1、45 东东 南南 西西 北北 A A B B 在现实生活中，我们会遇到很多量在现实生活中，我们会遇到很多量, ,其中一些量在取定单位后其中一些量在取定单位后 只用一个实数就可以表示出来只用一个实数就可以表示出来, ,如长度、质量等如长度、质量等. . 还有一些量则不还有一些量则不 是这样，例如上图中的小船的位移，小船由是这样，例如上图中的小船的位移，小船由A A地向东南方向航行地向东南方向航行1515 n milen mile到达到达B B地地( (速度的大小为速度的大小为10 n mile/h). 10 n mile/h). 这里，如果仅指出这里，如果仅指出 “由由A A地航行地航行15 n
2、 mile”15 n mile”，而不指明，而不指明“向东南方向向东南方向”航行航行, ,那么小那么小 船就不一定到达船就不一定到达B B地了地了. . 这就是说，位移是既有大小又有方向的量这就是说，位移是既有大小又有方向的量. . 力、速度、加速度等也是这样的量力、速度、加速度等也是这样的量. .对这种既有大小又有方向的量对这种既有大小又有方向的量 加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量. . 向量是近代数学中重要和基本的概念之一向量是近代数学中重要和基本的概念之一, ,向量理论具有丰富向量理论具有丰富 的物理背景、深刻的数学内涵的物理背景、深刻的数
3、学内涵. .向量既是代数研究对象，也是几何向量既是代数研究对象，也是几何 研究对象，是沟通几何与代数的桥梁研究对象，是沟通几何与代数的桥梁, ,是进一步学习和研究其他数是进一步学习和研究其他数 学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用. . 本章我们将通过实际背景引入向量的概念本章我们将通过实际背景引入向量的概念, ,类比数的运算学习类比数的运算学习 向量的运算及其性质，建立向量的运算体系向量的运算及其性质，建立向量的运算体系. .在此基础上，用向量在此基础上，用向量 的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题的语言、方法表述
4、和解决现实生活、数学和物理中的一些问题. . 我们知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向我们知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向 的量的量. . 本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示 方法；通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些方法；通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些 特征特征. . 一、向量的实际背景一、向量的实际背景 G F 在本章引言中，小船位移的大小是在本章引言中，小船位移的大小是A A、B B两地之间的距离两地之间的距离15 n 15 n mile,mile,位移的方向是
5、东南方向位移的方向是东南方向; ;小船航行速度的大小是小船航行速度的大小是10 n mile/h,10 n mile/h, 速度的方向是东南方向速度的方向是东南方向. . 位移和速度有各自的特性，但也有共同属性，请问共同位移和速度有各自的特性，但也有共同属性，请问共同 属性是什么？属性是什么？ 既有大小，又有方向既有大小，又有方向. . 在在物理学中还有没有具有这种属性的量？物理学中还有没有具有这种属性的量？有，比如有，比如“力力” 我们知道，从一支笔、一棵树、一本书我们知道，从一支笔、一棵树、一本书中，可以抽象出只中，可以抽象出只 有大小的数量有大小的数量“1”.“1”.类似地，我们可以对力
6、、位移、速度类似地，我们可以对力、位移、速度这些这些 量进行抽象，形成一种新的量量进行抽象，形成一种新的量. . 二、向量的概念二、向量的概念 既有大小，又有方向的量叫做既有大小，又有方向的量叫做向量向量. 只有大小，没有方向的量叫做只有大小，没有方向的量叫做数量数量. 如力、位移、速度如力、位移、速度. . 如年龄、身高、长度、面积、体积、质量如年龄、身高、长度、面积、体积、质量. . 物理学中，常称：物理学中，常称： 向量为矢量，数量为标量向量为矢量，数量为标量. . 你还能举出物理学中的一你还能举出物理学中的一 些向量和数量吗？些向量和数量吗？ 加速度是向量，时间、路程、功是数量加速度是
7、向量，时间、路程、功是数量. . 三、有向线段三、有向线段 由于数量可以用实数表示由于数量可以用实数表示, ,而实数与数轴上的点一一对应，所而实数与数轴上的点一一对应，所 以数量可用数轴上的点表示以数量可用数轴上的点表示, ,而且不同的点表示不同的数量而且不同的点表示不同的数量. . 那么，那么， 该如何表示向量呢？该如何表示向量呢？ 以位移为例，小船以以位移为例，小船以A A为起点为起点,B,B为终点，可以用连接为终点，可以用连接A A、B B两点两点 的线段长度代表小船行进的距离，并在终点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B B处加上箭头表示小船处加上箭头表示小船 行驶的方向行驶的方向
8、. .于是，这条于是，这条“带有方向的线段带有方向的线段”就可以用来表示位移就可以用来表示位移. . 受此启发，可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例受此启发，可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例( (标标 度度) )画出，它的长短表示向量的大小画出，它的长短表示向量的大小, ,箭头的指向表示向量的方向箭头的指向表示向量的方向. . 通常，在线段通常，在线段ABAB的两个端点中，规定一个顺序的两个端点中，规定一个顺序, ,假设假设A A为起点为起点, , B B为终点，我们就说线段为终点，我们就说线段ABAB具有方向具有方向. . 具有方向的线段具有方向的线段叫做叫做有向线段有向
9、线段. . 通常在有向线段的终点出画上箭头表示方向通常在有向线段的终点出画上箭头表示方向. .如上图如上图. . 有向线段三要素：有向线段三要素：起点、方向、长度起点、方向、长度. . A(A(起点起点) ) B(B(终点终点) ) 知道了有向线段的起点、方向和长度知道了有向线段的起点、方向和长度, ,它的终点就唯一确定了它的终点就唯一确定了. . 表示有向线段表示有向线段 时，时，起点一定要写起点一定要写 在终点的前面在终点的前面. . 以以A A为起点，为起点，B B为终点的有向线段记作为终点的有向线段记作 . . ABAB 记作记作| | |.的长度的长度，线段线段ABAB的长度也叫做的
10、长度也叫做有向线段有向线段 ABABABAB 四、向量的几何表示四、向量的几何表示 长度等于长度等于1 1个单位的向量叫做个单位的向量叫做单位向量单位向量. . 向量也可以用小写字母表示：向量也可以用小写字母表示： 零向量是有方向的，但它的方向不确定，是任意的；但零是零向量是有方向的，但它的方向不确定，是任意的；但零是 没有方向的没有方向的. . 印刷用黑体印刷用黑体a a， 书写用书写用 . .a a 零向量与零有什么区别？零向量与零有什么区别？ 向量可以用有向线段向量可以用有向线段 来表示来表示, ,我们把这个向量记作我们把这个向量记作向量向量 , , 有向线段的有向线段的长度长度| |
11、|表示向量的大小表示向量的大小, ,有向线段的方向表示向量的有向线段的方向表示向量的 方向方向. . 用有向线段表示向量，使向量有了直观形象用有向线段表示向量，使向量有了直观形象. . ABABABAB ABAB 向量向量 的大小的大小称为称为向量向量 的长度的长度( (或称模或称模) )，记作，记作| | |. .ABABABABABAB 长度为长度为0 0的向量叫做的向量叫做零向量零向量, ,记作记作0 ， ， abc 例例1 1 在在右图中右图中, ,分别用向量表示分别用向量表示A A地地 至至B B、C C两地的位移，并根据图两地的位移，并根据图 中的比例尺，求出中的比例尺，求出A A
12、地至地至B B、C C 两地的实际距离两地的实际距离( (精确到精确到1km).1km). 解：解： 四、向量的几何表示四、向量的几何表示 | | |_._.ACAC 表示表示A A地至地至C C地的位移，且地的位移，且ACAC | | |_；ABAB 表示表示A A地至地至B B地的位移，且地的位移，且 ABAB A A B B C C 1800000018000000 方向相同或相反的非零向量叫做方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量. . 下面两个图中的两个向量是不是平行向量？下面两个图中的两个向量是不是平行向量？是是 五、平行向量五、平行向量 b b a a b b a a b
13、ba ab ba a 规定：规定：零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行，即对于任意向量，即对于任意向量 ，都有，都有a a 与与 平行，记作平行，记作 . .b ba aba 0a 长度相等且方向相同的向量叫做长度相等且方向相同的向量叫做相等向量相等向量. 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且 与有向线段的起点与有向线段的起点无关无关，在平面上，两个长度相等且指向一致的有，在平面上，两个长度相等且指向一致的有 向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向方向和和模模确定确定. .
14、 六、相等向量六、相等向量 b b a a b ba a 与与 相等，记作相等，记作 . . b ba aba = = 平行向量也叫做平行向量也叫做共线向量共线向量. 为什么平行向量可以称为共线向量呢？为什么平行向量可以称为共线向量呢？ l A AB B 的直线的直线l， 在在l上任取点上任取点O， 这就是说：这就是说： 平行向量也称为共线向量平行向量也称为共线向量. . OC C 任一组平行向量都可以移动到同一条直线上任一组平行向量都可以移动到同一条直线上. . 所以所以 则可在则可在l上上分别作出分别作出: :，a aA A O，b bB B O . .c cC C O 七、共线向量七、共
15、线向量 b b a a c c 如下图，是一组平行向量如下图，是一组平行向量 、 、 ，b ba ac c作一条与作一条与 所在直线平行所在直线平行a a 解：解：(1)(1) 例例2 2 如如右图，右图，O是正六边形是正六边形ABCDEFABCDEF的中心的中心. . (1) (1)写出图中的共线向量；写出图中的共线向量； (2)(2)分别写出图中与分别写出图中与 相等相等 的向量的向量. . C C、B B、A AOOO F FE E、D D、C CB B、A AOO 是共线向量；是共线向量； A AF F、E E、D DC C、B BOO 是共线向量；是共线向量； OOF F、E ED
16、D、A AB B、C C 是共线向量是共线向量. . (2)(2) ；D DC CB BA AOO ；E ED DC CB BOO .OOF FE ED DA AB BC C 七、共线向量七、共线向量 八、课堂小结八、课堂小结 1.1.向量的有关概念：向量、向量的长、单位向量、零向量；向量的有关概念：向量、向量的长、单位向量、零向量； 2.2.向量的表示方法；向量的表示方法； 3.3.平行向量平行向量( (即共线向量即共线向量) )； 4.4.相等向量相等向量. . 九、巩固提升九、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第4 4页练习第页练习第1 1、2 2、3 3、4 4题题 课堂作业课堂作业: : 第第5 5页页习题习题6.16.1第第1 1、2 2、3 3、4 4题题
