1、2020-2022020-2021 1 学年新教材人学年新教材人教教 A A 版选择性必修二册版选择性必修二册第五章第五章 一元函一元函 数的导数及其应用数的导数及其应用单元测试单元测试 一、选择题 1、已知函数 yf x和函数 yF x的图象关于y轴对称，当函数 yf x和 yF x在区间, a b上同时递增或同时递减时，区间, a b叫做函数 yf x的 “不动区间”，若区间1,2为函数2xyt的“不动区间”，则实数t的最大值 为（） A. 1 2 B. 3C. 2D. 3 2 2、以下四个命题中，正确命题的个数是 (1)已知，是不同的平面，m， n 是不同的直线/ / , / / ,mn
2、 则 mn； (2)直线 1:212 210,:220,/ /laxylxayll 的充要条 件是 1 2 a ； (3) 1 1 sin0 xdx (4) 000 3 ,sincos 2 xRxx A. 1B. 2C. 3D. 4 3、曲线曲线 f(x)f(x)x x 3 3 x x2 2 的一条切线平行于直线的一条切线平行于直线 y y4x4x1 1，则切点，则切点 P P0 0的坐标为的坐标为 ( () ) A A(0(0，1)1)或或(1,0)(1,0) B B( (1 1，4)4)或或(0(0，2)2) C C(1,0)(1,0)或或( (1 1，4)4)D D(1,0)(1,0)或
3、或(2,8)(2,8) 4、已知定义在 上的函数满足其导函数在 上恒成立，则不等式 的解集为（） ABCD 5、已知函数 f(x)x 24xaln x，若函数 f(x)在(1,2)上是单调函数，则实数 a 的取值范围是() A. (6，) B. (，16) C. (，166，) D. (，16)(6，) 6、已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(e x1)(x1)k(k1,2)，则( ) A. 当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极小值 B. 当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极大值 C. 当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极小值 D. 当 k2 时，f(x)在 x1 处取到
4、极大值 7、已知函数 yf x的图象在点1,1f处的切线方程是30 xy，则 11ff 的值是（） A.1B.2C.3D.4 8、函数 x x y e 在0，2上的最大值是（） A. 1 e B. 2 2 e C. 0D. 1 2 e 9、已知 3 f xxax在, 1 上是单调函数，则a的取值范围是（） A3,B3,C,3D,3 10、已知函数 f(x)=-x 3+ax2-4 在 x=2 处取得极值，若 m，n-1，1，则 f(m)+ f(n)的最小值是() A.-13B.-15C. 10D.15 11、设设 0 0m m2 2，已知函数，已知函数，对于任意，对于任意 x1x1，x2x2m-
5、2m-2，mm，都有，都有 |f(x1)-f(x2)|f(x1)-f(x2)|1 1，则实数，则实数 m m 的取值范围为的取值范围为( () ) A AB BC CD D 12、已知已知是是的极小值点，则实数的极小值点，则实数 的取值范围是的取值范围是 ( () ) A AB BC CD D 二、填空题 13、 直线直线4yx与曲线与曲线 2 yx围成的封闭图形的面积为围成的封闭图形的面积为_ 14、函数 x f xxe在点（1，e）的切线方程为_。 15、已知定义在已知定义在 0, 上的函数上的函数 f x 的导函数为的导函数为 fx ，若对于任意，若对于任意 0 x 都有都有 3 fxf
6、 x x ，且，且 44f ，则不等式，则不等式 3 1 0 16 f xx 的解集为的解集为_._. 16、设函数设函数 f x 满足满足 2 311f xxfx ，则，则 3f 的值为的值为_._. 三、解答题 17、 （本小题满分 10 分）求下列函数的导数：求下列函数的导数： （1 1） 2 = e x y ； （2 2） 3 13yx . . 18、 （本小题满分 12 分）求证求证：曲线曲线 xyxy1 1 上的任何一点上的任何一点 P(x0P(x0，y0)(x0y0)(x00)0)的切线的切线 与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数 19、 （本
7、小题满分 12 分）求下列函数的导数求下列函数的导数. . （1 1） 3 1 sin x y x ； （2 2） ln(25)yx . . 20、 （本小题满分 12 分）已知函数已知函数 2 lnf xxx x （）求这个函数的导数）求这个函数的导数 fx ； （）求这个函数在）求这个函数在 1x 处的切线方程处的切线方程. . 21、（本小题满分 12 分） 已知过点(1,1)的直线 l 与曲线 y=x 3相切,求直线 l 的方程. 参考答案参考答案 1、答案 C 解 析 因 为 函 数 yf x与 yF x的 图 象 关 于y轴 对 称 ， 所 以 2 x F xfxt ，因为区间1,
8、2为函数2xyt的“不动区间”，所以函数 2xyt和函数 2 x F xt 在1,2上单调性相同，因为2xyt和函数 2 x yt 的 单 调 性 相 反 ， 所 以220 xx tt 在1,2上 恒 成 立 ， 即 2 1220 xx tt 在1,2上恒成立，即22 xx t 在1,2上恒成立，得 1 2 2 t ； 即实数t的最大值为2，选 C 点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及 其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用 好其与条件的相互关系， 结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负
9、转化， 周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“ ”f，即将函数值的大小转化自变量大小 关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系. 2、答案 A 解析对于命题（1）中两条直线可以互相平行，故不正确；关于命题（2） ，由两条直线 平 行 的 等 价 性 可 得 2 1 41 2 aa ， 故 不 正 确 ； 对 于 命 题 （ 3 ） ， 由 于 101 01 10 110 sinsinsincos |cos |cos1 1 1 cos10 xdxxdxxdxxx ，因此是正确的； 对于命题（4） ，由于sincos2sin2, 2 4 xxx ，而 3 2, 2 2 ，故 不正确
10、。综上四个命题中正确的命题只有一个，应选答案 A。 3、答案 C 解析因为 2 ( )31,fxx 2 00 ()314,fxx 解得 0 1x ，所以 00 ()yf x 0 (1)0,yf 或者 0 ( 1)4.yf 故选 C 4、答案 D 详解：由在 上恒成立，得函数 f(x)在 R 上单调递减，又，所以|x|1, 解得或，选 D. 点睛： (1)若可导函数 f(x)在(a，b)上0,则函数 f(x)在(a，b)上单调递增。 (2) 若可导函数 f(x)在(a，b)上0,x(0,+). 说 明 H(x) 在 (0,+) 上 为 增 函 数 , 且 H(1)=2e-20,H(0)=-10,
11、因此当 x0 x1(x0为 H(x)的零点)时,f(x)1时,f(x)0,f(x)在(1,+)上是增函数.x=1是f(x)的极小值点,故 选 C. 7、答案 C 解析由题设可知函数 yf x在点1,1Af的切线的斜率是11kf ，又 直 线30 xy经 过 点1,1Af， 所 以1314f ， 所 以 11413ff ，应选答案 C。 8、答案 A 解析 x x f x e ， 1 x x fx e ， 当1x 时， 0,fxf x单调递增；当1x 时， 0,fxf x单调递减 max 1 1f xf e 选 A 9、答案 D 解析因为 3 f xxax在, 1 上是单调函数 ，所以 2 30
12、fxxa在 , 1 上恒成立，即 2 min 33ax；故选 D. 10、答案 A 解析求导得 f(x)=-3x 2+2ax，由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f(2)=0，即-34+2a2=0，a=3.由此可得 f(x)=-x 3+3x2-4，f(x)=-3x2+6x，易知 f(x)在(-1， 0)上是减少的， 在(0， 1)上是增加的， 当 m-1， 1时， f(m)min=f(0)=-4. 又 f(x)= -3x 2+6x 的图像开口向下，且对称轴为 x=1， 当 n-1，1时，f(n)min=f(-1)=-9. 故 f(m)+f(n)的最小值为-13. 11、答案 B B 解
13、析 设, 函 数， 对 于 任 意， 都 有 ， 等价于在上， 利用导数判断函数在 为减函数，由，解不等式可得结果. 详解 设, 函数，对于任意，都有， 等价于在上， 求导 时， 在为减函数， 因为， ， 在上为减函数， ， ， ， 得或，又， 即实数 的范围是，故选 B. 点睛 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、 求函数的最值， 以及转化与划归思想的应用， 属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法， 尤其在解决知识点 较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效， 运用这种方法的关键是将题设条件研究 透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺
14、利解 答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将不等式恒成立问 题转化为求函数最值问题. 12、答案 D 解析对函数求导并因式分解，根据导函数零点分布情况，求得实数 的取值范围. 详解 依题意，它的两个零点为，要是函数的极小值点，则 必须，此时函数在上递减，在上递增，在处取得极小值.故本题选 D. 点睛 本小题主要考查乘法的导数，考查利用导数研究函数的极小值，考查运算求解能力，属 于中档题. 13、答案 32 3 解析 联立方程组 2 4 yx yx ,解得 0 0 x y 或 4 16 x y ，所以围成的封闭图形的面积 4 3 22 0 4 32 =42| 033 x
15、Sxxdxx 。 14、答案 2ex-y-e=0 解 析 1,1,12 x fxxefe fe所 以 在 点 （ 1 ， e ） 的 切 线 方 程 为 21yee x ，化简得 2ex-y-e=0，填 2ex-y-e=0。 15、答案 4, 解析设函数 3 fx g x x ，利用导数结合 3 fxf x x 可得 g x 在 0, 上单调 递减，将 3 1 0 16 f xx 化为 4g xg 可解得结果. 详解： 3 fxf x x 即为 30 xfxf x ，设函数 3 fx g x x ， 则 32 64 33 0 fxxf xxxfxf x gx xx ， 所以 g x 在 0,
16、上单调递 减， 又因为 44f ， 所以 3 41 4 416 f g ， 不等式 3 1 0 16 f xx 可化为 3 1 16 fx x ， 即 4g xg ，所以 4x ，故解集为 4, . 故答案为： 4, . 点睛 本题考查了构造函数，利用导数判断单调性，考查了利用函数的单调性解不等式，属于 中档题. 16、答案 1 解析先对函数求导， 再令 1x ， 求出 (1) f 的值， 代入原函数中， 再令 3x 可求出 (3)f . 详解：由 2 311f xxfx ，得 ( )23(1)fxxf ， 令 1x ，则 (1)23(1)ff ，解得 (1) 1f ， 所以 2 31fxxx
17、 ，令 3x ，则 (3)99 1 1f ， 解得 (3)1f 故答案为：1 点睛 此题考查函数的导数，属于基础题目. 17、答案（1） 2 2 x e ； （2） 2 9(1 3 )x或 2 81549yxx 详解： （1） 222 e(2 )e22e xxx yx； （2） 22 3 1 3(1 3 )9 1 3yxxx 或 2 81549yxx 点睛：本题考查复合函数求导法则，注意函数如何复合的. 解析 详解 由 xy1，得 y . 所以 y . 所以 kf(x0) . 过点 P(x0，y0)的切线方程为 yy0 (xx0) 令 x0，得 y ；令 y0，得 x2x0. 所以过点 P(x
18、0， y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积 S 2x02， 是一个常数 点睛 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以 的切点的切线方程为： 若曲线在点的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由 切线定义知，切线方程为 解析 19、答案（1） 23 2 3sincoscos sin xxxxx y x ； （2） 2 25 y x . 详解： （1） 33 2 1 sin1 sin sin xxxx y x 23 23 22 3sin1 cos 3sincoscos sinsin xxxx xxxxx xx . （2） 1
19、2 25 2525 yx xx . 点睛 一般地，函数的商的导数公式是 2 ( )( )f xfx g xf x g x g xgx ，注意求导后分子 的结构特点（求导次序与中间的符号）.而函数yf axb的导数则是 yafaxb，注意系数a是来自axb. 解析 20、答案（） 21fxxlnx ； （）320 xy. （）由（）的结果求出 1 f ，再求出切点坐标，进而可得出结果. 详解： （）因为 2 lnf xxx x，所以 21fxxlnx； （）由题意可知，切点的横坐标为 1， 所以切线的斜率是 12 13kf ， 又 11f，所以切线方程为131yx ，整理得320 xy. 点睛 本题主要考查导数的运算以及导数的几何意义，熟记运算法则和几何意义即可，属于基 础题型. 解析 21、答案 解析设过(1,1)的直线与 y=x 3相切于点 ),( 3 00 xx, 所以切线方程为)(3 0 2 0 3 0 xxxxy 即 3 0 2 0 23xxxy,又(1,1)在切线上,则 x0=1 或 2 1 0 x, 当 x0=1 时,直线 l 的方程为 y=3x-2, 当 2 1 0 x时,直线 l 的方程为 4 1 4 3 xy, 直线 l 的方程为 y=3x-2 或 4 1 4 3 xy.
