（2021新教材）人教A版高一数学（初升高）第15讲 指数函数衔接讲义（原卷+解析）.zip

1 第第 1515 讲讲 指数函数指数函数 1.指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. . x ya(01)aa且 xR 2.指数函数的图像及性质 函数名称指数函数 定义 函数叫做指数函数 x ya(01)aa且 1a 01a 图象 定义域 R 值域 0, 过定点 图象过定点，即当时， 0,1 0 x 1y 奇偶性非奇非偶 x ay x y (0,1) O 1y x ay x y (0,1) O 1y 2 单调性在上是增函数 R 在上是减函数 R 函数值的 变化情况 10 10 10 x x x ax ax ax 10 11 10 x x x ax ax ax 变化对图象 a 的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低 aa 例 1.在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）（2）（3）（4） 2 2xy ( 2)xy 2xy x y （5）（6）（7）（8）（，且 2 yx 2 4yx x yx(1)xya 1a ） 2a 例 2.比较下列各题中两个值的大小： （1）（2） 2.53.2 1.5,1.5 1.21.5 0.5,0.5 （3）（4） 0.31.2 1.5,0.8 111 344 333 , 442 比较大小问题的处理方法：1：看类型 2：同底用单调性 3:其它类型找中间量 3 例 3.函数的图象一定通过点 . 1 ( )101 x f xaaa 且 例 4.若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ (1)(0,1) x yabaa ） A.B. 10ab且010ab且 C.D. 010ab且11ab且 例 5. 二次函数与指数函数的图象只可能是 （ ） 2 yaxbx x b y a A BC D 例 6.解方程： . 2 2 214 1 2 16 x x 例 7.求下列不等式的解集： （1） ；（2） 2 8 2 1 3 3 x x 2 57 01 xxx aaaa 且 4 例 8.求函数的定义域和值域： （1）；（2） ； 2 2 1 2 x x y 21 1 3 9 x y （3）；（4） 1 2 3 x y 2 34 2 xx y 例 9.（1）求函数的单调区间； 2 3 xx y （2）求函数的单调减区间. 2 23 4 5 xx f x 5 例 10.方程的实数解的个数为 . 2 23 x x 跟踪训练跟踪训练 1.下列函数中，可以称为指数函数的是（ ） A.B.C.D. 2xy 1 3xy x yx31 x ya 2.下列关系式中正确的是 （ ） A.B. 21 33 1.5 11 2 22 12 33 1.5 11 2 22 C.D. 21 33 1.5 11 2 22 12 33 1.5 11 2 22 3.设满足，下列不等式中正确的是（ ） , a b01ab A. B. C. D. ab aa ab bb aa ab bb ba 4.函数的图象如图，其中为常数，则下列结论正确的是（ ） x b f xa , a b AB 1,0ab1,0ab CD 01,0ab01,0ab 6 5.指数函数，的图象如图,则与 1 的大小 x ya x yb x yc x yd, , ,a b c d 关系是（ ） A.B. 1abcd 1badc C.D. 1abcd1abdc 6.函数图象的大致形状是 ( ) (01) x xa ya x A B CD 7.已知指数函数图像经过点，则_. 1,3P 3f 7 8.函数的图象恒过定点_. 3 301 x yaaa 且 9.如果指数函数在上是减函数，那么实数的取值范围是_. 1 x f xa Ra 10. 若函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围分 101 x yabaa且 , a b 别是_. 11. 方程的实根的个数为_. 22 x x 12. 解方程：（1） ；（2） 1 92 327 xx 642 9 xxx 13. 解不等式：（1） ；（2） 2741 11 33 xx 2 2741 01 xx aaaa 且 8 14. 求函数的值域. 2 281 1 31 3 xx yx 15. 讨论函数的单调性. 1 11 2 42 xx y 16. 已知函数. 2 01 1 xx a f xaaaa a 且 (1) 判断的单调性和奇偶性； f x (2) 当时，解不等式. 1,1x 2 110fmfm 9 1 第第 1515 讲讲 指数函数指数函数 1.指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. . x ya(01)aa且 xR 2.指数函数的图像及性质 函数名称指数函数 定义 函数叫做指数函数 x ya(01)aa且 1a 01a 图象 定义域 R 值域 0, 过定点 图象过定点，即当时， 0,1 0 x 1y 奇偶性非奇非偶 x ay x y (0,1) O 1y x ay x y (0,1) O 1y 2 单调性在上是增函数 R 在上是减函数 R 函数值的 变化情况 10 10 10 x x x ax ax ax 10 11 10 x x x ax ax ax 变化对图象 a 的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低 aa 例 1.在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）（2）（3）（4） 2 2xy ( 2)xy 2xy x y （5）（6）（7）（8）（，且 2 yx 2 4yx x yx(1)xya 1a ） 2a 【答案】 （1） （2） （3） （5） （6） （7）不是 例 2.比较下列各题中两个值的大小： （1）（2） 2.53.2 1.5,1.5 1.21.5 0.5,0.5 （3）（4） 0.31.2 1.5,0.8 111 344 333 , 442 【答案】 （1）；（2）；（3）；（4） 111 344 333 442 比较大小问题的处理方法：1：看类型 2：同底用单调性 3:其它类型找中间量 3 例 3.函数的图象一定通过点 . 1 ( )101 x f xaaa 且 【答案】 1,2 例 4.若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ (1)(0,1) x yabaa ） A.B. 10ab且010ab且 C.D. 010ab且11ab且 【答案】A 【解析】依题意该函数为增函数且在轴截距为负， y 所以，解得，选 A. 0 1 10 a ab 10ab且 例 5. 二次函数与指数函数的图象只可能是 （ ） 2 yaxbx x b y a A BC D 【答案】A 4 【解析】由指数函数可知同号且不相等， x b y a , a b 则二次函数的对称轴可排除 B 与 D， 2 yaxbx 0 2 b x a C 错误：易知，所以，此时单调递增， 12 101 2222 xxb a 1 b a x b y a A 正确：易知，所以，此时单调递减. 12 101 2222 xxb a 01 b a x b y a 例 6.解方程： . 2 2 214 1 2 16 x x 【答案】 3 1 2 x 或 【解析】由得， 2 2 214 1 2 16 x x 2 2 2 42 2144 222 x x x 所以，解得. 2 21442xx 3 1 2 x 或 例 7.求下列不等式的解集： （1） ；（2） 2 8 2 1 3 3 x x 2 57 01 xxx aaaa 且 【答案】 （1）；（2）时解集为，时解集为 2,4 01a 1,7 1a , 17, 【解析】 （1）由得，所以，解得， 2 8 2 1 3 3 x x 2 82 33 xx 2 82xx 24x 故解集为； 2,4 （2）当时，由得，解得； 01a 2 57xxx aa 2 57xxx17x 5 当时，由得，解得或， 1a 2 57xxx aa 2 57xxx1x 7x 综上所述，时解集为，时解集为. 01a 1,7 1a , 17, 例 8.求函数的定义域和值域： （1）；（2） ； 2 2 1 2 x x y 21 1 3 9 x y （3）；（4） 1 2 3 x y 2 34 2 xx y 【答案】 （1）定义域为，值域为；（2）定义域为，值域为； R 1 , 2 1 , 2 0, （3）定义域为，值域为；（4）定义域为，值域为. R 1,4,1 1,4 2 【解析】 （1）定义域为，且为减函数， R 2 2 2111xxx 1 2 x y ，值域为； 2 21 111 222 x x 1 , 2 （2）由得，解得，定义域为， 21 1 30 9 x 212 1 33 9 x 212x 1 2 x 1 , 2 由可知，值域为； 21 1 30 9 x 0y 0, （3）定义域为，且为减函数， R 10 x 2 3 x y ，值域为； 10 22 1 33 x y 1, （4）由解得，定义域为， 2 340 xx41x 4,1 由可知， 2 340 xx 2 340 221 xx y 且，则， 2 2 32525 34 244 xxx 2 255 34 42 2224 2 xx y 6 值域为. 1,4 2 例 9.（1）求函数的单调区间； 2 3 xx y （2）求函数的单调减区间. 2 23 4 5 xx f x 【答案】 （1）单调增区间为，单调减区间为； 1 , 2 1 , 2 （2）单调减区间为. 1, 【解析】 （1）定义域为，是由，复合而成的， R 2 3 xx y 3ty 2 txx 为增函数，在上为增函数，在上为减函数， 3ty 2 txx 1 , 2 1 , 2 由复合函数单调性的同增异减性可知： 的单调增区间为，单调减区间为； 2 3 xx y 1 , 2 1 , 2 （2）定义域为，是由和复合而成的， R 2 23 4 5 xx f x 4 5 t y 2 23txx 为减函数，在上为减函数，在上为增函数， 4 5 t y 2 23txx ,11, 的单调减区间为. 2 23 4 5 xx f x 1, 例 10.方程的实数解的个数为 . 2 23 x x 【答案】2 【解析】由得，画出函数的图象， 2 23 x x 2 23 x x 2 23 x yyx 与 7 由图可知函数的图象有两个交点，故方程的实数解的个数为 2 23 x yyx 与 2 23 x x 2. 跟踪训练跟踪训练 1.下列函数中，可以称为指数函数的是（ ） A.B.C.D. 2xy 1 3xy x yx31 x ya 【答案】A 2.下列关系式中正确的是 （ ） A.B. 21 33 1.5 11 2 22 12 33 1.5 11 2 22 C.D. 21 33 1.5 11 2 22 12 33 1.5 11 2 22 【答案】C 3.设满足，下列不等式中正确的是（ ） , a b01ab A. B. C. D. ab aa ab bb aa ab bb ba 【答案】C 8 【解析】A 错误：由指数函数在上为减函数且可知； 01 x yaa0, ab ab aa B 错误：由指数函数在上为减函数且可知； 01 x ybb0, ab ab bb C 正确：由幂函数在上为增函数且可知； 01 a yxa0, ab aa ab D 错误：由幂函数在上为增函数且可知，故选 C. 01 b yxb0, ab bb ab 4.函数的图象如图，其中为常数，则下列结论正确的是（ ） x b f xa , a b AB 1,0ab1,0ab CD 01,0ab01,0ab 【答案】D 【解析】由图知为减函数， x b f xa 01a 又，即，选 D. 0 01 b faa 0b 0b 5.指数函数，的图象如图,则与 1 的大小 x ya x yb x yc x yd, , ,a b c d 关系是（ ） A.B. 1abcd 1badc C.D. 1abcd1abdc 9 【答案】B 【解析】 作直线与四个图形分别交于四点，则 1x , ,A B C D ，由图可知，故选 B. 1,1,1,1,AaBbCcDd 1badc 6.函数图象的大致形状是 ( ) (01) x xa ya x A B CD 【答案】D 【解析】易知且，选 D. ,0 ,0 x x x axxa y x ax 01a 7.已知指数函数图像经过点，则_. 1,3P 3f 【答案】 1 27 【解析】设该指数函数为，将点代入得，解得， x f xa1,3P 1 1 13fa a 1 3 a 10 ，. 1 3 x f x 3 11 3 327 f 8.函数的图象恒过定点_. 3 301 x yaaa 且 【答案】 3,4 9.如果指数函数在上是减函数，那么实数的取值范围是_. 1 x f xa Ra 【答案】 1,2 【解析】在上是减函数，解得， 1 x f xa R011a 12a 所以的取值范围是. a 1,2 10. 若函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围分 101 x yabaa且 , a b 别是_. 【答案】， 0,1,0 【解析】依题意该函数为减函数且在轴截距为负， y 所以，解得，所以的取值范围分别是，. 0 01 10 a ab 010ab且 , a b 0,1,0 11. 方程的实根的个数为_. 22 x x 【答案】2 【解析】由得，作出和的图象， 22 x x22 x x 2 x y 2yx 11 由图可知两个函数图象有 2 个交点，故方程由 2 个实根. 12. 解方程：（1） ；（2） 1 92 327 xx 642 9 xxx 【答案】 （1）；（2） 2x 0 x 【解析】 （1）， 1 92 327 xx 1 92 3270 xx ， 2 36 3270 xx 39330 xx ，； 2 393 x 2x （2）， 642 9 xxx 24 2 39 xx ， 2 22 20 33 xx 22 120 33 xx ，. 0 22 1 33 x 0 x 13. 解不等式：（1） ；（2） 2741 11 33 xx 2 2741 01 xx aaaa 且 【答案】 （1）；（2）时，时. 3x 01a13x 1a 13xx 或 【解析】 （1），解得； 2741xx3x （2）若，则，解得； 01a 2 2741xx13x 若，则，解得. 1a 2 2741xx13xx 或 12 14. 求函数的值域. 2 281 1 31 3 xx yx 【答案】 99 3 ,3 【解析】当时， 31x 2 2 2812299,9xxxx 是减函数，值域为，即. 1 3 x y 99 11 , 33 99 3 ,3 15. 讨论函数的单调性. 1 11 2 42 xx y 【答案】单调增区间为，减区间为. 0,0 【解析】定义域为，是由和 R 12 1111 222 4222 xxxx y 2 22ytt 复合而成的， 1 0 2 x tt 为减函数，在，即上为减函数，在，即 1 2 x t 2 22ytt0,1t0,x1,t 上为增函数， 0 x 的单调增区间为，减区间为. 1 11 2 42 xx y 0,0 13 16. 已知函数. 2 01 1 xx a f xaaaa a 且 (1) 判断的单调性和奇偶性； f x (2) 当时，解不等式. 1,1x 2 110fmfm 【答案】 （1）在上单调递增，为奇函数；（2）. f x R12m 【解析】 （1）定义域为，任取且， f x R12 ,x xR 12 xx 则 12 112212 12 12 222 111 xx xxxxxx xx aaaaa f xf xaaaaaa aaaaa ， 12 12 2 1 1 1 xx xx a aa aa 当时，则，即； 01a 2 0 1 a a 12 0 xx aa 12 0f xf x 12 f xf x 当时，则，即， 1a 2 0 1 a a 12 0 xx aa 12 0f xf x 12 f xf x 综上所述，对任意的，均有， 12 xx 12 f xf x 故在上单调递增， f x R ，为奇函数； 2 1 xx a fxaaf x a f x （2）由是奇函数知等价于， f x 2 110fmfm 22 111fmfmf m 由在上单调递增，所以，解得. f x1,1x 2 2 111 111 11 m m mm 12m 14