（2021新教材）人教A版高一数学（初升高）第1讲 集合的概念衔接讲义（原卷+解析）.zip

1 第第 1 1 讲讲 集合的概念集合的概念 1 1、集合的有关概念集合的有关概念 1.集合的概念集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简 称集. 2.表示方法表示方法：一般用大写字母或大括号表示集合，用小写字母表 , ,A B C , ,a b c 示集合中的元素. 3.集合相等集合相等：构成两个集合的元素完全一样. 4.集合元素的特性特性：确定性、互异性、无序性. 确定性确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合就确定了. 例如：“之间的偶数”构成集合，是这个集合的元素，而就 1102,4,6,8,101,3,5,7,9 不是它的元素；“较大的数” 、 “漂亮的花”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定 的. 互异性互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现. 例如：方程的解构成的集合是，而不是. 2 10 x 1 1,1 无序性无序性：集合中的元素没有固定的顺序，元素可以任意排列. 例如：和是同一个集合. 1,2 2,1 5.元素与集合的关系：（分“属于”与“不属于”两种） 如果是集合的元素，就说属于集合，记作； aAaAaA 如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作. aAaAaA 2 6.集合的分类 : : : 有有限限集集含含有有有有限限个个元元素素的的集集合合 无无限限集集含含有有无无限限个个元元素素的的集集合合 空空集集不不含含有有任任何何元元素素的的集集合合 7.常见数集的写法 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N 或 N N Z Q R 例 1.下列指定的对象能构成集合的是 . 大于 2 的整数；所有的正小数；所有的小正数；的近似值；高一年级优 秀的学生；方程的解；这个数； 2 10 x 361 1,2,0.5 242 6 例 2.用“”或“”填空. ； ； ； ； 0N Q 1 3 Q 1.2Z ； ； ； . 3R3Z4 N 3N 例 3.（1）已知三个实数构成一个集合，求应该满足的条件. 2 1, , x xx （2）已知集合的元素为，若且，求实数的值. P 2 1,3m mm 2P1P m 3 2 2、集合的表示集合的表示 1.列举法列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用大括号“”括起来表示集合的方法. 说明： 书写时，元素与元素之间用逗号分开； 一般不必考虑元素之间的顺序； 集合中的元素可以是数，点，代数式等； 列举法可表示有限集，也可以表示无限集.当元素个数比较少时用列举法比较简单； 若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列 举法表示； 对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能 用省略号，像自然数集用列举法表示为. N 1,2,3,4,5, 例 4.用列举法表示下列集合： 小于 4 的正偶数组成的集合； 绝对值小于 5 的所有整数的集合； 小于 6 的所有自然数的集合； 方程的所有实数根组成的集合； 2 0 xx 4 方程组的实数解组成的集合. 2 1 x xy 2.描述法描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法. 一般格式：，例如：. xA p x 2 230 ,1xxx yyx 说明：弄清集合代表元素是数还是点、还是集合或其他形式？ 例如：与是两个不同的集合. 2 ,32x yyxx 2 32y yxx 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：即代表整数集. 整数 Z 例 5.用描述法表示下列集合： 由大于 2 小于等于 26 的所有奇数组成的集合； 不等式的所有解组成的集合； 210 x 抛物线上的点组成的集合. 2 yx 例 6.设集合，且,求的值. 2 1, ,1,2,Ax xxBx ABx 5 例 7.已知，若集合中恰有 4 个元素，则（ ） 2,Pxxk xN P A. B. C. D. 67k67k56k56k 例 8.已知集合. 2 320,Ax axxaR （1）若，求的取值范围； A a （2）若中至多一个元素，求的取值范围. Aa 6 例 9.设实数集满足下面两个条件：；若，则. S1SaS 1 1 S a （1）求证：若，则； aS 1 1S a （2）若，则在中必含有其它两个数，试求出这两个数； 2SS （3）求证：集合中至少有三个不同的元素. S 7 跟踪训练跟踪训练 1.下列说法正确的个数为（ ） 集合与集合表示同一集合；集合与集合 1,3,5,7 0 2 , 9,7,5 1x yx 不是同一集合；集合与集合是同一个集合； 1y yx 2 1y yx 2 ,1x yyx 集合和集合是同一集合；集合和集合是同一集合；方程 2,33,2 2,33,2 的解集为. 2 560 xx 6, 1 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.用列举法表示下列集合： ； 6 , 2 xZ xN x ； 6 2 Z xN x . ,2 ,13,x yyxxxN 3. 用描述法表示下列集合： 正偶数集； 大于 2 的实数； 100 以内能被 3 整除的正整数. 8 4.已知且，则的值为（ ） 0,1,2,3a1,2,3a a A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知集合，那么（ ） 2 Ax xx A. B. C. D. 0A1A 1A 0,1A 6.给出下列说法： 集合用列举法表示为；实数集可以表示为或； 3 xN xx 1,0,1 x x为实数 R 方程组的解组成的集合为； 3 1 xy xy 1,2xy 其中不正确的有 .（把所有不正确的说法的序号都填上） 7.若集合，则实数的取值范围是 . 2 10Ax axax a 8.设集合是两个非空数集，定义集合，若， ,P Q ,PQab aP bQ 0,2,5P ，则中元素的个数为（ ） 1,2,6Q PQ A.9 B.8 C.7 D.6 9.定义集合运算：.设，则集合 ,ABz zxy xA yB 1,2A 0,2B 中所有元素之和为（ ） AB A.0 B.2 C.3 D.6 1 第第 1 1 讲讲 集合的概念集合的概念 1 1、集合的有关概念集合的有关概念 1.集合的概念集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简 称集. 2.表示方法表示方法：一般用大写字母或大括号表示集合，用小写字母表 , ,A B C , ,a b c 示集合中的元素. 3.集合相等集合相等：构成两个集合的元素完全一样. 4.集合元素的特性特性：确定性、互异性、无序性. 确定性确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合就确定了. 例如：“之间的偶数”构成集合，是这个集合的元素，而就 1102,4,6,8,101,3,5,7,9 不是它的元素；“较大的数” 、 “漂亮的花”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定 的. 互异性互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现. 例如：方程的解构成的集合是，而不是. 2 10 x 1 1,1 无序性无序性：集合中的元素没有固定的顺序，元素可以任意排列. 例如：和是同一个集合. 1,2 2,1 5.元素与集合的关系：（分“属于”与“不属于”两种） 如果是集合的元素，就说属于集合，记作； aAaAaA 如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作. aAaAaA 2 6.集合的分类 : : : 有有限限集集含含有有有有限限个个元元素素的的集集合合 无无限限集集含含有有无无限限个个元元素素的的集集合合 空空集集不不含含有有任任何何元元素素的的集集合合 7.常见数集的写法 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N 或 N N Z Q R 例 1.下列指定的对象能构成集合的是 . 大于 2 的整数；所有的正小数；所有的小正数；的近似值；高一年级优 秀的学生；方程的解；这个数； 2 10 x 361 1,2,0.5 242 6 【答案】 【解析】中指定的对象满足集合元素的三个性质：确定性，互异性，无序性，能构 成集合；中指定的对象不满足集合元素的确定性，中指定的对象不满足集合元素 的互异性，不能构成集合. 例 2.用“”或“”填空. ； ； ； ； 0N Q 1 3 Q 1.2Z ； ； ； . 3R3Z4 N 3N 【答案】；. 例 3.（1）已知三个实数构成一个集合，求应该满足的条件. 2 1, , x xx （2）已知集合的元素为，若且，求实数的值. P 2 1,3m mm 2P1P m 3 【答案】 （1）且；（2）. 0 x 1x 121 2 m 【解析】 （1）由集合元素的互异性可得：，解得且； 2 2 1 1 x x xx 0 x 1x （2）若且，则或，解得. 2P1P 2 2 31 m mm 2 1 32 m mm 121 2 m 2 2、集合的表示集合的表示 1.列举法列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用大括号“”括起来表示集合的方法. 说明： 书写时，元素与元素之间用逗号分开； 一般不必考虑元素之间的顺序； 集合中的元素可以是数，点，代数式等； 列举法可表示有限集，也可以表示无限集.当元素个数比较少时用列举法比较简单； 若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列 举法表示； 对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能 用省略号，像自然数集用列举法表示为. N 1,2,3,4,5, 例 4.用列举法表示下列集合： 小于 4 的正偶数组成的集合； 绝对值小于 5 的所有整数的集合； 小于 6 的所有自然数的集合； 4 方程的所有实数根组成的集合； 2 0 xx 方程组的实数解组成的集合. 2 1 x xy 【答案】；. 24, 3, 2, 1,0,1,2,3,40,1,2,3,4,51,0 2, 1 2.描述法描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法. 一般格式：，例如：. xA p x 2 230 ,1xxx yyx 说明：弄清集合代表元素是数还是点、还是集合或其他形式？ 例如：与是两个不同的集合. 2 ,32x yyxx 2 32y yxx 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：即代表整数集. 整数 Z 例 5.用描述法表示下列集合： 由大于 2 小于等于 26 的所有奇数组成的集合； 不等式的所有解组成的集合； 210 x 抛物线上的点组成的集合. 2 yx 【答案】；. 21226,x xkxkZ且 1 2 x x 2 , x yyx 例 6.设集合，且,求的值. 2 1, ,1,2,Ax xxBx ABx 【答案】. 1x 5 【解析】，或，解得或.当时，中元素 AB 2 2x xxx 2 2 xx xx 1x 2x 2x B 不满足互异性，故舍去，所以. 1x 例 7.已知，若集合中恰有 4 个元素，则（ ） 2,Pxxk xN P A. B. C. D. 67k67k56k56k 【答案】B. 【解析】若集合中恰有 4 个元素，则这 4 个元素为 3，4,5,6，所以. P67k 例 8.已知集合. 2 320,Ax axxaR （1）若，求的取值范围； A a （2）若中至多一个元素，求的取值范围. Aa 【答案】 （1）；（2）. 9 , 8 9 0, 8 【解析】 （1）若，则方程无解，所以且，解得 A 2 320axx0a 980a ； 9 8 a （2）当时，集合中只有一个元素，满足题意； 0a A 当时，若要使中至多一个元素，则，解得. 0a A980a 9 8 a 综上，的取值范围为 a 9 0, 8 例 9.设实数集满足下面两个条件：；若，则. S1SaS 1 1 S a （1）求证：若，则； aS 1 1S a 6 （2）若，则在中必含有其它两个数，试求出这两个数； 2SS （3）求证：集合中至少有三个不同的元素. S 【答案】 （1）见解析；（2）和；（3）见解析. 1 1 2 【解析】 （1）证明：若，则，则，即； aS 1 1 S a 1 1 1 1 S a 1 1S a （2）若，则，则； 2S 1 1 12 S 11 112 S （3）由（1）知，. aS 1 1 S a 1 1S a 下证：三者两两互不相等. 11 ,1 1 a aa 若，则，无实数根，故； 1 1 a a 2 10aa 1 1 a a 若，则，无实数根，故； 1 1a a 2 10aa 1 1a a 若，则，无实数根，故. 11 1 1aa 2 10aa 11 1 1aa 综上所述，集合中至少有三个不同的元素. S 7 跟踪训练跟踪训练 1.下列说法正确的个数为（ ） 集合与集合表示同一集合；集合与集合 1,3,5,7 0 2 , 9,7,5 1x yx 不是同一集合；集合与集合是同一个集合； 1y yx 2 1y yx 2 ,1x yyx 集合和集合是同一集合；集合和集合是同一集合；方程 2,33,2 2,33,2 的解集为. 2 560 xx 6, 1 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】C 【解析】正确，；正确， 0 2 , 9,7,51,3,7,51,3,5,7 1x yxR ；错误，前者是数集，后者是点集；正确，集合元素具有无序性； 1y yxR 错误，两者均表示点集，但是点的坐标不同；错误，方程的解为， 2 560 xx 1 1x ，故解集为.综上，正确个数为 3 个，选 C. 2 6x 1,6 2.用列举法表示下列集合： ； 6 , 2 xZ xN x ； 6 2 Z xN x . ,2 ,13,x yyxxxN 【答案】；. 0,1,3,4,5,86, 3, 2, 1,3,6 2,4 , 3,6 【解析】对于，要使，则，对应的， 6 2 Z x 0,1,3,4,5,8x 6 3,6, 6, 3, 2, 1 2x 中元素为，中元素为，所以， x 6 2x 6 ,0,1,3,4,5,8 2 xZ xN x 8 ；表示上的点集，只有 6 6, 3, 2, 1,3,6 2 Z xN x 2 ,13,yxxxN 两个点，所以. 2,4 , 3,6 ,2 ,13,2,4 , 3,6x yyxxxN 3. 用描述法表示下列集合： 正偶数集； 大于 2 的实数； 100 以内能被 3 整除的正整数. 【答案】；. 2 ,x xk kN2x xxR且3100,x xkxkN且 4.已知且，则的值为（ ） 0,1,2,3a1,2,3a a A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 5.已知集合，那么（ ） 2 Ax xx A. B. C. D. 0A1A 1A 0,1A 【答案】A 6.给出下列说法： 集合用列举法表示为；实数集可以表示为或； 3 xN xx 1,0,1 x x为实数 R 9 方程组的解组成的集合为； 3 1 xy xy 1,2xy 其中不正确的有 .（把所有不正确的说法的序号都填上） 【答案】 【解析】错误，；错误，正确的表示为或；方 3 0,1xN xxx x为实数 R 程组的解组成的集合正确的表示为或. 3 1 xy xy 1,2 1 , 2 x x y y 7.若集合，则实数的取值范围是 . 2 10Ax axax a 【答案】 0,4 【解析】若集合，则不等式无解. 2 10Ax axax 2 10axax 当时，原不等式无解，故符合题意； 0a 当时，无实数解，所以，解得. 0a 2 10axax 2 0 40 a aa 04a 综上所述，的取值范围是. a 0,4 8.设集合是两个非空数集，定义集合，若， ,P Q ,PQab aP bQ 0,2,5P ，则中元素的个数为（ ） 1,2,6Q PQ A.9 B.8 C.7 D.6 【答案】B 【解析】根据题意，选 B. 1,2,3,4,6,7,8,11PQ 9.定义集合运算：.设，则集合 ,ABz zxy xA yB 1,2A 0,2B 中所有元素之和为（ ） AB 10 A.0 B.2 C.3 D.6 【答案】D 【解析】根据题意，其所有元素之和为 6，选 D. 0,2,4AB