1、4.5 函数的应用（二）函数的应用（二） 知识梳理知识梳理 1、函数的零点 (1)零点的定义：对于函数yf(x)，我们把使f(x)0 的实数x叫做函数yf(x)的零点 (2)零点的几个等价关系：方程f(x)0 有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点 函数的零点不是函数yf(x)与x轴的交点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而 是一个实数. 2、函数的零点存在性定理 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么，函数yf(x)在区间 (a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也
2、就是方程f(x)0 的根 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个 区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 3、二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使 区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 4、给定精确度，用二分法求函数)(xfy 零点 0 x的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点 0 x的初始区间, ba，验证0)()(bfaf （2）求区间),( ba的中点 c （3）计算：)
3、(cf，并进一步确定零点所在的区间： 若0)(cf（此时cx 0 ），则 c 就是函数的零点； 若0)()(cfaf（此时),( cax 0 ），则令cb ； 若0)()(bfcf（此时),( bcx 0 ），则令ca （4）判断是否达到精确度：若|ba，则得到零点近似值 a（或 b）；否则重复步骤42 由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解 5、有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号 知
4、识典例知识典例 题型一零点存在定理 例 1设函数f(x)1 3xln x，则函数yf(x)() A在区间),( 1 1 e ，(1，e)内均有零点 B在区间),( 1 1 e ，(1，e)内均无零点 C在区间),( 1 1 e 内有零点，在区间(1，e)内无零点 D在区间),( 1 1 e 内无零点，在区间(1，e)内有零点 【解析】当x 1 e，e时，函数图象是连续的，且f(x)1 3 1 x x3 3x 0，f(1) 1 30，f(e) 1 3e10， 则函数yf(x)3x的零点个数是() A.0B.1C.2D.3 【答案】C 【解析】函数yf(x)3x的零点个数就是yf(x)与y3x两个
5、函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象 可知，零点个数为 2. 巩固练习巩固练习 已知函数 2 32 ,1 ( ) ,1 x x f x xx ，则函数 ( )( )2g xf x 的零点个数为_ 【答案】2 题型三二次函数零点问题 例 3 函数 2 21f xxmx的两个零点分别在区间0,11,2和之内，则实数m的取值范围为_ 【答案】 1 0 2 m 巩固练习巩固练习 已知( ) 1 | x f xm x 有零点，则实数m的取值范围是_ 【答案】(-1,1) 题型四二分法 例 4 若函数 32 22f xxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： ( ) 12f=
6、-1.50.625f1.250.984f 1.3750.260f 1.43750.162f1.406250.054f 那么方程 32 220 xxx 的一个近似根（精确到 0.1）为（） A1.4B1.3C1.2D1.5 【答案】A 【分析】 由表格中参考数据可得 (1.43750)0f ， (1.40625)0f ，结合题中要求精确到 0.1 可得答案 【详解】 由表格中参考数据可得 (1.43750)0f ， (1.40625)0f ， 又因为题中要求精确到 0.1， 所以近似根为 1.4 故选：A 巩固练习巩固练习 用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次计算得 f(0)0
7、，第二次应计算 f(x1)，则 x1_. 【答案】0.25 【分析】 由零点存在定理得零点在(0,0.5)上，区间中点即为下一步要计算的自变量的值 【详解】 f(0)f(0.5)0， f(x)在区间(0，0.5)内有零点 又 00.5 2 0.25， 第二次应计算 f(0.25)， 即 x10.25. 故答案为：0.25 题型五函数应用 例 5 光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的 1 10 ，要使通过玻璃的光线强度为原来的 1 2 以下，至少需要重叠这样 的玻璃板的块数为_（lg20.3010，lg30.4771） 【答案】7 【分析】 根据题意列出不等式，求解不等式即可. 【详解】 设至少
8、需x块玻璃板， 由题知 11 1 102 x ， 即 91 102 x ， 取对数 91 lglg 102 x ， 即(lg9lg10)lg2x ， 即(12lg3)lg2x， lg2 6.57 12lg3 x ， 7x 故答案为：7 巩固练习巩固练习 研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 3 1 log 2100 x y ，单位是/m s，其中 x 表示鲑鱼的耗氧量的单位数. （1）当一条鲑鱼的耗氧量是 8100 个单位时，它的游速是多少？ （2）计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数. （3）若鲑鱼 A 的游速大于鲑鱼 B 的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由. 【答案】（1）
9、2m/s；（2）一条鲑鱼静止时的耗氧量为 100 个单位；（3）鲑鱼 A 的耗氧量较大. 【分析】 （1）直接将数据代入函数解析式计算得到答案. （2）令0y ，得 3 1 log0 2100 x ，计算得到答案. （3）根据 AB yy得到 1 33 11 loglog 21002100 B xx ，解不等式得到答案. 【详解】 （1）将8100 x 代入函数关系式，得 3 11 log 8142 22 y ， 所以一条鲑鱼的耗氧量是 8100 个单位时，它的游速是2m/s. （2）令0y ，得 3 1 log0 2100 x ，即1 100 x ，则100 x ，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量
10、为 100 个单位. （3）鲑鱼 A 的耗氧量较大. 理由：由 AB yy，得 1 33 11 loglog 21002100 B xx ，即 33 loglog AB xx，则 AB xx， 所以鲑鱼 A 的耗氧量较大. 巩固提升巩固提升 1、函数 2 log4f xxx的零点所在的区间是（） A. 1,1 2 B.1,2C.2,3D.3,4 【答案】C 2、若函数f(x)x 22xa 没有零点，则实数a的取值范围是() A.(，1)B.(1，) C.(，1D.1，) 【答案】B 【解析】因为函数f(x)x 22xa 没有零点，所以方程x 22xa0 无实根，即44a1. 3、函数 2 3l
11、og () x f xx的零点所在的区间是（） A. 5 (, 2) 2 B.( 2, 1)C.1,2（）D. ,5 2 2 （ ， ） 【答案】B 4、若函数 32 ( )22f xxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： (1)2f (1.5)0.625f (1.25)0.984f (1.375)0.260f (1.438)0.165f(1.4065)0.052f 那么方程 32 220 xxx 的一个近似根（精确到 0.1）为（） A1.2B1.3C1.4D1.5 【答案】C 【分析】 由表中参考数据可得，(1.375)0.2600f ，(1.438)0.165
12、0f，又精确度为0.1，由二分法定义即可得答案. 【详解】 由表中参考数据可得，(1.375)0.2600f ，(1.438)0.1650f， 所以(1.375)(1.438)0ff，由二分法定义得零点应该存在于区间1.375,1.438内，又 精确度为0.1，且1.438 1.3750.1，故方程 32 220 xxx 的一个近似根为1.4. 故选：C 5、函数( )logaf xx（0a 且1a ）的自变量与函数值的一组近似值为 x 2345 y 0.30100.47710.60200.6990 则函数( )(2)2 x g xf x 的一个零点存在区间是（） A. 5 (2, ) 2 B
13、. 5 ( ,3) 2 C. 7 (3, ) 2 D. 7 (,4) 2 【答案】C 6、方程 2 23 x x 的实数解的个数为_ 【答案】2 7、二次函数 2 ( )2f xxkx在区间(2,5)上存在零点，则实数k的取值范围是_ 【答案】 23 (1,) 5 8、已知函数 2 10f xaxmxma. （1）若10f ，判断函数 fx的零点个数； （2）若对任意实数m，函数 fx恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围； 【答案】【答案】见解析;0 1a 9、某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为 a 亩，计划每年种植一些 树苗，且森林面积的年增长
14、率相同，当面积是原来的 2 倍时，所用时间是 10 年. （1）求森林面积的年增长率； （2）到今年为止，森林面积为原来的 2倍，则该地已经植树造林多少年？ （3）为使森林面积至少达到 6a 亩至少需要植树造林多少年？ （参考数据：lg20.3010，lg30.4771） 【答案】（1） 1 10 21x ；（2）5年；（3）至少还需要26年. 【分析】 （1）设增长率为x，依题意可得 10 12axa解得； （2）设已经植树造林n年，则 1 10 1 212 n aa 解得； （3）设至少还需要m年，则 1 10 1216 m aa 解得. 【详解】 解：（1）设增长率为x，依题意可得 10
15、 12axa 所以 1 1 10 10 10 12x 即 1 10 12x ，解得 1 10 21x （2）设已经植树造林n年，则 1 10 1 212 n aa 即 11 102 22 n 解得5n ，故已经植树造林5年. （3）设至少还需要m年，则 1 10 1216 m aa 即 1 10 26 m 即 222 1 log 6log 2log 3 10 m 解得 lg3 10 1025.8 lg2 m 故至少还需要26年 10、某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为 0.5 万元，但每生产 1 百台时又需可变成本（即需另增加投入） 0.25 万元，市场对此商品的需求量为 5 百台，销售收入（单位：万元）的函数为)(50 2 1 5 2 xxxR，其中 x 是 产品生产并售出的数量（单位：百台） （1）把利润表示为年产量的函数 （2）年产量为多少时，企业所得利润最大？ （3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？
