（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业06：导数研究函数单调性A卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 06导数研究函数单调性 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知 上可导函数的图象如图，则不等式的解集是（ ） ()() 0 A.B. (2,0)(2, + )(,2)(2, + ) C.D. (2,1)(1,2)(,1)(1, + ) 2.函数的大致图象为（ ） = 2 2 A.B.C.D. 3.若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则 的取值范围是（ ） ()= + , 0 2 + 31, 0 (, + ) () A.B.C.D. (0, 1 3(0,1 ( 1 3,1 ( 1 3, + ) 4.已知函数为偶函数，且时，若，则 ， ， 的大小关系为( ) () 0 ()= + 1 = (21.3) = (40.7) = (31 3 2) A.B. C.D. 二、多选题(共 10 分) 5.（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） (0,1) A.B.C.D. = 23+ 4 = + () = 2| = 22 6.若函数在区间上不是单调函数，则实数 的取值范围可以是（ ） () = 312(1, + 1) A.B.C.D. 3 11 32 0 （1）若在定义域内恒成立，求实数 的取值范围； () （2）设且在上为单调函数，求实数 的取值范围. () = () + ()(0, 暑假作业 06导数研究函数单调性 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知 上可导函数的图象如图，则不等式的解集是（ ） ()() 0 A.B. (2,0)(2, + )(,2)(2, + ) C.D. (2,1)(1,2)(,1)(1, + ) 【答案】D 【解析】 【分析】 则函数单调递增，所以从图中确定单调递增区间即可得解. () 0 【详解】 由图可知在上单调递增，所以的解集为. ()(,1),(1, + )() 0 (,1)(1, + ) 故选：D 【点睛】 本题考查导数的符号与函数单调性的关系，属于基础题. 2.函数的大致图象为（ ） = 2 2 A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由时，可排除 C；求导后得到函数的单调性，即可排除 B、D；即可得解. = 2 2 0 【详解】 对于任意，故排除 ； = 2 2 0 求导得， = 2+ 2 2 = ( + 2) 2 可得在区间，上， 单调递增；在区间上， 单调递减，故排除 B、D； (,2)(0, + ) 0(2,0) 0 2 + 31, 0 (, + ) () A.B.C.D. (0, 1 3(0,1 ( 1 3,1 ( 1 3, + ) 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数,判断出函数在时的单调性,进而可以判断整个函数的单调性,这样利用分段函数的单调性的性质和存在负的零点,这 0 () 样可以选出正确答案. 【详解】 当时, ,所以函数在时单调递增,由题意可知整个函数在全体实数集上也是单调递增,因 0 ()= + ()= 1 0 0 此有：,又因为存在负的零点,因此有,综上所述： 的取值范围是. 2 0 31 1 + 0 0 1 3 ( 1 3,1 故选 C 【点睛】 本题考查了已知分段函数的单调性和零点求参数问题,考查了数学运算能力. 4.已知函数为偶函数，且时，若，则 ， ， 的大小关系为( ) () 0 ()= + 1 = (21.3) = (40.7) = (31 3 2) A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数求出函数的单调区间，再根据函数为偶函数可得，利用指数、对数的单调性比较出 = (31 3 2)= (38) ，结合函数的单调性即可比较出大小. 1 38 2 21.3 0) 设，则， ()= 1 1( 0) ()= 1 2 1 0 所以在上单调递减. ()(0, + ) 由知，当时，所以； (1)= 0 0 0() 0 当时，所以. 1 () 0() 0 综上，的单调递增区间是，单调递减区间是. ()(0,1)(1, + ) 因为函数为偶函数，所以， () = (31 3 2)= (332)= (38) 又，所以， 1 38 2 21.3 21.4= 40.7 0 = 23+ 4(0,1) 对于选项 B，所以在上单调递增； = 1 0 = + ()(0,1) 对于选项 D，所以在上单调递增. = 22 + 22 0 = 22(0,1) 故选：ABD 【点睛】 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 6.若函数在区间上不是单调函数，则实数 的取值范围可以是（ ） () = 312(1, + 1) A.B.C.D. 3 11 32 0 2 2 在上单增，在上单减. () = 312(,2),(2, + )(2,2) 所以函数在取得极大值，在取得极小值 = 2 = 2 因为函数在区间上不是单调函数 () = 312(1, + 1) 所以或 1 2 + 11 2 + 1 解得或 3 11 3 故选：AB. 【点睛】 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不 仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况得到函数的最值 三、填空题(共 10 分) 7.若三次函数的导函数的图象如图所示，则实数 的值是_ ()= 3 33 2 2+ ( + 1) + 1 () 【答案】1 【解析】 【分析】 x=1,x=2 是函数 f（x）导函数对应的方程的两个根，代入即可求解 a 的值. 【详解】 因为， () = 3 33 2 2+ ( + 1) + 1 所以. () = 2 3 + ( + 1) 方程的两根是 2 3 + ( + 1) = 01,2. 所以解得 1 2 = + 1 , = 1. 【点睛】 本题考查求解导数、二次函数图像与对应的二次方程根的关系，属于基础题；解题中关键有两点：一是准确求解函数的导函数， 二是准确理解二次函数和二次方程的关系，准确进行转化，构造方程. 8.已知函数，若函数在区间上不单调，则实数 的取值范围是_ () = + 2, ()(0,1) 【答案】(, 1 2) 【解析】 【分析】 先求导，函数在区间上不单调等价于在区间有解，再构造函数，再求出函数 ()(0,1) () = 1 + 2 (0,1) () = 1 22 (0,1) 的值域即可得解. () 【详解】 解：由函数， () = + 2 则， () = 1 + 2 函数在区间上不单调， ()(0,1) 则在区间有解， () = 1 + 2 (0,1) 即在区间有解， = 1 22(0,1) 又在区间为增函数， () = 1 22(0,1) 则， () (1) = 1 2 即， 1 2 即实数 的取值范围是， (, 1 2) 故答案为：. (, 1 2) 【点睛】 本题考查了导数的综合应用，重点考查了方程有解问题，属中档题. 四、解答题(共 34 分) 9.已知函数，a 为实数. ()= 1 3 31 2 2+ (1) + 1 （1）当时，讨论的单调性； 2 () （2）若在区间上是减函数，求 a 的取值范围. ()1,4 【答案】 （1）见解析（2） 5 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导函数，对和 进行比较即可得到的单调性； ()() 11 () （2）根据 的取值范围，分和进行求解，当时分离出 ，根据的单调性，即可得出 的取值范围. = 11 41 1 2 () 0 1 () 0 1 2 ()(,1)(1, + )(1,1) （2）由已知得在区间上恒成立. ()= 2 + 1 01,4 在区间上恒成立. (1) 211,4 当时，. = 1 当时，. 1 4 + 1 而在上单调递增， 时，则. = + 1 (1,4 = 4 = 5 5 综上. 5 【点睛】 本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将 分离是解题的关键，考查学生的分析能 力，和计算能力，是基础题. 10.已知函数 ()= 2+ （1）当时，求函数的单调区间和极值； = 2 () （2）若在上是单调增函数，求实数 的取值范围 ()= ()+ 2 1, + ) 【答案】 （1）单调递减区间是、单调递增区间是，极小值是 1没有极大值.（2） (0,1)(1, + )0, + ) 【解析】 【分析】 （1）函数的定义域为， ()(0, + ) 当时，由此利用导数性质能求出函数的单调区间和极值 = 2 ()= 22 = 2( + 1)(1) () （2）由得，令，则，由此利用导数性质能求出 的取值范围 ()= 2+ + 2 ()= 2 + 2 2 ()= 2 2 2 ()= 2 24 【详解】 解：（1）易知，函数的定义域为， ()(0, + ) 当时， = 2 ()= 22 = 2( + 1)(1) 当 变化时，和的值的变化情况如下表： ()() (0,1) 1 (1, + ) () 0 () 递减极小值递增 由上表可知， 函数的单调递减区间是、单调递增区间是，极小值是,没有极大值. ()(0,1)(1, + )(1)= 1 （2）由，得 ()= 2+ + 2 ()= 2 + 2 2 若函数在上的单调增函数，则在上恒成立， ()1, + )() 01, + ) 即不等式在上恒成立 2 2 2 + 0 1, + 也即在上恒成立 2 2 2 1, + ) 令，则 ()= 2 2 2 ()= 2 24 当时，在上为减函数， 1, + ) ()= 2 24 0 （1）若在定义域内恒成立，求实数 的取值范围； () （2）设且在上为单调函数，求实数 的取值范围. () = () + ()(0, 【答案】 （1）；（2） . (0,1(0, 1 【解析】 【分析】 （1）根据题意构造函数，求导，求出函数的最值，最后求出实数 的取值范围； ()= + 1()= + 1 （2）由在上为单调函数，求导数，判断导函数的单调性以及余弦函数的有界性进行求解即可. ()= + (0, 【详解】 （1）依题意在定义域上恒成立， ()= + 1 (0, + ) 构造在定义域上恒成立， ()= + 1 0(0, + ) 只需. () 0 而 ()=1 1 = 1 令得 ()= 0 = 1 所以在为增函数，在为减函数， ()(0,1)(1, + ) ()= (1)= 0 得. (0,1 （2）由在上为单调函数， ()= + (0, 而其中 ()= 1 + (0, 在为减函数，. () (0, 1,1) 在恒成立 () 0 (0, 得. ()= 1 0 1 故 . (0,1 【点睛】 本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了已知函数的单调性利用函数导数求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.