（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业01：等差数列及其前n项和A卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 01等差数列及其前 n 项和 A 卷 一、单选题（共 20 分） 1.在等差数列中，则此数列的前 8 项和是（ ） 2+ 24+ 8= 20 A.30B.40C.50D.60 2.等差数列的公差，且，则的通项公式是（ ） 015 0 0 C.与均为的最大值D. 678 0 6.设正项等差数列满足，则（ ） (1+ 10)2= 229+ 20 A.的最大值为B.的最大值为 29 10 2+ 9 2 10 C.的最大值为D.的最小值为 1 2 2 + 1 2 9 1 5 4 2+ 4 9200 三、填空题（共 10 分） 7.中国古代数学名著算法统宗中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七， 要将第八数来言”.题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，依次每人分到的比前一人多 17 斤，那么第八个儿子分到的绵是 _斤. 8.已知数列、满足，且数列是等差数列，若，则数列的前 n 项和_. = 23= 210= 9 四、解答题（共 34 分） 9.设为等差数列的前 项和， 7= 492+ 8= 18 （1）求数列的通项公式； （2）若、成等比数列，求. 3173 10.已知等差数列前三项的和为，前三项的积为 8 3 （1）求等差数列的通项公式； （2）若成等比数列，求数列的前 20 项和. 2,3,1|20 11.已知数列满足，数列的前 项和为，且 1= 1 + 1= + 2 = 2 （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前 项和 = + 暑假作业 01等差数列及其前 n 项和 A 卷 一、单选题（共 20 分） 1.在等差数列中，则此数列的前 8 项和是（ ） 2+ 24+ 8= 20 A.30B.40C.50D.60 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差中项可得，再根据，即可求出结果. 4+ 5= 101+ 8= 4+ 5 【详解】 因为是等差数列，所以，所以， 2+ 24+ 8= 2(4+ 5)= 204+ 5= 10 所以. 8= (1+ 8) 8 2 = (4+ 5) 8 2 = 40 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了等差中项的应用，和等差数列前 项和公式的应用，属于基础题. 2.等差数列的公差，且，则的通项公式是（ ） 0 24= 121+ 5= 8 A.B. = 22= 2 + 4 C.D. = 2 + 10= 2 + 12 【答案】C 【解析】 【分析】 由于数列为等差数列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的两个 1+ 5= 2+ 4= 824= 122 ， 428 + 12 = 0 根，由可知，所以，从而可求出，可得到通项公式. 42= 6,4= 21, 【详解】 解：因为数列为等差数列，所以， 1+ 5= 2+ 4= 8 因为，所以可以看成一元二次方程的两个根， 24= 122 ， 428 + 12 = 0 因为，所以， 8 因为 2 月 23 日新增确诊病例数为 0，所以，所以数列不是递增数列，所以选项 B 错误; 33= 34 因为 1 月 31 日新增病例数最多，从 1 月 21 日算起，1 月 31 日是第 11 天，所以数列的最大项是，所以选项 C 正确; 11 数列的最大项是最后项，所以选项 D 错误, 故选：C. 【点睛】 本题主要考查折线图与数列的性质、数列前 n 项的和等知识，注意灵活分析图中数据进行判断. 4.在等差数列中，其前 项和为，若，则（ ） 1= 2018 15 15 10 10 = 5 2020= A.0B.2018C.D.2020 2019 【答案】D 【解析】 【分析】 根据等差数列前 n 项和性质可知为等差数列，进而求得等差数列的公差，即可由等差数列的前 n 项和公式求解. 【详解】 设等差数列的公差为 d， 由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为 . = 1+ 1 2 2 ， 15 15 10 10 = 5 ， 5 2 = 5 解得. = 2 则. 2020= 2020 (2018)+ 2020 2019 2 2 = 2020 故选：D. 【点睛】 本题考查了等差数列前 n 项和公式的简单应用，属于基础题. 二、多选题（共 10 分） 5.设等差数列的前n项和是，已知，正确的选项有（ ） 14 015 0 0 C.与均为的最大值D. 678 07+ 8 015 08 0 015 0 7+ 8 0 ，即，则； 15= 15 (1+ 15) 2 = 158 0 8 0 故等差数列的前 7 项为正数，从第 8 项开始为负数， 则，. 1 0 0 则有为的最大值.故 A，B，D 正确； 7 故选：ABD. 【点睛】 本题考查等差数列的性质以及等差数列的前 项和性质，属于基础题 6.设正项等差数列满足，则（ ） (1+ 10)2= 229+ 20 A.的最大值为B.的最大值为 29 10 2+ 9 2 10 C.的最大值为D.的最小值为 1 2 2 + 1 2 9 1 5 4 2+ 4 9200 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质，求得的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项. 2,9 【详解】 因为正项等差数列满足， (1+ 10)2= 229+ 20 所以， (2+ 9)2= 229+ 20 即. 2 2+ 2 9= 20 ，当且仅当时成立，故 A 选项正确. 29 2 2+ 2 9 2 = 20 2 = 10 2= 9=10 由于，所以，当且仅当时成立，故 B 选项正确. ( 2+ 9 2) 2 2 2+ 2 9 2 = 10 2+ 9 2 10,2+ 9 2 10 2= 9=10 ，当且仅当时成立， 1 2 2 + 1 2 9 = 2 2+ 2 9 2 2 2 9 = 20 2 2 2 9 20 ( 22+ 29 2) 2 = 20 102 = 1 5 2= 9=10 所以的最小值为 ，故 C 选项错误. 1 2 2 + 1 2 9 1 5 结合的结论，有， 4 2+ 4 9=( 2 2+ 2 9) 222 2 2 9= 4002 2 2 2 9 4002 10 2= 200 当且仅当时成立，故 D 选项正确. 2= 9=10 故选：ABD 【点睛】 本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题. 三、填空题（共 10 分） 7.中国古代数学名著算法统宗中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七， 要将第八数来言”.题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，依次每人分到的比前一人多 17 斤，那么第八个儿子分到的绵是 _斤. 【答案】184 【解析】 【分析】 根据题意，构造等差数列，根据数列的基本量求得通项公式，再求其第八项即可. 【详解】 设第 个儿子分的的盘缠为，由题可知数列的公差； = 17 又因为.故可得，则， 8= 996 8(1+ 8) 2 = 996 81+ 28 = 996 解得，故可得. 1= 658= 1+ 7 = 184 故答案为：. 184 【点睛】 本题考查等差数列通项公式和前 项和的基本量的计算，属基础题. 8.已知数列、满足，且数列是等差数列，若，则数列的前 n 项和_. = 23= 210= 9 【答案】21 【解析】 【分析】 根据是等差数列，且，利用“”法，求得，再由，求得，利用等比数列前 n 项和公 3= 210= 91,= 2= 21 式求解. 【详解】 是等差数列，且， 3= 210= 9 ， 1+ 2 = 2,1+ 9 = 9 解得， 1= 0, = 1 ， = 1 ， = 21 故是的前 n 项和. = 21 21 = 21 故答案为：21 【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的前 n 项和，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题（共 34 分） 9.设为等差数列的前 项和， 7= 492+ 8= 18 （1）求数列的通项公式； （2）若、成等比数列，求. 3173 【答案】 （1）；（2）. = 21 1089 【解析】 【分析】 （1）先由题设条件求出等差数列的公差，再求出其通项公式； （2）由、成等比数列求出，再代入前 项和公式求出 317 3 【详解】 （1）设等差数列的公差为 ， 为等差数列的前 项和， 7= 492+ 8= 18 ，解得， 7= 74= 49 2+ 8= 25= 18 4= 7 5= 9 = 54= 2 ； = 4+(4) = 21 （2）由（1）知， = (1+ ) 2 = (1 + 21) 2 = 2 、成等比数列，即，解得， 317 3= 2 1792= 332 = 11 因此， 3= 332= 1089 【点睛】 本题考查等差数列基本量的求法及前 项和公式，考查计算能力，属于基础题 10.已知等差数列前三项的和为，前三项的积为 8 3 （1）求等差数列的通项公式； （2）若成等比数列，求数列的前 20 项和. 2,3,1|20 【答案】 （1），或；（2）500 = 3 + 5= 37 【解析】 【分析】 （1）设等差数列的的公差为 ，则，建立方程组求解； 2= 1+ 3= 1+ 2 （2）由（1）可知，根据项的正负关系求数列的前 20 项和. = 37|20 【详解】 解：（1）设等差数列的公差为 ，则， 2= 1+ 3= 1+ 2 由题意得，解得或， 31+ 3 = 3 1(1+ )(1+ 2)= 8 1= 2 = 3 1= 4 = 3 所以由等差数列通项公式可得或 = 23(1) = 3 + 5= 4 + 3(1) = 37 故或； = 3 + 5= 37 （2）当时，分别为，2，不成等比数列； = 3 + 52,3,1 14 当时，分别为，2，成等比数列，满足条件 = 372,3,1 14 故， |=|37|=3 + 7, = 1,2 37, 3 记数列的前 项和为，. = (311) 2 . 20=|1|+|2|+ +|20|= (1+ 2)+(3+ + 20)= 2022= 500 【点睛】 本题考查等比数列，等差数列的简单应用，以及含绝对值数列的前 项的和. 11.已知数列满足，数列的前 项和为，且 1= 1 + 1= + 2 = 2 （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前 项和 = + 【答案】 （1），；（2） = 21 =(1 2) 1 = 2+ 2(1 2) 1 【解析】 【分析】 （1）由已知条件得 an+1an2，利用等差数列的通项公式即可得出 an；且，当时，bnSnSn1，当 n1 时， = 2 2 ，利用等比数列的通项公式即可得出 bn； 1= 1 （2）由（1）得，利用分组求和求和即可. = + = 21 +(1 2) 1 【详解】 （1）因为，所以为首项是 1，公差为 2 的等差数列，所以 1= 1 + 1= 2= 1 +(1) 2 = 21 又当时，所以， = 1 1= 1= 211= 1 当时， 2 = 2 1= 21 由得，即（） ， = + 1 1 = 1 2 2 所以是首项为 1，公比为 的等比数列，故 1 2 =(1 2) 1 （2）由（1）得， = + = 2 + 1 +(1 2) 1 所以 = (1 + 21) 2 + 1(1 2) 11 2 = 2+ 2(1 2) 1 【点睛】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，属于基础题