（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业04：数列求前n项和B卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 04数列求前 n 项和 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.如图，在杨辉三角中，斜线 l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，将该数列 中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（ ） 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 2020 = A.B.C.D. 2020 2021 2019 2020 4021 2020 4040 2021 2.已知数列的各项都小于 1，记，则（ ） 1= 1 2, 2 + 12 + 1= 2 ( ) = 1+ 2+ + 10 A.B.C.D. (0, 1 2) ( 1 2, 3 4) ( 3 4,1)(1,2) 3.设数列的前 项和为已知且，若，则 的最大值为（ ） + 1+ = 2 + 3( )= 13002 1 991001 0 991 1001 0 A.0 1 B.991011 1 三、填空题(共 10 分) 7.已知数列满足，且 ， 1= 4 + 1= 4 4 () = (12)(22) + (22)(32) + (32)(42) + + (2)( + 12) 若对，都有恒成立，则实数 m 的最小值为_. 3( )() 22 8.设等比数列的前 项和为，若，则_. 5= 210 5+ 415 105 = 四、解答题(共 36 分) 9.已知等差数列的公差，且，成等比数列，若数列满足 0 1+ 2+ 3= 6,24,8 1 2 + 2 3 + + + 1 = 1 2 3 + 13 2, （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前 项和 10.已知数列的前 项和为满足. (1)= 1+ 2(2, ),1= 1 （1）求的通项公式； （2）设，数列的前 n 项和为，证明. = + 1 ( + 2)2 5 16 11.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（） ()= ( + )2 1 2 2 ()=3(0， + ) （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项和 = 暑假作业 04数列求前 n 项和 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.如图，在杨辉三角中，斜线 l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，将该数列 中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（ ） 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 2020 = A.B.C.D. 2020 2021 2019 2020 4021 2020 4040 2021 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意数列中，观察数列特点可知,利用累加法,易求得,由裂项求和计 1= 1,2= 3,3= 6,4= 101= = ( + 1) 2 算可得出结果. 【详解】 根据题意数列中,观察数列特点可知,利用累加法可求得得， 1= 1,2= 3,3= 6,4= 101= = ( + 1) 2 ，. 1 = 2 (1) = 2(1 1 + 1) 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 2020 = 2(1 1 1 2) + 2(1 2 1 3) + + 2( 1 2020 1 2021) = 4040 2021 故选:D. 【点睛】 本题归纳推理,考查累加法求数列的通项公式,考查裂项求和的方法求数列的和,属于中档题. 2.已知数列的各项都小于 1，记，则（ ） 1= 1 2, 2 + 12 + 1= 2 ( ) = 1+ 2+ + 10 A.B.C.D. (0, 1 2) ( 1 2, 3 4) ( 3 4,1)(1,2) 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，将变形为，由此推出以及，所以可以得到，再 2 + 12 + 1= 2 + 1 = 1 + 12 0 1 + 1 0 1) 将变形为，最后把展开，由的范围得到的范围. 2 + 12 + 1= 2 ( 2 + 1 + 1)( 2 ) = + 1 1010 【详解】 由，得， 2 + 12 + 1= 2 + 1 = 1 + 12 由于，与同号，而，于是， 0 00 1 ， + 1 = 1 + 12 01 12 = 1 + 1 0 1) 又，变形得， 2 + 12 + 1= 2 ( 2 + 1 + 1)( 2 ) = + 1 ， = 1+ 2+ + = 1+ (2 22)( 2 11) + + ( 2 )( 2 11) = 1+ (2 )( 2 11) = ( 1 2) 2+1 2 ， 10= (101 2) 2+1 2 而， 0 10 1 2 1 2 10 3 4 故选：B 【点睛】 本题主要考查数列递推关系的应用和裂项相消求和，关键是找出数列通项公式和前 项和的关系，考查学生转化和计算能力，属 于难题. 3.设数列的前 项和为已知且，若，则 的最大值为（ ） + 1+ = 2 + 3( )= 13002 3 A.49B.50C.51D.52 【答案】A 【解析】 【分析】 对 分奇偶性分别讨论，当 为偶数时，可得，发现不存在这样的偶数能满足此式，当 为奇数时，可得 = 2+ 3 2 ，再结合可讨论出 的最大值. = 1+ 2+ 34 2 2 3 【详解】 当 为偶数时， = (1+ 2) + (3+ 4) + (1+ ) = (2 1 + 3) + (2 3 + 3) + 2(1) + 3 ， = 2 1 + 3 + (1) + 3 2 = 2+ 3 2 因为， 48= 482+ 3 48 2 = 1224,50= 502+ 3 50 2 = 1325 所以 不可能为偶数； 当 为奇数时， = 1+ (2+ 3) + (4+ 5) + (1+ ) = 1+ (2 2 + 3) + (2 4 + 3) + 2(1) + 3 = 1+ 2+ 34 2 因为， 49= 1+ 492+ 3 494 2 = 1+ 1272 ， 51= 1+ 512+ 3 514 2 = 1+ 1375 又因为，所以 2 2 所以当时， 的最大值为 49 = 1300 故选：A 【点睛】 此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题. 4.已知是首项为 1 的等差数列，是公比为 的等比数列，已知数列的前 项和为，则数列的前 1 2 = 32 + 3 2 项和（ ） A.B.C.D. ( + 3) 26(23) 2 + 1+ 6(23) 2+ 4(21) 2 + 1+ 2 【答案】B 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为 ，利用可得，利用可得，由此可得 1= 11= 35 2 1= 1 2 2= 11+ 22= 37 4 = 2 ，再利用错位相减法可得结果. = (21) 2 【详解】 设等差数列的公差为 ， 依题意得， = 1 + (1) = 1 (1 2) 所以，又， 1= 11= 1 1= 32 1 + 3 21 = 1 2 所以， 1= 1 2 ， 2= 11+ 22= 1 2 + (1 + ) (1 2) 2 2= 32 2 + 3 22 = 5 4 所以，解得， 1 2 + (1 + ) 1 4 = 5 4 = 2 所以， = 21 = 1 2 所以 ， = (21) 2 令， = 1 2 + 3 22+ 5 23+ + (23) 21+ (21) 2 则， 2= 1 22+ 3 23+ 5 24+ + (23) 2+ (21) 2 + 1 所以， 2= 1 2 + 23+ 24+ 25+ + 2 + 1(21) 2 + 1 所以， = 2 + 23(121) 12 (21) 2 + 1 所以. = (23) 2 + 1+ 6 故选：B 【点睛】 本题考查了等差、等比数列的通项公式，考查了等比数列的前 项和公式，考查了错位相减法求和，属于中档题. 二、多选题(共 10 分) 5.如图，已知点 是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足 ( ) ( ) ，其中数列是首项为 1 的正项数列，是数列的前 项和，则下列结论正确的是（ = + 1 2(2+ 3) ） A.B.数列是等比数列 3= 13+ 3 C.D. = 43= 2 + 12 【答案】AB 【解析】 【分析】 化简得到，根据共线得到，即，计算 =( + 123) (2+ 3) + 123 = 0 + 1+ 3 = 2(+ 3) ，依次判断每个选项得到答案. = 2 + 13 【详解】 ， = + 1 2(2+ 3) 1 2( + ) 故，共线，故， =( + 123) (2+ 3) , + 123 = 0 即，故，故. + 1+ 3 = 2(+ 3)1= 1+ 3 = 4 21= 2 + 13 ， 正确；数列是等比数列， 正确； 3= 243 = 13 + 3 ， 错误；，故 错误. = 2 + 13 = 412 123 = 2 + 234 故选：. 【点睛】 本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力. 6.等比数列中，公比为 ，其前 项积为，并且满足.，下列选项中，正确的结论有（ ） 1 1 991001 0 991 1001 0 A.0 1 B.991011 1 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由已知，得，再由得到说明 正确；再由等比数列的性质结合说明 正确；由 99100 1 0 0 99 1 100 1 0 1 100 1 ，而，求得，说明 错误；分别求得，说明 正确. 100= 991000 100 1100 1199 0 2 1 197 1 (198)2 1 ，. 1 1 0 又，且. 99 1 100 1 1100 1 ，故 正确； 0 1 对于 ，即，故 正确； 99101 = 1002 0 100 1 0 99101 199101 1 0 对于 ，由于，而，故有，故 错误； 100= 991000 100 1100 1 ，故 正确. 199= 12199= (1199)(2198)(99101)100 1 不正确的是 . 故选：. 【点睛】 本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 三、填空题(共 10 分) 7.已知数列满足，且 ， 1= 4 + 1= 4 4 () = (12)(22) + (22)(32) + (32)(42) + + (2)( + 12) 若对，都有恒成立，则实数 m 的最小值为_. 3( )() 22 【答案】1 【解析】 【分析】 易知，可得，从而可得数列是等差数列，进而可求出及的表达式， + 12 = 2 4 = 24 1 + 12 = 24 = 1 2 + 1 2 2 2 2 2 2 从而可求出的表达式，然后求出的最小值，令，即可求出实数的范围，从而可求出实数 m 最小值. ()() () 22 【详解】 ， 1= 4 + 1= 4 4 ， + 12 = 2 4 = 24 若存在，使得，则，即，显然与矛盾，. ( 2, ) + 1= 2= 2= 1= = 1= 21= 4 + 1 2 2 ， 1 + 12 = 24 = 1 2 + 1 2 ， 2 + 12 2 2 = 1 2 12 = 2 42 = 1 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列； 2 2 ， 2 2 = 1 + 1 = 2 = 2 ， (2)( + 12) = 2 2 + 1 = 4(1 1 + 1) () = (12)(22) + (22)(32) + (32)(42) + + (2)( + 12) . = 4(11 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 + 1) = 4 + 1 对，都有恒成立，所以， 3( )() 22 () 22 因为时，易知在上是增函数，所以，即， 3( ) () = 4 + 1 = 4 4 + 1()3, + ) ()= (3) = 3 223 0 解得，所以实数的最小值为. 1 31 故答案为：. 1 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的证明及通项公式的求法，考查裂项相消求和法的应用，考查学生的计算求解能力与 推理论证能力，属于难题. 8.设等比数列的前 项和为，若，则_. 5= 210 5+ 415 105 = 【答案】8 【解析】 【分析】 由等比数列片段和性质可得到，成等比数列，根据等比数列性质可推导得到，代入所求式子可整理 51051510 15= 3 45 得到结果. 【详解】 由得：，此时由等比数列性质知：，成等比数列，设其公比 5= 210525= 21025= 2(105)= 551051510 为 ， = 105 5 = 1 2 ， 1510= 1 2(105) = 1 45 15= 10+ 1 45 = 3 45 . 5+ 415 105 = 5+ 35 1 255 = 8 故答案为：. 8 【点睛】 本题考查等比数列片段和性质的应用，属于中档题. 四、解答题(共 36 分) 9.已知等差数列的公差，且，成等比数列，若数列满足 0 1+ 2+ 3= 6,24,8 1 2 + 2 3 + + + 1 = 1 2 3 + 13 2, （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前 项和 【答案】 （1）；（2） = = 2 + 1 4 3 + 13 4 【解析】 【分析】 （1）先由等差数列的性质得到，再根据成等比数列且，求得的值，进而可得等差数列的通项公式； 2= 22,4,8 0 1, （2）先根据已知条件得到，即可得到数列的通项公式，然后结合数列的通项公式的特点，用错位相减 1= 6, + 1 = 3 法进行求和即可 【详解】 （1）因为，所以由等差数列的性质得，即 1+ 2+ 3= 632= 62= 2 因为成等比数列， 2,4,8 所以，即， 28= 2 4 2(2+ 6)=(2+ 2)2 又，所以， 0,2= 2 = 1,1= 1 所以 = （2）因为， 1 2 + 2 3 + + + 1 = 1 2 3 + 13 2 所以当时，所以 = 1 1 2 = 9 2 3 2 = 3 1= 6 当时，由， 2 1 2 + 2 3 + + + 1 = 1 2 3 + 13 2 1 2 + 2 3 + + 1 = 1 2 33 2 得， + 1 = 1 2 3 + 13 2 1 2 3+ 3 2 = 3 所以， = ( + 1)3 所以， = 1+ 2+ + = 2 3 + 3 32+ + ( + 1)3 ， 3= 2 32+ 3 33+ + ( + 1)3 + 1 所以2 = 2 3 + 32+ 33+ + 3( + 1)3 + 1 = 6 + 9(131) 13 ( + 1)3 + 1 ， = 3 2 2 + 1 2 3 + 1 所以 = 2 + 1 4 3 + 13 4 【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的性质、错位相减法求和等，考查运算求解能力和逻辑推理能力数列求和的常用 方法有：（1）公式法，常用于等差、等比数列的求和；（2）错位相减法，常用于通项公式形如的数列的求和，其中数 = 列是等差数列，数列是等比数列；（3）裂项相消法，掌握常见的裂项公式有利于考生快速解题；（4）分组求和法 10.已知数列的前 项和为满足. (1)= 1+ 2(2, ),1= 1 （1）求的通项公式； （2）设，数列的前 n 项和为，证明. = + 1 ( + 2)2 5 16 【答案】 （1）（2）见解析 = 2 【解析】 【分析】 （1）由，整理变形可得，进而得到等差数列的通项公式，即可得答案； (1)= 1+ 2(2, ) 1 1 = 1 （2）求出，再利用裂项相消法求和，即可证明不等式. = 1 4 1 2 ? 1 ( + 2)2 【详解】 （1）由已知， (1)= 1+ 2(2, ) 整理变形可得. (1)1= 2, 1 1 = 1 数列是首项，公差的等差数列， 1 1 = 1= 1 = 1 . = 1 + (1) 1 = . = 2 （2）由（1）可得 = + 1 ( + 2)2 = + 1 2 ( + 2)2 = 1 4 1 2 ? 1 ( + 2)2 当时， = 1 1= 1 4(1 1 32) = 2 9 5 16 当时， 2 = 1 4(1 1 32) + 1 4( 1 22 1 42) + 1 4( 1 32 1 52) + + 1 4 1 (1)2 1 ( + 1)2 + 1 4 1 2 1 ( + 2)2 = 1 41 + 1 22 1 ( + 1)2 1 ( + 2)2 . = 5 16 1 4 1 ( + 1)2 + 1 ( + 2)2 5 16 . 5 16 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式、裂项相消法求和证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算 求解能力，求解时注意临差法的应用. 11.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（） ()= ( + )2 1 2 2 ()=3(0， + ) （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项和 = 【答案】 （1） ；（2） . = 2 3 = 1 2， = 4 3 3 + 1 2 ， = 4 2 3 2， = 4 1 0， = 4 【解析】 【分析】 （1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得到数列是周期为 4 的数列，通过观察列举得到和的规律，进而 得到结果. 【详解】 （1） , ()= 2 2 = 2 解得， , ()= 2 =3 2 = + 3 = 2 + 6 依题意，. = 6 + 2( 1) = 2 3 （2）是周期的数列 , = = ( 2 3) = 2 2 = 4 ， , 1= 1 2 2= 3 2 3= 1 2 4= 3 2 ， , 1= 1 2 2= 3 + 1 2 3= 3 2 4= 0 从而， 5= 4+ 5= 1= 1 2 6= 5+ 6= 1+ 2= 2= 3 + 1 2 所以是周期为 4 的数列, （）. = 1 2， = 4 3, 3 + 1 2 ， = 4 2, 3 2， = 4 1, 0， = 4. 【点睛】 这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和.