1、2020 年北京市高考数学试卷 一、选择题：共共 1010 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 4040 分分。在每小题列出的的四个选项中在每小题列出的的四个选项中，选出符合选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1已知集合 1A ，0，1，2， |03Bxx，则(AB ) A 1，0，1B0，1C 1，1，2D1，2 2在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则(i z ) A12iB2i C12iD2i 3在 5 (2)x 的展开式中， 2 x的系数为() A5B5C10D10 4某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为() A63B62 3C123
2、D122 3 5已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为() A4B5C6D7 6已知函数( )21 x f xx，则不等式( )0f x 的解集是() A( 1,1)B(，1)(1，) C(0,1)D(，0)(1，) 7 设抛物线的顶点为O， 焦点为F， 准线为lP是抛物线上异于O的一点， 过P作PQl 于Q，则线段FQ的垂直平分线() A经过点OB经过点PC平行于直线OPD垂直于直线OP 8 在等差数列 n a中， 1 9a ， 5 1a 记 12 (1 nn Ta aa n， 2，)， 则数列 ( n T) A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项 C无最大项
3、，有最小项D无最大项，无最小项 9已知，R，则“存在kZ使得( 1)kk ”是“sinsin”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 102020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日()Day历史上，求圆周率的方法有 多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分 大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形） 的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表 达式是() A 3030 3 (sintan)n nn B 3030 6 (sintan)
4、n nn C 6060 3 (sintan)n nn D 6060 6 (sintan)n nn 二、填空题：共共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分。分。 11函数f 1 ( ) 1 xlnx x 的定义域是 12已知双曲线 22 :1 63 xy C，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离 是 13已知正方形ABCD的边长为 2，点P满足 1 () 2 APABAC ，则|PD ； PB PD 14若函数( )sin()cosf xxx的最大值为 2，则常数的一个取值为 15为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的
5、 企业要限期整改设企业的污水排放量W与时间t的关系为( )Wf t，用 ( )( )f bf a ba 的大 小评价在a，b这段时间内企业污水治理能力的强弱已知整改期内，甲、乙两企业的污 水排放量与时间的关系如图所示 给出下列四个结论： 在 1 t， 2 t这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 2 t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 3 t时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标； 甲企业在0， 1 t， 1 t， 2 t， 2 t， 3 t这三段时间中，在0， 1 t的污水治理能力最强 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：共共 6 6 小题，共小题，共 8585 分。解答
6、应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点 （）求证： 1/ / BC平面 1 AD E； （）求直线 1 AA与平面 1 AD E所成角的正弦值 17 （13 分）在ABC中，11ab，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已 知，求： （）a的值； （）sinC和ABC的面积 条件：7c ， 1 cos 7 A ； 条件： 1 cos 8 A ， 9 cos 16 B 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 18 （14 分）某校为举办甲、乙两项不同活动，
7、分别设计了相应的活动方案；方案一、方 案二为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表： 男生女生 支持不支持支 持 不 支 持 方案一200 人400 人300 人 100 人 方案二350 人250 人150 人 250 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立 （）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率； （）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 0 p假设该校一年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支
8、持方案二的概率估计值记为 1 p试比较 0 p与 1 p的大 小 （结论不要求证明） 19 （15 分）已知函数 2 ( )12f xx （）求曲线( )yf x的斜率等于2的切线方程； （） 设曲线( )yf x在点(t，( )f t处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ( ) t， 求( )S t 的最小值 20 （15 分）已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 过点( 2, 1)A ，且2ab （）求椭圆C的方程； （） 过点( 4,0)B 的直线l交椭圆C于点M，N， 直线MA，NA分别交直线4x 于点P， Q求 | | PB BQ 的值 21 （15 分）已知 n a是无穷数
9、列给出两个性质： 对于 n a中任意两项 i a，() j a ij，在 n a中都存在一项 m a，使得 2 i m j a a a ； 对于 n a中任意一项(3) n a n，在 n a中都存在两项 k a，() l a kl，使得 2 k n l a a a （）若(1 n an n，2，)，判断数列 n a是否满足性质，说明理由； （）若 1 2(1 n n an ，2，)，判断数列 n a是否同时满足性质和性质，说明理由； （）若 n a是递增数列，且同时满足性质和性质，证明： n a为等比数列 2020 年北京市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：共共 1010 小题小
10、题，每小题每小题 4 4 分分，共共 4040 分分。在每小题列出的的四个选项中在每小题列出的的四个选项中，选出符合选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1已知集合 1A ，0，1，2， |03Bxx，则(AB ) A 1，0，1B0，1C 1，1，2D1，2 【思路分析】根据交集的定义写出AB 即可 【解析】 ：集合 1A ，0，1，2， |03Bxx，则1AB ，2，故选：D 【总结与归纳】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目 2在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则(i z ) A12iB2i C12iD2i 【思路分析】根据复数的几何意义先求出z的表达式，结合复数
11、的运算法则进行计算即可 【解析】 ：复数z对应的点的坐标是(1,2)，12zi ， 则(12 )2i ziii ， 故选：B 【总结与归纳】 本题主要考查复数的运算， 结合复数的几何意义求出复数的表达式是解决本 题的关键比较基础 3在 5 (2)x 的展开式中， 2 x的系数为() A5B5C10D10 【思路分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于 2，求出r的值，即可求得 2 x 的系数 【解析】 ： 5 (2)x 的展开式中，通项公式为 5 2 15 ( 2) r rr r TCx ， 令 5 2 2 r ，求得1r ，可得 2 x的系数为 1 5 ( 2)10C ，故选：C 【
12、总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性 质，属于基础题 4某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为() A63B62 3C123D122 3 【思路分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可 【解析】 ：几何体的直观图如图：是三棱柱，底面边长与侧棱长都是 2， 几何体的表面积为： 13 322222122 3 22 故选：D 【总结与归纳】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，是 基本知识的考查 5已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为() A4B5C6D
13、7 【思路分析】结合题意画出满足条件的图象，结合图象求出答案即可 【解析】 ：如图示： ， 半径为 1 的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1 为半径的圆， 故当圆心到原点的距离的最小时，连结OB，A在OB上且1AB ，此时距离最小， 由5OB ，得4OA ，即圆心到原点的距离的最小值是 4，故选：A 【总结与归纳】本题考查了圆的基础知识，考查数形结合思想，是一道常规题 6已知函数( )21 x f xx，则不等式( )0f x 的解集是() A( 1,1)B(，1)(1，) C(0,1)D(，0)(1，) 【思路分析】不等式即21 x x由于函数2xy 和直线1yx的
14、图象都经过点(0,1)、 (1,2)，数形结合可得结论 【解析】 ：法一： （通解） （图像法） ，由不等式( )0f x ，即21 x x 由于函数2xy 和直线1yx的图象都经过点(0,1)、(1,2)，如图所示： 不等式( )0f x 的解集是(，0)(1，)， 故选：D 法二： （特值法） （甘肃潘裕补解） ， 我们遵从小题巧做的原则， 令 x=2， 排除 AC， 再令 x=-1, 排除 B,故选 D 【总结与归纳】本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题 7 设抛物线的顶点为O， 焦点为F， 准线为lP是抛物线上异于O的一点， 过P作PQl 于Q，则线段FQ的垂直平
15、分线() A经过点OB经过点PC平行于直线OPD垂直于直线OP 【思路分析】本题属于选择题，不妨设抛物线的方程为 2 4yx，不妨设(1,2)P，可得可得 四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直可得答案 【解析】 ： （本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为 2 4yx，则(1,0)F，准线为l为1x ， 不妨设(1,2)P，( 1,2)Q，设准线为l与x轴交点为A，则( 1,0)A ， 可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直， 故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，故选：B 【总结与归纳】本题考查了抛物线的性质和垂直平分线的性质，考查了转化思想，属于中档 题 8 在
16、等差数列 n a中， 1 9a ， 5 1a 记 12 (1 nn Ta aa n， 2，)， 则数列 ( n T) A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项 【思路分析】由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列 n a是单调递增数列，且前 5 项为负值，自第 6 项开始为正值，进一步分析得答案 【解析】 ：设等差数列 n a的首项为d，由 1 9a ， 5 1a ，得 51 1( 9) 2 514 aa d ， 92(1)211 n ann 由2110 n an，得 11 2 n ，而*nN， 可知数列 n a是单调递增数列，且前 5 项为负值，自
17、第 6 项开始为正值 可知 1 90T ， 2 630T ， 3 3150T ， 4 9450T 为最大项， 自 5 T起均小于 0，且逐渐减小数列 n T有最大项，无最小项故选：B 【总结与归纳】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决 问题的能力，是中档题 9已知，R，则“存在kZ使得( 1)kk ”是“sinsin”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【思路分析】 根据充分条件和必要条件的定义， 分别讨论k为偶数和奇数时， 是否成立即可 【解析】 ：当2kn，为偶数时，2n，此时sinsin(2)sinn， 当21
18、kn，为奇数时，2n，此时sinsin()sin，即充分性成立， 当sinsin，则2n，nZ或2n，nZ，即( 1)kk ，即 必要性成立，则“存在kZ使得( 1)kk ”是“sinsin”的充要条件， 故选：C 【总结与归纳】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数值的性质，利用分 类讨论思想进行判断是解决本题的关键难度不大 102020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日()Day历史上，求圆周率的方法有 多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分 大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）
19、的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表 达式是() A 3030 3 (sintan)n nn B 3030 6 (sintan)n nn C 6060 3 (sintan)n nn D 6060 6 (sintan)n nn 【思路分析】设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结 合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值 【解析】 ：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b， 可得 36030 2sin2sin 12 a nn ， 36030 2tan2tan 12 b nn ， 则 663030 26 (s
20、intan) 2 nanb n nn ，即 3030 3 (sintan)n nn ，故选：A 【总结与归纳】本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运 算能力，属于基础题 二、填空题：共共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分。分。 11函数f 1 ( ) 1 xlnx x 的定义域是 |0 x x 【思路分析】根据函数成立的条件建立不等式组，解不等式即可 【解析】 ：要使函数有意义，则 10 0 x x ，得 1 0 x x ，即0 x ， 即函数的定义域为 |0 x x ，故答案为： |0 x x 【总结与归纳】 本题主要考查函数定
21、义域的求解， 根据函数成立的条件建立不等式是解决本 题的关键比较基础 12已知双曲线 22 :1 63 xy C，则C的右焦点的坐标为(3,0)；C的焦点到其渐近线的 距离是 【思路分析】根据双曲线的方程可得焦点，再根据点到直线的距离可得 【解析】 ：双曲线 22 :1 63 xy C，则 222 639cab，则3c ，则C的右焦点的坐标 为(3,0)，其渐近线方程为 3 6 yx ，即20 xy，则点(3,0)到渐近线的距离 3 3 12 d ，故答案为：(3,0)，3 【总结与归纳】 本题考查了双曲线的方程和其性质， 以及点到直线的距离公式， 属于基础题 13已知正方形ABCD的边长为
22、2，点P满足 1 () 2 APABAC ，则|PD 5； PB PD 【思路分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方 形的性质即可求出 【解析】 ：法一： （通解）,由 1 () 2 APABAC ，可得P为BC的中点， 则| 1CP ， 22 |215PD， 2 ()()1PB PDPB PCCDPC PCCDPCPC CD ， 故答案为：5，1 法二： （通解） （甘肃潘裕补解）采用坐标法去处理，则 A(0,0)，B(2，0) C(,2,2） ，D(0,2） ，由 1 () 2 APABAC 得 P（2,1） ，故|PD 5，则PB PD -1 【总结与
23、归纳】本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于基础题 14若函数( )sin()cosf xxx的最大值为 2，则常数的一个取值为 2 【思路分析】由两角和差公式，及辅助角公式化简得 22 ( )(1sin ) sin()f xcosx， 其 中 22 cos cos (1sin )cos ， 22 1sin sin (1sin )cos ， 结 合 题 意 可 得 22 (1sin )2cos，解得，即可得出答案 【解析】( )sin()cossin coscos sincosf xxxxxx 22 sin cos(1sin )cos(1sin ) sin()xxcosx ，其中
24、22 cos cos (1sin )cos ， 22 1sin sin (1sin )cos ， AB DC 所以( )f x最大值为 22 (1sin )2cos，所以 22 cos(1sin )4， 即22sin4，所以sin1，所以 2 k ，kZ，当0k 时， 2 故答案为： 2 【总结与归纳】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数最值，以及考查运算能力， 属于中档题 15为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的 企业要限期整改设企业的污水排放量W与时间t的关系为( )Wf t，用 ( )( )f bf a ba 的大 小评价在a，b这段时间内企业
25、污水治理能力的强弱已知整改期内，甲、乙两企业的污 水排放量与时间的关系如图所示 给出下列四个结论： 在 1 t， 2 t这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 2 t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 3 t时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标； 甲企业在0， 1 t， 1 t， 2 t， 2 t， 3 t这三段时间中，在0， 1 t的污水治理能力最强 其中所有正确结论的序号是 【思路分析】 由两个企业污水排放量W与时间t的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐 一分析四个命题得答案 【解析】 ：设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为( )Wf t，乙企业的污水排放量W与 时间
26、t的关系为( )Wg t 对于，在 1 t， 2 t这段时间内，甲企业的污水治理能力为 21 21 ( )( )f tf t tt ， 乙企业的污水治理能力为 21 21 ( )( )g tg t tt 由图可知， 1212 ( )( )( )( )f tf tg tg t， 2121 2121 ( )( )( )( )f tf tg tg t tttt ， 即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确； 对于，由图可知，( )f t在 2 t时刻的切线的斜率小于( )g t在 2 t时刻的切线的斜率，但两切线 斜率均为负值， 在 2 t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确； 对于，在 3
27、 t时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量， 在 3 t时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故正确； 对于，由图可知，甲企业在0， 1 t， 1 t， 2 t， 2 t， 3 t这三段时间中，在 1 t， 2 t的污水 治理能力最强，故错误 正确结论的序号是故答案为： 【总结与归纳】 本题考查利用数学解决实际生活问题， 考查学生的读图视图能力， 是中档题 三、解答题：共共 6 6 小题，共小题，共 8585 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点
28、 （）求证： 1/ / BC平面 1 AD E； （）求直线 1 AA与平面 1 AD E所成角的正弦值 【思路分析】 （）根据正方体的性质可证得 11 / /BCAD，再利用线面平行的判定定理即可 得证； （）以A为原点，AD、AB、 1 AA分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，设直线 1 AA 与平面 1 AD E所成角为，先求出平面 1 AD E的法向量m ，再利用sin|cosm ， 1 1 1 | | | | m AA AA mAA 以及空间向量数量积的坐标运算即可得解 【解析】 ： （）由正方体的性质可知， 11 / /ABC D中，且 11 ABC D， 四边形 11 ABC
29、D是平行四边形， 11 / /BCAD， 又 1 BC 平面 1 AD E， 1 AD 平面 1 AD E， 1/ / BC平面 1 AD E （）以A为原点，AD、AB、 1 AA分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为a，则(0A，0，0)， 1(0 A，0，)a， 1( D a，0，)a，(0E，a， 1 ) 2 a， 1 (0,0, )AAa ， 1 ( ,0, )ADaa ， 1 (0, ,) 2 AEaa ， 设平面 1 AD E的法向量为( , , )mx y z ，则 1 0 0 m AD m AE ，即 ()0 1 ()0 2 a xz a yz ，
30、 令2z ，则2x ，1y ，( 2m ，1，2)， 设直线 1 AA与平面 1 AD E所成角为，则sin|cosm ， 1 1 1 22 | | 33| | m AAa AA amAA ， 故直线 1 AA与平面 1 AD E所成角的正弦值为 2 3 【总结与归纳】 本题考查空间中线面的位置关系和线面夹角问题， 熟练掌握线面平行的判定 定理和利用空间向量求线面夹角是解题的关键， 考查学生的空间立体感和运算能力， 属于基 础题 17 （13 分）在ABC中，11ab，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已 知，求： （）a的值； （）sinC和ABC的面积 条件：7c ， 1 cos 7
31、A ； 条件： 1 cos 8 A ， 9 cos 16 B 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 【思路分析】选择条件（）由余弦定理求出()()492ab abb，再结合11ab， 即可求出a的值， （）由正弦定理可得sinC，再根据三角形的面积公式即可求出， 选择条件（）根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得 sin6 sin5 aA bB ，再结合 11ab，即可求出a的值， （）由两角和的正弦公式求出sinC，再根据三角形的面积公式即可求出 【 解 析 】： 选 择 条 件 （ ） 由 余 弦 定 理 得 222 2cosabcbcA， 即 22 1 4914()492 7
32、 abbb ， ()()492ab abb， 11ab， 1111492abb， 即11949ab， 联立 11 11949 ab ab ，解得8a ，3b ， 故8a （）在ABC中，sin0A ， 2 4 3 sin1 7 Acos A， 由正弦定理可得 sinsin ac AC ， 4 3 7 sin3 7 sin 82 cA C a ， 113 sin8 36 3 222 ABC SabC 选择条件（）在ABC中，sin0A ，sin0B ，()CAB， 1 cos 8 A ， 9 cos 16 B ， 2 3 7 sin1 8 Acos A， 2 5 7 sin1 16 Bcos B
33、， 由正弦定理可得 sinsin ab AB ， sin6 sin5 aA bB ， 11ab，6a，5b ，故6a ； （）在ABC中，()CAB， 3 795 717 sinsin()sincoscossin 8161684 CABABAB， 11715 7 sin65 2244 ABC SabC 【总结与归纳】本题考查了同角的三角函数的关系，两角和的正弦公式，正余弦定理，三角 形的面积公式等知识，考查了运算能力求解能力，转化月化归能力，属于中档题 18 （14 分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方 案二为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机
34、抽样，获得数据如表： 男生女生 支持不支持支 持 不 支 持 方案一200 人400 人300 人 100 人 方案二350 人250 人150 人 250 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立 （）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率； （）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 0 p假设该校一年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 1 p试比较 0 p与 1 p的大 小 （结论不要求证明） 【思路分
35、析】 （）根据古典概型的概率公式直接求解即可； （）结合（）及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可； （）直接写出结论即可 【解析】 ： （）设“该校男生支持方案一”为事件A， “该校女生支持方案一”为事件B， 则 20013003 ( ), ( ) 20040033001004 P AP B ； （）由（）知， 13 ( ), ( ) 34 P AP B， 设“这 3 人中恰有 2 人支持方案一”为事件C， 则 221 22 1311313 ( )( ) (1)(1) 3433436 P CCC ； （） 01 PP 【总结与归纳】 本题考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率求法， 考查
36、计算能力及推 理能力，属于基础题 19 （15 分）已知函数 2 ( )12f xx （）求曲线( )yf x的斜率等于2的切线方程； （） 设曲线( )yf x在点(t，( )f t处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ( ) t， 求( )S t 的最小值 【思路分析】 （）求得 2 ( )12f xx的导数，设切点为( , )m n，可得切线的斜率，解方程 可得m，n，进而得到切线的方程； （）求得切线的斜率和方程，分别令0 x ，0y ，求得切线的横截距和纵截距，可得三 角形的面积，考虑0t 的情况，求得导数和单调区间、极值，然后求出( )S t的最小值 【解析】 ： （） 2 (
37、)12f xx的导数( )2fxx ， 令切点为( , )m n，可得切线的斜率为22m ， 1m，12111n ，切线的方程为213yx ； （）曲线( )yf x在点(t，( )f t处的切线的斜率为2kt ， 切线方程为 2 (12)2 ()ytt xt ， 令0 x ，可得 2 12yt，令0y ，可得 16 2 xt t ， S 2 116 ( )| (12) 22 ttt t ， 由()( )StS t，可知( )S t为偶函数， 不妨设0t ，则 2 112 ( )()(12) 4 S ttt t ， 22 2 22 11443 (4)(12) ( )(324) 44 tt S
38、tt tt ， 由( )0S t，得2t ， 当2t 时，( )0S t，( )S t递增；当02t 时，( )0S t，( )S t递减， 则( )S t在2t 处取得极小值，且为最小值 32， 所以( )S t的最小值为 32 【总结与归纳】本题考查导数的运用：求切线的方程和利用导数研究函数的单调性、极值和 最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题 20 （15 分）已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 过点( 2, 1)A ，且2ab （）求椭圆C的方程； （） 过点( 4,0)B 的直线l交椭圆C于点M，N， 直线MA，NA分别交直线4x 于点P， Q求 | | PB BQ 的值
39、 【思路分析】 （）由题意可得 22 41 1 2 ab ab ，解得 2 2b ， 2 8a ，即可求出椭圆方程； （）设直线方程为(4)yk x，设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，可得直线AM的方程为 1 1 1 1(2) 2 y yx x ， 直 线AN的 方 程 为 2 2 1 1(2) 2 y yx x ， 分 别 令4x ， 求 出 1 1 (12 )(82) 2 P k xk y x ， 2 (12 )(82) 2 Q kk y x ，代入化简整理即可求出 【解析】 ： （）椭圆 22 22 :1 xy C ab 过点( 2, 1)A ，且2ab， 则 2
40、2 41 1 2 ab ab ，解得 2 2b ， 2 8a ，椭圆方程为 22 1 82 xy ， （）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为(4)yk x， 由 22 (4) 1 82 yk x xy ，消y整理可得 2222 (14)326480kxk xk， 2 32(41)0k ，解得 11 22 k， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 2 12 2 32 14 k xx k ， 2 12 2 648 14 k x x k ， 则直线AM的方程为 1 1 1 1(2) 2 y yx x ，直线AN的方程为 2 2 1 1(2) 2 y yx x ， 分别令
41、4x ， 可得 11 11 2(1)(12 )(82) 1 22 P yk xk y xx ， 2 (12 )(82) 2 Q kk y x 1 1 (12 )(82) | | | 2 P k xk PBy x ， 2 (12 )(82) | | | 2 Q kk QBy x ， 1212122 2112121 (21)(84)(2)(21)(42)()8(21)(42)| | | |(21)(84)(2)(21)(42)()8(21)(42) kxkxkx xkxxkkxPB BQkxkxkx xkxxkkx 2 1212 2 32(21) (21)(42)()8(21) 14 kk kx
42、xkxxk k ， 2 2 2 12122122 2 12121121 1 2 32 (21)(2) (21)(42)()8(21)(42)()2 41 | | | 1 32(21)(42)()8(21)(42)()2 (21)(2) 41 k kx kx xkxxkkxxxx k kkx xkxxkkxxxx kx k ， 故 | 1 | PB BQ 【总结与归纳】 本题考查了直线和椭圆的位置关系， 考查了运算求解能力， 转化与化归能力， 分类与整合能力，属于难题 21 （15 分）已知 n a是无穷数列给出两个性质： 对于 n a中任意两项 i a，() j a ij，在 n a中都存在一
43、项 m a，使得 2 i m j a a a ； 对于 n a中任意一项(3) n a n，在 n a中都存在两项 k a，() l a kl，使得 2 k n l a a a （）若(1 n an n，2，)，判断数列 n a是否满足性质，说明理由； （）若 1 2(1 n n an ，2，)，判断数列 n a是否同时满足性质和性质，说明理由； （）若 n a是递增数列，且同时满足性质和性质，证明： n a为等比数列 【思路分析】 （）由 2 3 2 9 * 2 a N a ，即可知道不满足性质 （）对于任意的i和j，满足 2 21 2 iji j a a ，2*ijN，必存在2mij，可得
44、满足性 质；对于任意的n，欲满足 2 121 22 nk lk n l a a a ，2nkl即可，必存在有一组k， l使使得它成立，故满足性质 （） 先用反证法证明数列必然恒正或恒负， 再用数学归纳法证明 n a也是等比数列， 即可 【解析】 ： （）不满足，理由： 2 3 2 9 * 2 a N a ，不存在一项 m a使得 2 3 2 m a a a （）数列 n a同时满足性质和性质， 理由：对于任意的i和j，满足 2 21 2 iji j a a ，因为*iN，*jN且ij，所以2*ijN， 则必存在2mij，此时， 1 2 m i a 且满足 2 21 2 iji m j a a
45、a ，性质成立， 对于任意的n，欲满足 2 121 22 nk lk n l a a a ，满足2nkl即可，因为*kN，*lN， 且kl， 所以2kl可表示所有正整数，所以必有一组k，l使2nkl，即满足 2 k n l a a a ，性质 成立 （）首先，先证明数列恒正或恒负， 反证法：假设这个递增数列先负后正， 那么必有一项 l a绝对值最小或者有 l a与 1l a 同时取得绝对值最小， 如仅有一项 l a绝对值最小，此时必有一项 2 l m j a a a ，此时| | ml aa 与前提矛盾， 如有两项 l a与 1l a 同时取得绝对值最小值，那么必有 2 1 i m i a a
46、 a ， 此时| | ml aa，与前提条件矛盾， 所以数列必然恒正或恒负， 在数列恒正的情况下，由知，存在k，l使得 2 3 k l a a a ， 因为是递增数列， 3kl aaa， 即3kl，所以 2 2 3 1 a a a ，此时 1 a， 2 a， 3 a成等比数列， 数学归纳法： （1）已证3n 时，满足 n a是等比数列，公比 2 1 a q a ， （2）假设nk时，也满足 k a是等比数列，公比 2 1 a q a ， 那么由知 2 1 k k k a qa a 等于数列的某一项 m a，证明这一项为 1k a 即可， 反证法： 假设这一项不是 1k a ，因为是递增数列，所
47、以该项 2 1 1 l mkk l a aqaa a ， 那么 1kkk aaqa ，由等比数列 k a得 1 111 kk k a qaa q ， 由性质得 2 1 11 kkm l a a qa q a ，同时 2 1 m kml l a aaa a ，s所以1kml ， 所以 m a， l a分别是等比数列 k a中两项，即 1 1 m m aa q ， 1 1 l l aa q ， 原式变为 121 111 km lk a qa qa q ， 所以121lmlk ，又因为*kN，*mN，*lN，不存在这组解，所以矛盾， 所以知 2 1 1 k kk k a qaa a ，前 1 k a
48、 为等比数列， 由数学归纳法知， n a是等比数列得证， 同理，数列恒负， n a也是等比数列 【总结与归纳】 本题属于新定义题， 考查等比数列的性质， 数学归法等， 考查逻辑思维能力， 属于难题 初高中数学教研微信系列群简介： 目前有 11 个群（9 个高中群，2 个初中群） ，共 4000 多优秀、 特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而 成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群. 宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！ 特别说明： 1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题； 2.由于本群是集“研究写作发表（出版） ”于一体的“桥梁” ，涉及业务合作，特强 调真诚交流，入群后立即群名片： 教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三 编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名 欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢 绝）加入，大家共同研究，共同提高！ 群主二维码：见右图
