1、高中数学多项选择题分类强化试题汇编高中数学多项选择题分类强化试题汇编 专题专题 17 立体几何与空间向量立体几何与空间向量 1用一个平面去截一个正方体，所得的截面可能是（） A三角形B四边形C五边形D六边形 【答案】ABCD 【解析】 若与三个平面相交，则截面是三角形；与四个平面相交，则截面是四边形；与五个平面相交，则截面是五 边形；与六个平面相交，则截面是六边形 故选：ABCD 2正方体的棱长为 1，分别为的中点则（） A直线与直线垂直B直线与平面平行 C平面截正方体所得的截面面积为D点 和点 到平面的距离相等 【答案】BC 【解析】 对选项 A： （方法一）以 点为坐标原点，、所在的直线分
2、别为 、 、 轴，建立空间直角坐标 系，则、.从而， 从而，所以与直线不垂直，选项 A 错误； （方法二）取的中点 ，连接，则为直线在平面内的射影，与不垂直，从而 与也不垂直，选项 A 错误； 取的中点为， 连接、， 则， 易证， 从而， 选项 B 正确； 对于选项 C，连接，易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形（如图所示） ，且 ，所以，而，从 而选项 C 正确； 对于选项 D：（方法一） 由于， 而， 而， 所以， 即， 点 到平面 的距离为点 到平面的距离的二倍.从而 D 错误. （方法二）假设点 与点 到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接 交于点 ，易知 不是的中
3、点，故假设不成立，从而选项 D 错误. 3正方体的棱长为 1，为线段，上的动点，过点的平面截该正方体的 截面记为 S，则下列命题正确的是（） A当且时，S 为等腰梯形 B当, 分别为，的中点时，几何体的体积为 C当 M 为中点且时，S 为五边形 D当 M 为中点且时，S 与的交点为 R，满足 【答案】AB 【解析】 对于 A，如图所示， ， 当且时，由面面平行的性质定理可得， 交线，且， 所以截面 S 为等腰梯形，A 正确； 对于 B，如图所示， ， 面，面， 故几何体的体积等于几何体的体积 又几何体的体积等于， 所以几何体的体积为正确，B 正确； 对于 C，如图所示， 当，即点重合时，此时截
4、面 S 为四边形，不是五边形，C 错误； 对于 D，如图所示， 当时，延长交与点 ，连结交于点 ， ， ，D 错误； 故选：AB 4如图,在棱长均相等的四棱锥中,为底面正方形的中心, 分别为侧棱,的中点,有下列 结论正确的有：() A平面 B平面平面 C直线与直线所成角的大小为D 【答案】ABD 【解析】 选项 A,连接 BD，显然 O 为 BD 的中点，又 N 为 PB 的中点，所以ON,由线面平行的判定定理可得， 平面；选项 B, 由, 分别为侧棱,的中点,得 MNAB,又底面为正方形，所以 MNCD，由线 面平行的判定定理可得， CD平面 OMN,又选项 A 得平面， 由面面平行的判定定
5、理可得， 平面 平面；选项 C,因为 MNCD，所以 PDC 为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等， 所以 PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项 D，因底面为正方形，所以 ,又所有棱长都相等，所以,故,又 ON，所以，故 ABD 均正确. 5一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形， 、 分别为、的中点，在此几何 体中，给出的下面结论中正确的有（） A直线与直线异面B直线与直线异面 C直线平面D直线平面 【答案】ACD 【解析】 由题可知，该几何体为正四棱锥 对 ，可假设与共面，由图可知，点 不在平面中，故矛盾， 正确； 对 ，因为中点，故，又四边形为正方形，所以，故 ，四
6、点共面， 错； 对 ，由 的证明可知，又平面，故直线平面， 正确； 对 ，同理由 的证明可知，又平面，故直线平面， 正确 故选：ACD 6如图，正方体的棱长为 1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错 误的是（） A B平面 C三棱锥的体积为定值D的面积与的面积相等 【答案】AD 【解析】 A.因为， 而， 所以， 即， 若 ， 则平面， 即可得， 由图像分析显然不成立，故 A 不正确； B.因为平面，平面，所以平面 ，故 B 正确； C.，所以体积是定值，故 C 正确； D.设的中点是 ，点 到直线的距离是 ，而点 到直线的距离是，所以， ，所以的面积与的面积不相等，D 不正确. 故选 AD
7、. 7如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点 是圆周上异于 ， 的任一点，则下列结论中正确 的 是（） A B C平面 D平面平面 E. 平面平面 【答案】BE 【解析】 因为垂直于以为直径的圆所在的平面，所以可得， 又因为直径所对的圆周角为直角，所以有，从而可以证得， 从而得到，所以 B 项正确； 因为，所以有平面平面，所以 E 项正确； 故选 BE. 8正方体的棱长为 2，已知平面，则关于 截此正方体所得截面的判断正确的是 （） A截面形状可能为正三角形B截面形状可能为正方形 C截面形状可能为正六访形D截面面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 如图，显然 A,C 成立，下面说明 D 成立
8、， 如图设截面为多边形， 设，则， 则 所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和， 所以 因为， ， 所以 当时，故 D 成立。 故选：ACD 9如图，梯形中，将沿对角线折起.设 折起后点 的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题：() A B三棱锥的体积为 C平面 D平面平面 【答案】CD 【解析】 如图所示： 为中点，连接 ，得到 又故为等腰直角三角形 平面平面，所以平面，所以 C 正确 为中点，则平面所以 如果，则可得到平面，故与已知矛盾.故 A 错误 三棱锥的体积为.故 B 错误 在直角三角形中， 在三角形中，满足 又所以平面，所以平面平面，故 D 正确 综上所述：答案为 CD 10如图
9、所示，在正方体中， 分别为棱，的中点，其中正确的结论为（ ） A直线与是相交直线；B直线与是平行直线； C直线与是异面直线：D直线与所成的角为 . 【答案】CD 【解析】 结合图形，显然直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线 与所成的角即直线与所成的角,在等边中，所以直线与所成的角为, 综上正确的结论为 C D. 11 如图， 在矩形中,E 为的中点， 将沿翻折到的位置,平面, 为的中点,则在翻折过程中，下列结论正确的是() A恒有平面 BB 与 M 两点间距离恒为定值 C三棱锥的体积的最大值为 D存在某个位置，使得平面平面 【答案】ABC 【解析】 取的中点,连结，可得四
10、边形是平行四边形， 所以，所以平面，故 A 正确； （也可以延长交于,可证明,从而证明平面） 因为， 根据余弦定理得 ， 得， 因为，故，故 B 正确; 因为为的中点， 所以三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍， 故三棱锥的体积，其中 表示到底面的距离，当平面 平面时， 达到最大值， 此时取到最大值，所以三棱锥体积的最大值为，故 C 正确； 考察 D 选项，假设平面平面，平面平面， 故平面，所以， 则在中，所以. 又因为，所以，故, , 三点共线， 所以，得平面，与题干条件平面矛盾，故 D 不正确； 故选：A,B,C. 12如图 1，点 为正方形边上异于点的动点，将沿翻折，得到如图 2 所示的四棱
11、锥 ，且平面平面，点 为线段上异于点的动点，则在四棱锥中，下列 说法正确的有() A直线与直线必不在同一平面上 B存在点 使得直线平面 C存在点 使得直线与平面平行 D存在点 使得直线与直线垂直 【答案】AC 【解析】 A.假设直线 BE 与直线 CF 在同一平面上，所以 E 在平面 BCF 上，又 E 在线段 BC 上，平面 BCF=C， 所以 E 与 C 重合，与 E 异于 C 矛盾，所以直线 BE 与直线 CF 必不在同一平面上； B.若存在点 使得直线平面 DCE，平面,所以,又,所以ABE 中有两个直 角，与三角形内角和为矛盾，所以不存在点 使得直线平面 DCE； C.取 F 为 B
12、D 的中点，,再取 AB 的中点 G，则且 EC=FG，四边形 ECFQ 为平行四边形， 所以,则直线 CF 与平面 BAE 平行； D.过 B 作于 O，因为平面平面 AECD,平面平面=AE, 所以平面AECD.过D作于H， 因为平面平面AECD,平面平面=AE,所以 平面 BAE，所以.若存在点 使得直线与直线垂直，平面 AECD,平面 AECD, ,所以平面 AECD, 所以 E 与 O 重合，与三角形 ABE 是以 B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点 使得直线与直线垂直. 故选 A、C. 13正方体截面的形状有可能为（） 。 A正三角形B正方形C正五边形D正六边形 【答案】ABD
13、【解析】 在正方体中，截面为正三角形，平行于底面的所有截面都是正方形，分别取棱 六条棱的中点顺次连接的六边形为正六边形，所以选项 ABD 正确；根据两个平 面平行的性质定理，若截面为五边形，则必有两组对边平行，所以不可能为正五边形，选项 C 错误. 14已知， 是两条不重合的直线， ， ， 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确命 题的是（） A若，则 B若，则 C若，那么 D若，那么 【答案】BD 【解析】 A 选项中没有说明两条直线是否相交， 结论错误， B 选项中能推出， 所以结论正确， C 选项能推出， 推不出，结论错误, D 选项根据线面平行的性质可知正确, 15一几何体
14、的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形， 、 分别为、的中点，在此几何 体中，给出的下面结论中正确的有（） A直线与直线异面B直线与直线异面 C直线平面D直线平面 【答案】AC 【解析】 由展开图恢复原几何体如图所示： 选项 A,由点 A 不在平面 PCB 内，直线 BF 不经过 E，根据异面直线的定义可知：直线 AE 与直线 BF 异面， 所以正确； 选项 B,因为点 E,F 为中点，根据三角形中位线定理可得 EFBC，又ADBC，EFAD，因此四边形 E FDA 是梯形，故直线 AE 与直线 DF 不是异面直线，所以不正确； 选项 C,由 B 知：EFAD，EF平面 PAD，AD平面 P
15、AD，直线 EF平面 PAD，故正确； 选项 D, 若直线平面，则，点 F 为中点，则 PD=DC=PC，不妨设 DC=2，则 DF =BF=,BD=2,则 DF 与 BF 不垂直，所以不正确. 故选：AC 16如图,正方形中,分别是的中点将分别沿折起,使 重合于点 .则下列结论正确的是（） A B平面 C二面角的余弦值为 D点 在平面上的投影是的外心 【答案】ABC 【解析】 对于 A 选项，作出图形，取 EF 中点 H，连接 PH，DH，又原图知和为等腰三角形，故, ，所以平面，所以，故 A 正确；根据折起前后，可知三线两两垂直， 于是可证平面，故 B 正确；根据 A 选项可知为二面角的平面角，设正方 形边长为 2，因此，由余弦定理得： ，故 C 正确；由于，故点 在平面上的投影不是的外 心，即 D 错误；故答案为 ABC.
