1、 与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊 位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用. .类比平行关类比平行关 系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重 点研究这些垂直关系的判定和性质点研究这些垂直关系的判定和性质. . 一、探究新知一、探究新知 空间两条直线的位置关系有三种空间两条直线的位置关系有三种: :平行直线、相交直线和异面平行直线、相交直线和异面 直线直线. .在初中我们已经研究了平行直线和相交直线
2、在初中我们已经研究了平行直线和相交直线. .本节我们主要本节我们主要 研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系. . 如图如图8.6-1,8.6-1,在正方体在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中，直线中，直线ACAC与直线与直线ABAB， 直线直线ADAD与直线与直线ABAB都是异面直线，直线都是异面直线，直线ACAC与与ADAD相对于直线相对于直线ABAB 的位置相同吗的位置相同吗? ?如果不同，如何表示这种差异呢如果不同，如何表示这种差异呢? ? D D B B C C A A DDCC BB AA 我们知道，平面内
3、两条直线相交我们知道，平面内两条直线相交 形成形成4 4个角个角, ,其中不大于其中不大于9090的角称为的角称为 这两条直线所成的角这两条直线所成的角( (或夹角或夹角) )，它刻，它刻 画了一条直线相对于另一条直线倾斜画了一条直线相对于另一条直线倾斜 的程度的程度. . 类似地，我们也可以用类似地，我们也可以用“异异 面直线所成的角面直线所成的角”来刻画两条异面直来刻画两条异面直 线的位置关系线的位置关系. . 二、二、异面直线所成角异面直线所成角 研究研究异面直线所成异面直线所成 的角，就是通过平移把的角，就是通过平移把 异面直线转化为相交直异面直线转化为相交直 线线. .这是研究空间图
4、形这是研究空间图形 的一种基本思路，即把的一种基本思路，即把 空间图形问题转化为平空间图形问题转化为平 面图形问题面图形问题. . 如下图，如下图，已知两条异面直线已知两条异面直线a a、b b， 经过空间任一点经过空间任一点O分别作直线分别作直线a/aa/a， b/bb/b，我们把直线，我们把直线aa与与bb所成的角所成的角叫叫 做做异面直线异面直线a a与与b b所成的角所成的角( (或夹角或夹角) ). . a a b b aa bb O 如果两条异面直线所成的角是直角，如果两条异面直线所成的角是直角， 那么我们就说这两条那么我们就说这两条异面直线互相垂直异面直线互相垂直. . 直线直线
5、a a与直线与直线b b垂直，记作垂直，记作abab. . 当两条直线当两条直线a a、b b相互平行时，我们规定它们所成的角为相互平行时，我们规定它们所成的角为0 0 . . 所以所以空间两条直线所成角空间两条直线所成角的取值范围是的取值范围是0 0 9090 . . 直线直线a a、b b所成角所成角 的大小与点的大小与点O的位置的位置 有关吗有关吗? ?无关无关 异面直线所成的角的范围为异面直线所成的角的范围为(0, (0, 2 三、三、典型例题典型例题 例例1 1 如右图，已知正方体如右图，已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1. . (1) (1
6、)哪些棱所在的直线与直线哪些棱所在的直线与直线AAAA1 1垂直？垂直？ (2)(2)求直线求直线BABA1 1与与CCCC1 1所成角的大小所成角的大小. . (3)(3)求直线求直线BABA1 1与与A AC C所成角的大小所成角的大小. . 解：解：(1)(1)棱棱ABAB、BCBC、CDCD、DADA、A A1 1B B1 1、B B1 1C C1 1、 C C1 1D D1 1、D D1 1A A1 1所在所在直线与直线直线与直线AAAA1 1垂直垂直. . 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，因为因为CCCC1 1BBBB1 1，
7、(2)(2) 所以所以BB1 1BABA为直线为直线BABA1 1与与CCCC1 1所成的角所成的角. . 而而BB1 1BABA= =4545 ，于是直线于是直线BABA1 1与与B B1 1C C 的夹角是的夹角是4545 . . (3)(3)连接连接A A1 1C C1 1、BCBC1 1. . 则则BABA1 1C C1 1为直线为直线BABA1 1与与ACAC所成的角所成的角. . 从而直线从而直线BABA1 1与与ACAC所成的角等于所成的角等于6060 . . 而而A A1 1BCBC1 1是等边三角形，是等边三角形， D D B B C C A A D D1 1C C1 1 B
8、 B1 1 A A1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AC/AAC/A1 1C C1 1， 所以所以BABA1 1C C1 1=60=60 ， 三、三、典型例题典型例题 例例2 2 如右图，在正方体如右图，在正方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,O1 1 为底面为底面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的中心的中心, ,求证求证: :A AO1 1BD.BD. 证明：证明： D D B B C C A A D D1 1C C1 1 B B1 1 A A1 1 O1 1 连接连接
9、B B1 1D D1 1. . ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体，是正方体， BBBB1 1 DD DD1 1. . 四边形四边形BBBB1 1D D1 1D D是平行四边形是平行四边形. . BB1 1D D1 1/BD./BD. 直线直线A AO1 1与与B B1 1D D1 1所成的角即为直线所成的角即为直线A AO1 1与与BDBD所成的角所成的角. . 连接连接ABAB1 1、ADAD1 1， 又又O1 1为底面为底面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的中心的中心, , O1 1为为B B1 1D D1 1的中点，的中点， A
10、AO1 1BD.BD. AAO1 1B B1 1D D1 1. . 易证易证ABAB1 1=AD=AD1 1. . 例例3 3 如右图，正三棱柱如右图，正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，BC=CCBC=CC1 1=2.=2. 求直线求直线A A1 1C C与与B B1 1A A所成角的余弦值所成角的余弦值. . E E 解：解：连接连接A A1 1B B，交，交ABAB1 1于于E.E. 由棱柱的概念得由棱柱的概念得 四边形四边形BAABAA1 1B B1 1是平行四边形，是平行四边形， 所以所以E E为为BABA1 1的中点的中点. . 作作BCBC的中点的中
11、点D D，连接，连接DEDE、DADA，所以所以DEADEA1 1C.C. 三、三、典型例题典型例题 B B1 1 C C1 1 A A1 1 B BC C A A 则则AEDAED为直线为直线A A1 1C C与与B B1 1A A所成的角所成的角. . 由由BC=CCBC=CC1 1=2=2得得A A1 1C=BC=B1 1A=A=.2 22 2 所以所以ED=EA= ED=EA= .2 2又又DA= DA= ，3 3 在在AEDAED中由余弦定理得中由余弦定理得 cosAED=cosAED= 2 22 22 2 ) )3 3( () )2 2( () )2 2( ( 2 22 22 2
12、4 4 1 1 所以直线所以直线A A1 1C C与与B B1 1A A所成角的余弦值为所成角的余弦值为 . . 1 1 4 4 D D 你能平移你能平移ABAB1 1 来解此题吗？来解此题吗？ 四、课堂小结四、课堂小结 两条异面直线两条异面直线a a、b b，经过空间任一点，经过空间任一点O分别作直线分别作直线a/aa/a， b/bb/b，我们把直线，我们把直线aa与与bb所成的角所成的角叫做叫做异面直线异面直线a a与与b b所成的角所成的角 ( (或夹角或夹角) ). . 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条 异面直线互相垂
13、直异面直线互相垂直. .直线直线a a与直线与直线b b垂直，记作垂直，记作abab. . 当两条直线当两条直线a a、b b相互平行时，我们规定它们所成的角为相互平行时，我们规定它们所成的角为0 0 . . 所以所以空间两条直线所成角空间两条直线所成角的取值范围是的取值范围是0 0 9090 . . 1.1.异面直线所成的角：异面直线所成的角： 异面直线所成的角是通过平移把异面直线转化为相交直线异面直线所成的角是通过平移把异面直线转化为相交直线. . 2.2.异面直线互相垂直：异面直线互相垂直： 3.3.求两条异面直线所成角的步骤：求两条异面直线所成角的步骤： 选点选点平移平移定角定角计算计算 选选点点常取在两条异面直线中的一条上常取在两条异面直线中的一条上. . 平移平移常常利用三角形的中位线、平行四边形常常利用三角形的中位线、平行四边形. . 这样，异面直线所成的角的范围为这样，异面直线所成的角的范围为(0, (0, 2 2 五、巩固提升五、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第148148页练习第页练习第1 1、2 2、3 3、4 4题题 课堂作业课堂作业: : 第第162162页页习题习题8.68.6第第4 4、1111、1212、1919题题
