1、立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 第四章 指数函数与对数函数 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金 桥中桥中,方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们 可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一 切却经历了相当漫长的岁月切却经历了相当漫长的岁月. 约公元约公元50100年编成的年编成的 九章算术九章算术给出了一次给出了一次 方程、二次方程和正系数方程、二次方程和正系数 三次方程的
2、求解方法三次方程的求解方法. 情境引入 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解 1313世纪，南宋数学世纪，南宋数学 家家秦九韶秦九韶给出了求给出了求 任意次代数方程任意次代数方程的的 正根正根的解法。的解法。 1111世纪，北宋数学家世纪，北宋数学家贾宪贾宪给出了给出了 三次及三次以上三次及三次以上的方程的解法的方程的解法. . 情境引入 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解 国外数学家对方程求解亦有很多研究。国外数学家对方程求解亦有很多研究。 9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、世纪以后，先后发现了一次、
3、二次、三次、 四次方程的求解方法。四次方程的求解方法。 由于实际问题的需要，我们经常需要寻求由于实际问题的需要，我们经常需要寻求 函数函数y=f(x)的零点的零点。 情境引入 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 2021-8-4 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元 二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应 二次函数的零点. 例如，方程x2-5x+6=0的根为 x1=2,x2=3,则二次函数f(x)=x2-5x+6的零点就是2和3. y 6 3 x 02 在图像上显示为 情境引入 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 画出下列函数的图象 (1) f(x)=x-1 f(x)=x2-2x+1
4、 (2) f(x)= f(x)= (3) f(x)=2x -1 f(x)=log2x 1 x ,1 1,1 x x x 思考：当函数和x轴有交点时，其交点横坐标 与方程 f(x)=0的解有什么关系？ 再任意画几个函数的图象,观察其图象，看看其交 点横坐标与 f(x)=0的解有什么关系？ 情境引入 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 2021-8-4 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点 方程方程f(x)=0有实数根有实数根 函数函数y=f(x)有零点有零点 对于一般函数对于一般函数y=f(x), 我们把我们把使使f(x)=0的实数的实数x叫做叫做 函数函数y=f(x)的零点
5、。的零点。 函数的零点是点吗？函数的零点是点吗？ 答：不是。函数答：不是。函数y=f(x)的零点是方程的零点是方程f(x)=0的实数解，也的实数解，也 就是函数就是函数y=f(x)的图象与的图象与x x轴交点的轴交点的横坐标横坐标。 代数法代数法 图象法图象法 探索新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 2021-8-4 问题1 像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方 程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数 研究它的解的情况呢？ 由刚才的等价关系我们知道，求方程f(x) =0的 实数解，就是确定函数y=f(x)的零点，一般地， 对于不能用公式求解的方程f(x) =0，我们可以 把它
6、与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的 图象和性质找出零点，从而得到方程的解。 探索新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 对于二次函数 f(x)=x2-2x-3,观察它 的图象(图4.5-1),发现它在区间2, 4上 有零点。这时，函数图象与x轴有什么 关系?在区间-2, 0上是否也有这种关 系?你认为应如何利用函数 f(x)的取值 规律来刻画这种关系? 再任意画几个函数的图象，观察 函数零点所在区间，以及这一区间内 函数图象与x轴的关系，并探究用 f(x) 的取值刻画这种关系的方法.图4.5-1 2 1 1 -2 2 -1 34 -1 -2 -3 -4 0 y x 探索新知 立德
7、树人 和谐发展立德树人 和谐发展 可以发现，在零点附近，函数图 象是连续不断的，并且“穿过”x轴。 函数在端点x=2和x =4的取值异号， 即 f(2) f(4)0,函数 f(x)=x2-2x-3在区间 (2, 4)内有零点x =3,它是方程x2-2x-3=0 的一个根。 同样地，f(-2) f(0)0，函数 f(x)=x2-2x-3在(-2, 0)内有零点x=-1,它 是方程x2-2x-3=0的另一个根。 2 1 1 -2 2 -1 34 -1 -2 -3 -4 0 y x 探索新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 2021-8-4 观察函数的图象观察函数的图象 在区间在区间(a,b)
8、上上_(有有/无无)零点；零点； f(a) f(b)_0（或）（或） 在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零零 点；点；f(b) f(c) _ 0（或）（或） 在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零零 点；点；f(c) f(d) _ 0（或）（或） b a c 0 y x d 有 有 有 探索新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 如果函数如果函数 y=f(x) 在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断 的一条曲线，且有的一条曲线，且有 f(a) f(b)0 ，那么函数，那么函数 y=f(x)在区间在区间 (a,b) 内有零点，即内有零点，即存在存在 c (a,b
9、)，使得，使得 f(c) =0，这个，这个 c也就是方程也就是方程 f(x)=0 的解的解。 函数零点存在定理 探索新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 思考思考1：如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上有上有 f(a) f(b)0，那那 么么函数函数 y=f(x)在区间在区间 (a,b) 内内是否一定有零点是否一定有零点？ a b0 y x 思考思考2：如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上上是连续不断的一条 曲线，那么，那么函数函数 y=f(x)在区间在区间 (a,b) 内内是否一定有零点是否一定有零点？ a b 0 y x 这说明什么？这说明什么？ “在给定
10、区间在给定区间a,b上连续上连续”和和“f(a) f(b)0”这两个条件这两个条件 缺一不可缺一不可 探索新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 思考3：如果函数 y=f(x)在区间a,b上是一条连续 不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定 有f(a) f(b)0 ？ a b x y 0 这说明什么？这说明什么？ “在给定区间在给定区间a,b上连续上连续”和和“f(a) f(b)0”这两个条件这两个条件 是是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。充分不必要条件。 探索新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 问题问题4 如果函数 y=f(x) 在区
11、间a,b上的图象是连续不断 的一条曲线，且有 f(a) f(b)0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？ a b 0 y x 这又说明什么？这又说明什么？ 函数零点存在定理可以函数零点存在定理可以证明函数有零点，证明函数有零点，但但不能判定零不能判定零 点的个数。点的个数。 探索新知 立德树人 和谐发展 2021-8-4 例例1：求函数：求函数f（x）=lg(x-1)的零点的零点 求函数零点的步骤：求函数零点的步骤： (1)令令f(x)=0; (2)解方程解方程f(x)=0； (3)写出零点写出零点 例题讲解例题讲解 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展
12、 2021-8-4 由表由表4.5-1和图和图4.5-2可知可知 f(2)0， 即即f(2) f(3)0， 由函数零点存在定理可由函数零点存在定理可 知，这个函数在区间知，这个函数在区间(2,3) 内至少有一个零点内至少有一个零点。 解：用计算工具作出解：用计算工具作出x、f(x)的对应值表（表的对应值表（表4.5-1）和图象）和图象 （图（图4.5-2） 例例2 已知函数已知函数f(x)=lnx+2x6，能判断出函数，能判断出函数 零点大致在那个区间上吗？零点大致在那个区间上吗？ x 0 2 4 6 105 y 2 4 10 8 6 12 14 87643219 例题讲解例题讲解 立德树人
13、和谐发展立德树人 和谐发展 y=lnx和y=2x-6在(0,+)上都是增函数， f(x)=lnx+2x-6在(0,+)上是增函数， 又f(2)=ln2+2 260 函数在定义域(0,+)内仅有一个零点。 例题讲解例题讲解 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 请同学们练习课本P144 1题 思考：如何判断函数在某一特定区间内只有一个零点？ 如果函数如果函数 y=f(x) 在在a,b上上,图象是图象是连续连续的的, 并且在闭区间的两个端点上的函数值并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，互异， 即即f(a)f(b)0,且是且是单调单调函数函数,那么，这个函数那
14、么，这个函数 在在(a,b)内必有内必有惟一的一个零点惟一的一个零点。 函数零点存在定理的推论： 巩固练习巩固练习 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 2021-8-4 练习： ( B ) 是的零点所在的大致区间 x 2 lnx1.函数f(x) A 巩固练习巩固练习 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 函数函数 y =f (x) 有零点有零点 函数函数 y =f (x) 的图象与的图象与 x 轴有公共点轴有公共点 1 1、函数的零点与方程的解的关系：、函数的零点与方程的解的关系： 方程方程 f (x)=0 有实数解有实数解 2 2、判断在某个区间是否存在零点的方法、判断在某个区间是否存在零点的方法 如果函数如果函数 y=f(x) 在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断 的一条曲线，且有的一条曲线，且有 f(a) f(b)0 ，那么函数，那么函数 y=f(x)在区间在区间 (a,b) 内有零点，即内有零点，即存在存在 c (a,b)，使得，使得 f(c) =0，这个，这个 c也就是方程也就是方程 f(x)=0 的解的解。 函数零点存在定理 本节课同学们有什么收获和体会？ 课堂小结课堂小结 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 课后作业课后作业 作业本作业本A 1、 课本课本P155 第第2,3题题 2、金版金版P100-P101
