1、20202020 年高考数学（文）立体几何二轮专项提升年高考数学（文）立体几何二轮专项提升 专题专题 0606空间几何体的内切球、外接球问题空间几何体的内切球、外接球问题 一、高考题型特点：一、高考题型特点： 是高考中的热点问题，以小题形式呈现，难度中等偏上。 二、重难点：二、重难点： 1.与的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面 问题. 2.若球球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球 与多面体面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正 方体确定
2、直径解决外接问题. 三、易错注意点：三、易错注意点： (1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要先找准切点， 通过作截面来解决如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角面来作截面. (2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题解决这类问题的关键是抓住 外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径 四、典型例题：四、典型例题： 例 1. (2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面 积为 9 3，则三棱锥DABC体积的最大值为() A12 3B18 3C24 3D54 3 【
3、答案】B B 【解析】如图，E是AC中点，M是ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为SABC 3 4 AB 2 9 3，所以AB6，BM2 3BE 2 3 AB 2 AE 2 2 3.易知OM平面ABC，所以在 RtOBM中，OMOB 2 BM 2 2， 所以当D，O，M三点共线且DMODOM时， 三棱锥DABC的体积取得最大值， 且最大值Vmax1 3S ABC(4 OM)1 39 3618 3.故选 B. 例 2（2017 新课标） 已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径 若平面SCA 平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则
4、球O的表面积为_ 【答案】36 【解析】取SC的中点O，连接,OA OB， 因为,SAAC SBBC，所以,OASC OBSC 因为平面SAC 平面SBC，所以OA 平面SBC 设OAr， 3 1111 2 3323 A SBCSBC VSOArrrr 所以 3 1 93 3 rr， 所以球的表面积为 2 436r 例 3(2017全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆 柱的体积为() AB.3 4 C. 2 D. 4 【答案】B B 【解析】设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r，R及圆柱的
5、高的一半构成直角三角形 r1 1 2 2 3 2 . 圆柱的体积为Vr 2 h3 41 3 4 . 故选 B. 例 4. (2017江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母 线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V 1 V2的值是_ 【答案】3 3 2 2 【解析】设球O的半径为R， 球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切， 圆柱O1O2的高为 2R，底面半径为R. V 1 V2 R 2 2R 4 3R 3 3 2. 例 5 (2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8， AA13，则
6、V的最大值是() A4B.9 2 C6D.32 3 【答案】B B 【解析】设球的半径为R，ABBC，AB6，BC8，AC10. 当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有1 2(6810)R 1 268，此时 R2； 当球与直三棱柱两底面相切时，有 2R3，此时R3 2. 所以在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为3 2，故最大体积 V4 3 3 2 39 2 . 五五、强化提升训练：强化提升训练： 1已知圆柱的高为 2，底面半径为 3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积 等于() A4B.16 3 C.32 3 D16 【答案】D 【解析】如图，由题意知圆柱的中心O为这个球
7、的球心， 于是，球的半径rOBOA 2AB2 1 2 3 22. 故这个球的表面积S4r 216.故选 D. 2.过半径为 2 的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为 () A. 9 32 B. 9 16 C.3 8 D. 3 16 【答案 】A 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r，则 2 212r2，所以 r 23，所以所得截面的面积与球的体 积的比值为 3 4 32 3 9 32，故选 A. 3等腰ABC中，ABAC5，BC6，将ABC沿BC边上的高AD折成直二面角BADC，则三棱锥BACD 的外接球的表面积为() A5B.20 3 C10 D3
8、4 【答案】D 【解析】依题意，在三棱锥BACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD4，BDCD3，因此可将三棱锥 BACD补形成一个长方体， 该长方体的长、 宽、 高分别为 3、 3、 4， 且其外接球的直径 2R 3 23242 34， 故三棱锥BACD的外接球的表面积为 4R 234. 4.在三棱锥PABC中，已知PA底面ABC，BAC120，PAABAC2，若该三棱锥的顶点都在同一个球 面上，则该球的表面积为() A10 3B18 C20D9 3 【答案】C 【解析】该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥PABC，PAABAC2， 所以该 三棱锥的外接球即该六棱柱的外接球，所以外接球的直径
9、2R4 222 2 5R 5，所以该球的表面积为 4R 220. 5.已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径若平面PCA平面PCB，PAAC，PB BC，三棱锥PABC的体积为a，则球O的体积为() A2aB4aC.2 3a D.4 3a 【答案】B 【解析】设球O的半径为R，因为PC为球O的直径，PAAC，PBBC，所以PAC，PBC均为等腰直 角三角形，点O为PC的中点，连接AO，OB(图略)，所以AOPC，BOPC，因为平面PCA平面PCB，平面 PCA平面PCBPC，所以AO平面PCB，所以V三棱锥PABC1 3S PBCAO1 3 1 2PCBOAO 1 3
10、1 22RRR1 3R 3a，所以球 O的体积V4 3R 34a.故选 B. 6.已知球的半径为 4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为 2 2.若球心到这两个 平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为() A4B6C8D10 【答案】B 【解析】如图所示，设两圆的圆心为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，中点为E，因 为圆心到这两个平面的距离相等， 则OO1EO2为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r，|OO1| 16r 2， |OE| 322r 2， 又|OE| 2|AE|2|OA|2，即 322r2216，则 r 29，r3，所以，这两个圆的半径之和为 6， 故选 B.
11、 7.四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 6 的正方形，且PAPBPCPD，若一个半径为 1 的球与此四棱锥 所有面都相切，则该四棱锥的高是() A6B5C.9 2 D.9 4 【答案】D 【解析】过点P作PH平面ABCD于点H.由题意知，四棱锥PABCD是正四棱锥， 内切球的球心O应在四棱锥的高PH上过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中 PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点设PHh，易知 RtPMORtPHF，所 以OM FH PO PF，即 1 3 h1 h 2 3 2，解得h9 4(h0 舍去)，故选 D. 8已知正三棱柱ABCA1B1C1中，底面积为3 3 4 ，一个侧面
12、的周长为 6 3，则正三棱柱ABCA1B1C1外接球的表 面积为() A4B8 C16D32 【答案】C 【解析】如图所示，设底面边长为a，则底面面积为 3 4 a 23 3 4 ，所以a 3.又 一个侧面的周长为 6 3，所以AA12 3.设E，D分别为上、下底面的中心，连接DE， 设DE的中点为O，则点O即为正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心，连接OA1，A1E，则 OE 3，A1E 3 3 2 2 31.在直角三角形 OEA1中，OA1 1 2 3 2 2，即外接球 的半径R2，所以外接球的表面积S4R 216，故选 C. 9 已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点， ASC
13、BSC30， 则棱锥SABC的体积最大为() A2B.8 3 C. 3D2 3 【答案】A 【解析】如图，因为球的直径为SC，且SC4，ASCBSC30，所以SAC SBC90，ACBC2，SASB2 3，所以SSBC1 222 32 3， 则当点A到平 面SBC的距离最大时，棱锥ASBC即SABC的体积最大，此时平面SAC平面SBC，点A到平面SBC的距离 为 2 3sin 30 3，所以棱锥SABC的体积最大为1 32 3 32，故选 A. 10.我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑在封闭的鳖臑PABC 内有一个体积为V的球，若PA平面ABC，ABBC，PAA
14、BBC1，则V的最大值是() A.5 23 6 B.5 3 C.5 27 6 D.32 3 【答案】C 【解析】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大， 设此时球的半径为R，则V三棱锥PABC1 3R(S ABCSPABSPACSPBC)， 即1 3 1 2111 1 3R 1 211 1 211 1 21 2 1 21 2，解得R 21 2 . 所以球的体积V的最大值为4 3 21 2 3 5 27 6 .故选 C. 11已知点A，B，C，D均在球O上，ABBC 6，AC2 3.若三棱锥DABC体积的最大值为 3，则球O的 表面积为_ 【答案】16 【解析】 由题意可得， ABC 2 ， A
15、BC的外接圆半径r 3， 当三棱锥的体积最大时，VDABC1 3S ABCh(h 为D到底面ABC的距离)，即 31 3 1 2 6 6hh3，即 RR 2r23(R 为外接球半径)，解得R2， 球O的表面积为 42 216. 12 三棱锥PABC中，ABBC 15，AC6，PC平面ABC，PC2， 则该三棱锥的外接球表面积为_ 【答案】83 2 【解析】由题可知，ABC中AC边上的高为 153 2 6，球心 O在底面ABC的投影即为ABC的外心 D，设DADBDCx，所以x 232( 6x)2，解得 x5 6 4 ，所以R 2x2 PC 2 275 8 183 8 (其中R为三 棱锥外接球的
16、半径)，所以外接球的表面积S4R 283 2 . 13.已知一张矩形白纸ABCD，AB10，AD10 2，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将ABE，CDF沿 BE，DF折起，使A，C重合于点P，则三棱锥PDEF的外接球的表面积为_ 【答案】150 【解析】折叠后由于三角形DEF与DPF均为直角三角形，且DF为公共斜边， 故DF即为外接球直径， 易得DF5 6， 故外接球表面积为 4 5 6 2 2 150. 14.一张半径为 1 3的圆形包装纸，按照如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长都相等的四棱锥， 折叠所成的四棱锥外接球的表面积为_ 【答案】8 【解析】如图，连接OE，与AD交于I
17、， 设正方形ABCD的边长为 2x，则EI 3x， 则x 3x1 3，即x1. 设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC 2，OP2 2 2 2 2，R 2 ( 2R) 2 ( 2) 2 . R 2，该四棱锥的外接球的表面积S4R 2 8. 故答案为 8. 15已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为 3，BC3， BD 3，CBD90，则球O的体积为_ 【答案】32 3 【解析】设A到平面BCD的距离为h，三棱锥的体积为 3，BC3，BD 3，CBD90，1 3 1 23 3h 3，h2，球心 O到平面BCD的距离 为 1.设CD的中点为E，连接OE，
18、则由球的截面性质可得OE平面CBD，BCD 外接圆的直径CD2 3， 球O的半径OD2， 球O的体积为32 3 . 16.如图，已知平面四边形ABCD满足ABAD2，A60，C90，将ABD沿对角线BD翻折，使平面 ABD平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为_ 【答案】32 3 27 【解析】在四面体ABCD中，ABAD2，BAD60，ABD为正三角形，设BD的中点为M，连接 AM，则AMBD，又平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，AM平面CBD.CBD为直角三角形， 其外接圆的圆心是斜边BD的中点M，由球的性质知，四面体ABCD外接球的球心必在线段AM上，又ABD 为正三角
19、形，球心是ABD的中心，则外接球的半径为2 32 3 2 2 3 3 ，四面体ABCD外接球的体积为 4 3( 2 3 3 ) 332 3 27 . 17.已知等腰直角三角形ABC中，ABAC2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将ABC折成直二面角(如 图)，则四棱锥ADECB的外接球的表面积为_ 【答案】10 【解析】取DE的中点M，BC的中点N，连接MN(图略)，由题意知，MN平面ADE，因为ADE是等腰 直角三角形，所以ADE的外接圆的圆心是点M，四棱锥ADECB的外接球的球心在直线MN上，又等腰梯形 DECB的外接圆的圆心在MN上，所以四棱锥ADECB的外接球的球心就是等腰梯形DECB的外接圆的圆心连 接BE，易知BEC是钝角三角形，所以等腰梯形DECB的外接圆的圆心在等腰梯形DECB的外部设四棱锥 ADECB的外接球的半径为R，球心到BC的距离为d，则 R 2d2 2 2， R 2 d 2 2 2 2 2 2，解得R 25 2，故四 棱锥ADECB的外接球的表面积S4R 210.
