1、专题 10与球体截面有关的计算问题 【母题来源一】 【2020 年高考全国卷理数】已知, ,A B C为球O的球面上的三个点， 1 O为ABC的外 接圆，若 1 O的面积为4， 1 ABBCACOO，则球O的表面积为 A.64B.48C.36D.32 【答案】A 【解析】设圆 1 O半径为r，球的半径为R，依题意，得 2 4 ,2rr ，ABC为等边三角形， 由正弦定理可得 2 sin602 3ABr ， 1 2 3OOAB，根据球的截面性质 1 OO 平面ABC， 2222 11111 ,4OOO A ROAOOO AOOr，球O的表面积 2 464SR .故选：A 【名师点睛】本题考查球的
2、表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 【母题来源二【母题来源二】 【2019 年高考全国卷理数】已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC， ABC是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A 68 B 64 C 62 D 6 【答案】D 【解析】解法一：,PAPBPCABC为边长为 2 的等边三角形，PABC为正三棱锥， PBAC，又E，F分别为PA，AB的中点，EFPB，EFAC， 又EFCE，,CEACCEF平面PAC，PB 平面PAC， 2APBPAPBPC ，PABC为正方
3、体的一部分， 则2 2226R ，即 6 , 2 R 3 446 6 6 338 VR.故选 D 解法二：设2PAPBPCx，,E F分别为,PA AB的中点， EFPB，且 1 2 EFPBx， ABC为边长为 2 的等边三角形，3CF， 又90CEF， 2 1 3, 2 CExAEPAx， 在AEC中，由余弦定理可得 22 43 cos 2 2 xx EAC x ， 作PDAC于D，PAPC，D为AC的中点， 1 cos 2 AD EAC PAx ， 22 431 42 xx xx ， 22 12 212 22 xxx ， ， 2PAPBPC ，又=2AB BC AC，,PA PB PC两
4、两垂直， 22226R ， 6 2 R ， 3 446 6 6 338 VR.故选 D. 【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三 棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决 【命题意图】 高考对本部分内容重点考查球的几何性质及体积与表面积的计算.考查直观想象、数学运算和逻辑推理 的核心素养. 【命题规律】 本部分是高考考查的重点内容，考查的主要角度有两种：一是由球体截面的性质计算体积与表面积； 二是球与多面体的切与接问题.命题形式以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内 容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算
5、能力，能用转化与化归的思想解题. 【答题模板】 解答本类题目，一般考虑如下三步： 第一步：确定球心； 第二步：运用球体的性质求出球的半径； 第三步：根据公式计算. 【方法总结】 1解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准 最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达 到空间问题平面化的目的 2记住几个常用的结论： （1）正方体的棱长为 a，球的半径为 R. 对于正方体的外接球，2R3a；对于正方体的内切球，2Ra； 对于球与正方体的各棱相切，2R2a. （2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为
6、 a，b，c，球的半径为 R，则 222 2Rabc. （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31. 3构造法在定几何体外接球球心中的应用 （1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方 体或正方体； （2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方 体； （3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体； （4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体 【好题训练】 1 【2020 广西南宁高三三模】 已知过球面上三点, ,A B C的截面到球心距离等于球半
7、径的一半， 且ABC是 边长为 6 的等边三角形，则球表面积为 A42B48C64D60 【答案】C 【解析】取 AB 的中点 D，连接 CD，由题意可得ABC 的外心 O 在线段 CD 上， 由ABC是边长为 6 的等边三角形可得 3 3CD ， 2 2 3 3 O CCD， 设球的球心为O，半径为R，连接OC、 OO ，如图： 由球的性质可得OCR，OO平面ABC，即 2 R OO ，所以OOO C， 在RtOO C中， 222 O OO COC 即 2 2 2 2 3 2 R R ， 解得4R 或4R （舍去） ，所以该球的表面积 2 464SR .故选：C. 【名师点睛】本题考查了球的
8、几何特征的应用及表面积的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属 于基础题. 2 【2020 安徽合肥一六八中学高三模拟】球面上有三点, ,A B C组成这个球的一个截面的内接三角形的三个 顶点，其中18AB ，24BC ，30AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为 A1200B1400 C1600D1800 【答案】A 【解析】设所求球的球心为O，半径为,R AC中点为 1 O，连 1, OO OA，18AB ，24BC ，30AC ， 222, ABBCACABBC， 1 O为过, ,A B C三点截面圆的圆心， 1 OO平面 1 ,ABCOOAC，在 1 Rt O
9、O A中， 2 22222 11 15 4 R AOROOAO， 解得 2 300R ，球O的表面积为 2 41200R .故选：A. 【名师点睛】本题考查球的表面积，利用球的性质是解题的关键，属于中档题. 3 【2020 广东佛山高三调研】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放 在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A 3 500 cm 3 B 3 866 cm 3 C 3 1372 cm 3 D 3 2048 cm 3 【答案】A 【解析】设球的半径为Rcm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交
10、所得截面圆的半径为 4cm，球心 到截面圆的距离为2Rcm，所以由 2 22 42RR，得5R ，所以球的体积为 333 44500 5cm 333 VR 故选：A 【名师点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题 4 【2020 重庆八中高三三模】 用一根长为 18cm 的铁丝围成正三角形框架， 其顶点为, ,A B C， 将半径为 2cm 的球放置在这个框架上（如图）.若 M 是球上任意一点，则四面体MABC体积的最大值为 A 3 3 3 4 cm B 3 3cm C 3 3 3cm D 3 9 3cm 【答案】D 【解析】设球的圆心为O，半径为R，ABC内切
11、圆圆心为 1 O，由题意知ABC三边长为6cm， 则ABC内切圆半径 1 cos303 3 rABcm ，则 22 1 1OORr， 所以四面体MABC的高 max1 3hOOR.因为 22 3 9 3 4 ABC SABcm ， 所以四面体MABC体积的最大值 3 maxmax 1 9 3 3 ABC VShcm .故选:D. 【名师点睛】本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离. 5 【2020 湖北宜昌高三二模】已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，点M为棱 1 DD的中点，则平面 ACM截该正方体的内切球所得截面面积为 A 3 B 2 3
12、CD 4 3 【答案】A 【解析】如图所示： 设内切球球心为O，O到平面ACM的距离为d，截面圆的半径为r， 因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1， 又因为 O AMCMAOC VV ，所以 12 33 AMCAOC dSS ， 又因为 22 11 2 2526,2 2 12 22 AMCAOC SS ， 所以 12 6 33 d，所以 6 3 d ， 所以截面圆的半径 22 3 1 3 rd ，所以截面圆的面积为 2 3 33 S .故选：A. 【名师点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球， 得到的截面一定是圆面，截面圆的半径
13、可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算. 6 【2020 湖南省长郡中学高三模拟】已知长方体 1111 ABCDABC D各个顶点都在球面上，8ABAD， 1 6AA ，过棱AB作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 A3B4C5D6 【答案】C 【解析】 过棱AB作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为8AB ， 长方体 1111 ABCDABC D各个顶点都在球面上，8ABAD， 1 6AA ， 球的半径为 222 1 88641 2 ，球心到截面的距离为 41 165 故选：C. 【名师点睛】本题考查求球心到截面的距离，考查学生的计算能力，确定当截面面积最小时，截面
14、的直径 为8AB 是关键，是基础题 7 【2020 四川南充高三三模】已知圆锥 1 SO的顶点和底面圆周均在球O的球面上，且该圆锥的高为8，母 线12SA，点B在SA上，且3SBBA，则过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值为 A27B36 C54D81 【答案】A 【解析】如图所示： 设球的球心为 O，半径为 R，则 22 8,4 5SMOAR AMSASM ， 所以 222 OAOMAM ， 即 2 2 2 84 5RR， 解得9R=，取SA的中点N，则3BN ， 所以 22 3 5ONRAN ， 22 3 6OBONBN 设点C为截面圆周上一点， 若截面面积最小，则OB 截面，此时截
15、面圆半径为 22 3 3rBCROB ， 所以截面面积的最小值为 2 27r .故选：A 【名师点睛】本题主要考查球的截面面积的求法以及截面的性质，还考查了空间想象和运算求解的能力， 属于中档题. 8 【2020 福建泉州高三调研】 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是边长为 6 的正方形， 点E在 线段AD上，且满足2AEED，过点E作直四棱柱 1111 ABCDABC D外接球的截面，所得的截面面积的 最大值与最小值之差为19，则直四棱柱 1111 ABCDABC D外接球的半径为 A 3 B2 3C3 3 D4 3 【答案】C 【解析】因为四棱柱 1111 ABC
16、DABC D是直棱柱，且底面是正方形， 所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作O， 过点O向底面ABCD作垂线，垂足为G，则 1 1 2 OGAA， 连接BD，因为底面ABCD是边长为 6 的正方形，所以点G为BD的中点， 取AD中点为F，连接OF，OE，OB， 设 1 2AAa，则OG a，所以外接球的半径为 2 22 1 18 2 ROBOGBDa ， 因为点E在线段AD上，且满足2AEED，则 1 1 6 EFDFDEAB， 又 1 3 2 FGAB，所以 2 9OFa ， 因为直四棱柱中，AB 侧面 11 ADD A，/FG AB，所以FG 侧面 11 ADD A， 所以FGAD，
17、又OG 底面ABCD，所以OGAD， 又FGOGG，所以OFAD， 则 222 10OEOFEFa ； 根据球的特征，过点E作直四棱柱 1111 ABCDABC D外接球的截面， 当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为 2 SR ； 当OE 截面时，此时截面圆半径为 22 ROE ， 所以此时截面圆面积为 2 2222 1 SROEROE； 又截面面积的最大值与最小值之差为19， 所以 2222 1 19SSRROEOE， 因此 2 1019a ，即 2 9a ，所以 2 18273 3Ra .故选：C. 【名师点睛】本题主要考查求几何体外接球的半径，熟记直四棱柱以及球的结构特征即可，
18、考查空间想象 能力，属于常考题型. 9 【2020 山西师大附中高三质检】 设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P， 从直线 l 出发的两个半平面, 截球 O 的两个截面圆的半分别为 1 和 3，二面角 l 的平面角为150，则球 O 的表面积为 A112B28 C16D4 【答案】A 【解析】过P与O作直线l的垂面如图所示，设球的半径为r， ,OEQP OFPM，垂足为,E F，则有 1,3EPPF， 设 5 , 6 OPEOPF，所以有 cos1 sin3 3cos 5 3 cos() 6 r r ， 而 22 sincos1 ，所以 2 1 cos 28 ，所以 2 28r ，因此
19、球O的表面积等于： 2 4112r . 故选：A 【名师点睛】本题考查了二面角的有关知识，考查了球的表面积公式，考查了空间想象能力. 10 【2020 广东惠州高三三模】已知正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，该四棱锥的五个 面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若正四棱锥PABCD的高为 2，则球O的表面积为 A8B9C12D16 【答案】A 【解析】如图所示，圆 O 是正方形 ABCD 和等腰PAB 的外接圆，设圆 O 的半径为 r, 则 2 , 2 O EAEBErO Pr ，所以 2 1 2 PEr 所以 2222 (22)APAEPEr 设点 O 是四棱锥 P - ABCD
20、的外接球的球心，F 为正方形 ABCD 的中心，如图， 则 PF平面 ABCD，所以在RtAFP 中有 2222 (22)4AFAPPFr 又因为 AF 的长度为圆 O 的半径r,所以 22 (22)4rr 所以 22 4 4( 21) 12 AFr 设四棱锥 P - ABCD 的外接球的半径为 R, 在Rt AFOV中， 222 OFOAAF ，所以 22 4( 21)OFR， 因为OFPFOP，所以 22 (2)OFR 所以 22 4( 21)(2)RR解得2R 所以四棱锥 P - ABCD 的外接球的表面积为 2 48SR ，故选：A 【名师点睛】本题主要考查了四棱锥的外接球，球的性质，三角形、正方形外接圆的性质,考查了空间想象 力，属于难题.
