2上单调递减，在2,+ 上单调递增所以由 min= 2= 1 2 因为 0+时， 0，且 1 = 0，要使函数()有两个零点，必有 1 2 2 2： 2 方法 1:因为1，2是函数()的两个零点，不妨设1 1 8 1 = 0, 12 所以即
18、ln2 ln1= 2 = 0, 22 2 所 以 ln = 2 1 21 2，即 12= 2 1 要证1+2 2 2 ，即证1+2 2 8 即证 1 2 1 + 2 8 ，即证 ln 1 2 1 1 + 2 8 因为 1 2 0， 所以 即证 1 2 1 1 + 2 8ln，或证 8ln +1 2 1 1 + 2 1 设() = 8ln + 1 2 1 1 + 2， 1 即() = 8ln 2 2 + 2 + 1 ， 1 2 所以() = 8 2 2 2 2 2 3= 2 21 2 2 1 2 3 0所 以() 在 1, + 上单 调递 减， 所以() = 8ln + 1 2 1 1 + 2
19、1 所以 1+2 2 2 方法 2:因为1，2是函数 ( )有两个零点，不妨设1 1 1 = 0, 12 22 所以即 ln2 ln1= 2 = 0, 2所以 ln = 2 1 21 2，即 12= 2 1 ln 1 2 1 ， 1 2 1 要证1+2 2 2 ，需证12 2 即证1 2 2 ，即证 ln 1 2 1 2 因为 1 2 2ln 1 设() = 2ln + 1 ， 则() = 2 1 1 2= 1 2 2 1所以()在 1, + 上单调递减，所以() = 2ln + 1 2 2 方法 3:因为1，2是函数 ( )有两个零点，不妨设1 1 1 = 0, 12 所以即 ln1+ ln
20、2 = 2 = 0. 22 1 2+ 要证1+2 2 2 ，需证122 2 只需证 ln1+ ln2 ln 2 即证1 2+ 2 ln 2 ，即证1 2+1 2 ln 2 即证1 + 1 2 1 1 2 ln 2 因为 2 1 1 0，所以 2 1 1 2 所以1 + 1 2 1 1 21 + 1 2 1 2 = 1 2 1 + 1 2 1 2 1 + 1 = 1而 ln 2 ln 2 成立所以 1+2 2 2 方法 4:因为1，2是函数 ( )有两个零点，不妨设1 1 由已知得 1 2 1 2 = 0, 2 = 0, 即 ln 2 ln 1 = 2 ln 2ln 1 21 先证明 2 1 1
21、 1 2 ， 即 证 明 ln 1 1 ln，则= 1 2 2 设= 0所以在 1, + 上单调递增，所以 1 = 0，所证不等 9 ln2ln1 21 式成立 所以有 = 1+2 2 1 2 1 即1+212 3因为 12 12 1+2 2 （12） ， 所以1+2 8所以 1+2 2 2 方法 5:要证1+2 2 2，其中10,2 ，22, + ， 即证2 2 2 1 利用函数的单调性，只需证明2 2 2 1 因为2= 1，所以只要证明1 2 2 1，其中10,2 构造函数= 2 2 ， 0,2 ， 则= ln 2 ln 2 2 + 2 2 2 因为= 1+2 3 + 1 2 2 + 2
22、2 2 3 = 2 2 2 2 + 2 4 22 2 2 2 +2 3（利用均 值不等式） 3 2 2 2 2 2 2 + 4 2 2 2 2 2 = 2 2 2 2 2 2 2 22 = ln 2 + 1 2 ln 2 1 2 = 0所以 2 2 在 0,2 上恒成立 所以要证的不等式1+2 2 2 成立 6已知函数() = 1 ln（无理数= 2.718.） （1）若在 1, + 单调递增，求实数的取值范围； （2）当 = 0 时，设函数= e 2 ，证明：当 0 时， 1 ln2 2 ln2 2 2 （参考数据 ln2 0.69） 【解析】（1）函数 f（x）的定义域为（0，）在 1,
23、+ 单调递增， = 1 + 1 = +2 1 0 在（1，）恒成立，设 h（x）（xx 2）ex1， 由题意 h（x）0 在（1，）恒成立，h（x）e x1（x23x1），当 x（1，）时，x23x1 0，故 h（x）0，h（x）在（1，）单调递增，所以 h（x）h（1）2，故 20， 2，综上（，2 （2）当0 时，f（x）xe x1，g（x）exx2x，g（x）ex2x1， 设 m（x）e x2x1，则 m（x）ex2，令 m（x）0，解得 xln2， 当 x（0，ln2）时，m（x）0，m（x）单调递减， 当 x（ln2，）时，m（x）0，m（x）单调递增 10 因此 m（x）m（ln2
24、）e ln22ln2112ln20，即 g（ln2）12ln20， 又 g（0）0， 1 + 1 2 1 ln2 =1+2ln2 2 1 + 1 2 ln2 1 =2 3 ln2 0， 故存在 x 0（ln2，1 + 1 2 ln2），使 g（x0）0，即0 20 1 = 0，0= 20+ 1 当 x（0，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减， x（x0，）时，g（x）0，g（x）单调递增，高中资料分享 QQ 群：608396916 0=00 2 0= 20+ 1 0 2 0=0 2+ 0+ 1 =0 1 2 2 + 5 4 ， 由于 x0（ln2，1 + 1 2 ln2），函数=0 1 2
25、 + 5 4 单调递减， 故0 1 2 2 + 5 4 1 + 1 2 ln2 1 2 2+5 4= 1 ln2 2 ln2 2 2 所以，当 x0 时， 1 ln2 2 ln2 2 2 7已知函数= + 2 + ln 0 （1）若 = 1，求函数 的极值和单调区间； （2）若=+ 222 ，在区间 0, 上是否存在0，使0 0，若存在求出实数的取值范围；若不 存在，请说明理由. 【答案】(1) 函数= + 2 + ln 的单调递减区间为 0,1 ，单调递增区间为 1, + 极小值为 3，无极大 值(2)见解析 【解析】 （1）当 = 1 时，= + 2 + ln =+21 2 ，且 0, +
26、 0,1 时， 0 = + 2 + ln 有极小值 1 = 3 故函数= + 2 + ln 的单调递减区间为 0,1 ，单调递增区间为 1, + 极小值为 3，无极大值. （2）=+ 222 = + 22 + ln 0 =+2 2 0 0, 时， 0 = 为函数的唯一极小值点 11 又 0, ，当 0 时 min= + 2 + ln = 3 + ln 在区间 0, 上若存在0，使0 0，则 min= 3 + ln 0 ， 解得 0 时，= + 22 + ln 0 在0 0, 为单调减函数， min= + 22 + 0，不存在0 0, ，使0 0 综上所述，在区间 0, 上存在0，使0 0，此时
27、 0 1 3 8已知函数=2 ln (1)若=1 时，求函数的最小值； (2)若函数有两个零点，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1）0 （2）0a 0 ，当 0 1 时， 1 时， 0,为增， ()在 = 1 处取最小值 0. （2）由=2 ln，得() = 2a 1 1 = 221 ( 0)， 当 0 时，() = 221 0 . 令= 22 1, ， = 1 + 8 0，显然有一正根和一负根， 在 0，+ 上只有一个零点， 设这个零点为0，当 0,0时， 0, 0, 0； 函数在 0,0上单调递减，在 x0，+ 上单调递增， 要使函数在 0，+ 上有两个零点，只需要函数的极小值0 0
28、， 即020 ln0 0. 0= 2020 1 = 0, 020 ln0= 1 2 2ln0+ 202 20= 1 2 2ln0+ 2020 1 0+ 1 1 2 = 1 0 2ln0 0. = 2ln + 1 在 0，+ 上是增函数，且 h 1 = 0 ， 0 1.0 1 0 1,由 2020 1 = 0， 得 2 = 0+1 02 = 1 0 2+1 0 = 1 0 +1 2 21 4 02a2,即 0a 0)， () = 1 1 = 1 . 当 (0,1)时，() 0，()单调递增. ()的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1, + ). 1 （2）由() = 1 ln( 0)可
29、知，() = ( 0)， 当 = 0 时，() = 1，显然()没有零点； 当 0 0，在0, + )单调递增， 又 h（0）a0，h（2）2ea0， h（x）在（0，2）上存在唯一一个零点，不妨设为 x0，则 x001=a， 当 x（0，x0）时，h（x）0，即 g（x）0，当 x（x0，+）时，h（x）0， 即 g（x）0， g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增， g（x）的最小值为 g（x0）=01alnx0， x001=a，0 1= ，两边取对数可得 x01lnalnx0，即 lnx0lna+1x0， 0 g（x0）= 0 a（lna+1x0）= 0 +ax0al
30、naa2aalnaaaalna，（当且仅当 x01 时取等号）， 令 m（a）aalna，则 m（a）lna， 当 a（0，1）时，m（a）0，当 a（1，e时，m（a）0， m（a）在（0，1）上单调递增，在（1，e上单调递减 13 当 0ae 时，m（a）0，当且仅当 ae 时取等号， 由 x001=a 可知当 a1 时，x01，故当 ae 时，x01，故 g（x0）m（a）0， g（x0）0 当 0ae 时，g（x）没有零点 10已知函数() = （其中是自然对数的底数， ， ）在点 1,(1) 处的切线方程是 2 = 0. （I）求函数的单调区间； （II）设函数() = ()2 ln
31、，若 1 在 (0, + )上恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（I）递减区间为 , 1 ，单调递增区间为 1, + ；（II）( ,2 【解析】 （I）由条件可知 (1) = (1) = 2 ，对函数() = 求导得() = (1 + )， 于是 (1) = = (1) = (1 + ) = 2 ，解得 = = 1. 所以() = ，() = ( + 1)，令() = 0 得 = 1， 于是当 ( , 1)时，() 0，函数()单调递增. 故函数()的单调递减区间为 , 1 ，单调递增区间为 1, + （II）由（I）知() =2 ln， 解法 1：要使() 1 在 0, + 上恒成立，
32、等价于 2 ln+1 在 0, + 上恒成立. 令() =2 ln+1 ( 0)，则只需 ()min即可. 22+ln () = 2 .令 () = 222+ ln( 0)， 2 则 () = 42+ 2+ 1 0，所以在 0, + 上单调递增， 又 1 4 = 8 1 4 2ln2 0，所以有唯一的零点0，且 0 0)，则 () = 1 +1 0， 所以函数在 0, + 上单调递增， 因 20=ln0，所以 20= ln0，即2 0= 1 ， 0 所以() 0=2 0 ln0+1 0 = 1 0 20+1 0 = 2，即()min= 2， 14 于是实数的取值范围是( ,2. 解法 2：要使() 1 在 0, + 上恒成立，等价于 2 ln+1 在 0, + 上恒成立. 先证明 ln+ 1，令() = ln 1( 0)，则() = 1 1 = 1 . 于是当 0,1 时，() 0， 单调递增，所以() (1) = 0，故 ln+ 1（当且仅当= 1 时取等号）. 所以当 0 时，有2 ln2+ 1 = ln+ 2+ 1， 所以2 ln + 2 + 1 ，即2 ln+1 2，当且仅当2= 1 时取等号， 于是实数的取值范围是( ,2. 15
