1、第一课时第一课时 (平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定) 一、一、探究新知探究新知 在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直. .所所 以，以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础. . 像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平 面垂直的定义面垂直的定义. .那么，该如何定义呢那么，该如何定义呢? ?请回顾一下直线与平面请回顾一下直线与平面 垂直、直线与直线垂直的定义过程垂直、直线与直线垂直的定义过程. . 在平面几何中，
2、我们在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相先定义了角的概念，利用角刻画两条相 交直线的位置关系交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况. . 类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面 的位置关系，进而研究两个平面互相垂直的位置关系，进而研究两个平面互相垂直. . 二、二、二面角二面角 棱记作棱记作l, ,这个二面角记作二面角这个二面角记作二面角- -l-或或P-P-l- -Q.Q. 平面内的一条直线把平面分为两部分，平面内的一条直线把平面分为两部分， 其
3、中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做半平面半平面 1.1.半平面半平面 半半 平平 面面 半半 平平 面面 2.2.二面角二面角 (1)(1)概念：概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角角. .这条直线叫做二面角的这条直线叫做二面角的棱棱, ,这两个半平面叫做二面这两个半平面叫做二面 角的角的面面. . (2)(2)图形：图形： A A B B (3)(3)记法：记法：棱为棱为ABAB, ,面为面为、的二面角记作二面角的二面角记作二面角-AB-AB-. . 也可在也可在、内内( (棱以外的半平面部分棱以外的半平面部分) )分别取
4、点分别取点P P、 Q Q，将这个二面角记作二面角，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.P-AB-Q. P P Q Q l 二、二、二面角二面角 如右图如右图, ,在日常生活中在日常生活中, ,我们常说我们常说“把门开大把门开大 一些一些”，是指哪个角大一些，是指哪个角大一些? ?受此启发受此启发, ,你认为应你认为应 该怎样刻画二面角的大小呢该怎样刻画二面角的大小呢? ? 在二面角在二面角- -l-的棱的棱l上任取一点上任取一点O，以点，以点 O为垂足，在半平面为垂足，在半平面和和内分别作垂直于棱内分别作垂直于棱l 的射线的射线OA A和和OB B，则射线，则射线OA A和和OB B构成的构
5、成的AAOB B 叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角. . 二面角的大小可以用它的平面角来二面角的大小可以用它的平面角来 度量，二面角的平面角是多少度，就说度量，二面角的平面角是多少度，就说 这个二面角是多少度这个二面角是多少度. .平面角是直角的平面角是直角的 二面角叫做二面角叫做直二面角直二面角. .二面角的大小二面角的大小的的 取值范围是取值范围是0 0 180180 . . AAOB B的大小与的大小与 点点O在在l上的位置有关上的位置有关 吗吗? ?为什么为什么? ? 3.3.二面角的平面角二面角的平面角 4.4.二面角的取值范围二面角的取值范围 l A A B B O 三、三、平
6、面与平面垂直的概念平面与平面垂直的概念 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角? ?分别指出构分别指出构 成这些二面角的面、棱、平面角及其度数成这些二面角的面、棱、平面角及其度数. . 在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个 平面垂直的判定和性质平面垂直的判定和性质. .先研究平面与平面垂直的判定先研究平面与平面垂直的判定. . 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交, ,它们所成的二面它们所成的二面 角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上角是直
7、二面角，我们常说墙面直立于地面上. . 一般地，一般地， 两个平面相交，如果它们所成的两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二二面角是直二 面角，就说这两个平面互相垂直面角，就说这两个平面互相垂直. .平面平面与与垂直垂直，记作，记作. . 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四 边形的一组边画成垂直边形的一组边画成垂直. . 平面与平面垂直的概念：平面与平面垂直的概念： 如右图，建筑工人在砌墙时如右图，建筑工人在砌墙时, ,常用铅锤常用铅锤 来检测所砌的墙面与地面是否垂直来检测所砌的墙面与地面是否垂直. .如果系如果系 有铅锤的细
8、线紧贴墙面有铅锤的细线紧贴墙面, ,工人师傅就认为墙工人师傅就认为墙 面垂直于地面面垂直于地面, ,否则他就认为墙面不垂直于否则他就认为墙面不垂直于 地面地面. .这种方法说明了什么道理这种方法说明了什么道理? ? 类似结论也可以在长方体中发现类似结论也可以在长方体中发现. .如右如右 图图, ,在长方体在长方体ABCDABCD- -ABCDABCD中中, ,平面平面A ADDDDAA 经过平面经过平面ABCDABCD的一条垂线的一条垂线AAAA，此时，平面，此时，平面 A ADDDDAA垂直于平面垂直于平面ABCD.ABCD. 若墙面过地面的垂线若墙面过地面的垂线, ,则墙面与地面垂直则墙面
9、与地面垂直. . D D B B C C A A DD CC BB AA 平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，如果一个平面过另一个平面的垂线， 那么这两个平面垂直那么这两个平面垂直. . l l，l 符号表示：符号表示： 四、四、平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 ( (线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直) ) 例例1 1 已知：已知：如右图如右图, ,正方体正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD. . 求证：求证：平面平面ABDABD平面平面ACCA.ACCA. 五、五、典型例题典型例题 A AB B C C D D A A1 1 B B
10、1 1 C C1 1 D D1 1 证明：证明：ABCD-ABCDABCD-ABCD是正方体，是正方体， AAAA平面平面ABCDABCD. . BDBDAAAA. . 又又BDACBDAC，ACAA=AACAA=A，ACAC、AAAA 平面平面ACCAACCA BDBD平面平面ACCAACCA， 平面平面ABDABD平面平面ACCA.ACCA. 又又BDBD 平面平面ABCDABCD 又又BDBD 平面平面ABDABD 五、五、典型例题典型例题 例例2 2 已知：已知：如右图如右图, ,ABAB是是O的直径的直径, ,PAPA垂直于垂直于O所在所在 的平面的平面, ,C C是圆周上不同于是圆
11、周上不同于A A、B B的任意一点的任意一点. . 求证：求证：平面平面PACPAC平面平面PBC.PBC. A AB B P P C C O 证明：证明： 平面平面PACPAC平面平面PBC.PBC. PAPA平面平面ABCABC，BCBC 平面平面ABCABC， PABC.PABC. ABAB是是O的直径，的直径， BCA=90BCA=90 ，即，即BCAC.BCAC. 又又PAAC=APAAC=A，PAPA 平面平面PACPAC，ACAC 平面平面PACPAC， BCBC平面平面PAC.PAC. 又又BCBC 平面平面PBCPBC， 六、课堂小结六、课堂小结 1.1.二面角二面角 从一条
12、直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. .这这 条直线叫做二面角的条直线叫做二面角的棱棱, ,这两个半平面叫做二面角的这两个半平面叫做二面角的面面. . 在二面角在二面角- -l-的棱的棱l上任取一点上任取一点O，以点，以点O为垂足，在半平为垂足，在半平 面面和和内分别作垂直于棱内分别作垂直于棱l的射线的射线OA A和和OB B, ,则射线则射线OA A和和OB B构成构成 的的AAOB B叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角. . 2.2.二面角的平面角二面角的平面角 3.3.平面与平面垂直的判定方法平面与平面垂直的判定方法 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. . ( (线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直) ) 定义：定义：二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. . 定理：定理： l，l l 符号表示：符号表示： 七、巩固提升七、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第158158页练习第页练习第1 1、2 2、3 3、4 4题题 课堂作业课堂作业: : 第第162162页页习题习题8.68.6第第3 3、7 7、8 8、2121题题
