（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业05：—导数几何意义与运算B卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 05导数几何意义与运算 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知函数为偶函数，当 x0 时，则曲线在 x1 处的切线方程为（ ） ()() = 2() = () A.x-y0B.x-y-20C.x+y-20D.3x-y-20 2.已知函数的图象在点处的切线 与直线平行，若数列的前 项和为，则的值为（ () = 2(1,(1)3 + 2 = 0 1 () 2019 ） A.B.C.D. 2019 2020 2018 2019 2017 2018 2018 2017 3.若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ） (1,) : = A.B.C.D. ( 3 2, + ) ( 1 ,0)(0, + ) ( 3 2, 1 ) 4.已知直线与函数的图象相切，且有两个不同的切点，则实数 的值为（ ） = 2 + () = 2, 0 + , 0 A.B.2C.D. 2222 + 2 二、多选题(共 10 分) 5.若直线 与曲线 满足下列两个条件：直线 在点处与曲线 相切；曲线 在点 附近位于直线 的两侧，则称直线 在 (0,0) 点 处“切过”曲线 .则下列结论正确的是（ ） A.直线在点处“切过”曲线 : = 0(0,0): = 3 B.直线在点处“切过”曲线 : = 1(1,0): = C.直线在点处“切过”曲线 : = (0,0): = D.直线在点处“切过”曲线 : = (0,0): = 6.已知，记，则（ ） 111+ 2 = 02+ 22422 = 0 =(12)2+(12)2 A.的最小值为B.当最小时， 2 5 5 2= 12 5 C.的最小值为D.当最小时， 4 5 2= 6 5 三、填空题(共 10 分) 7.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_. (2)2+ (1)2 2 0, 8.已知直线 l 与曲线（e 为自然对数的底数）和曲线都相切，则直线 l 的斜率为_ = 2 44 = 四、解答题(共 36 分) 9.已知函数 () = 2( ) （）讨论函数的单调性： () （）若，直线为函数图象的一条切线，求证： 0 = ()()(1) 1 10.已知函数. ()= + 1 1 （1）求曲线在点处的切线方程； = ()(0,(0) （2）判断函数的零点的个数，并说明理由； () （3）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线. 0 () = (0, 0) = 11.已知函数， ()= 1 ()= + （）讨论单调区间； ()= ()() （）若直线是函数图象的切线，求的最小值 ()= + ()= 1 暑假作业 05导数几何意义与运算 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知函数为偶函数，当 x0 时，则曲线在 x1 处的切线方程为（ ） ()() = 2() = () A.x-y0B.x-y-20C.x+y-20D.3x-y-20 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出当时，的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案. 0() 【详解】 当时，又函数为偶函数，所以， 0 0() = 2()() = 2 ，所以，故切线方程为，即. (1) = 1 () = 21 (1) = 11 = 1 = 故选：A 【点睛】 本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 2.已知函数的图象在点处的切线 与直线平行，若数列的前 项和为，则的值为（ () = 2(1,(1)3 + 2 = 0 1 () 2019 ） A.B.C.D. 2019 2020 2018 2019 2017 2018 2018 2017 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数的几何意义，可求出直线 的斜率，进而由 与直线平行，可求出 ，从而可得到，进而求出 3 + 2 = 0 1 () = 1 1 + 1 即可. 2019 【详解】 由题意，则，所以直线 的斜率为， () = 2(1) = 22 又直线的斜率为 3，所以，解得. 3 + 2 = 02 = 3 = 1 则，故， () = 2+ 1 () = 1 2+ = 1 1 + 1 所以. 2019= (11 2) + ( 1 2 1 3) + ( 1 3 1 4) + + ( 1 2019 1 2020) = 1 1 2020 = 2019 2020 故选：A. 【点睛】 本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前 项和，属于中档题. 3.若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ） (1,) : = A.B.C.D. ( 3 2, + ) ( 1 ,0)(0, + ) ( 3 2, 1 ) 【答案】D 【解析】 【分析】 求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程 【详解】 设切点为，对曲线曲线求导，得，即切线的斜率 (0,0 0) : = = + =(1 + ) =(1 + 0) 0 所以过点 的切线方程为， =(0+ 1) 0( 0)+ 0 0 代入点 坐标化简为， =(0201) 0 即这个方程有三个不等根即可，令， ()=(21) 求导得到， ()=(21)+(21)=(1)( + 2) 则函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， (,2)(2,1)(1, + ) 若要有三个不等根即，所以的取值范围是 (2) 0 A.B.2C.D. 2222 + 2 【答案】D 【解析】 【分析】 先由题意得出直线与分段函数的两部分图象均相切，再利用方程根的判别式及导数的几何意义求解 【详解】 由題意，知直线与函数在，上的图象均相切， = 2 + ()(,0(0, + ) 由直线与的图象相切得， = 2 + = 2 联立方程组，整理得， = 2 = 2 + 2+ 2 + = 0 由，解得，此时切点为，直线方程为， = 44 = 0 = 1(1,1) = 2 + 1 设直线与的图象切于点， = 2 + 1 = + (0,0) 由函数，则，所以，所以， = + = 1 1 0 = 2 0= 1 2 所以点 的坐标为， ( 1 2,2) 因为点 在直线上，所以，解得 = 2 + 1 2 = 2 1 2 + 1 = 2 + 2 故选：D 【点睛】 本题主要考查了分段函数与导数的几何意义，考查考生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力，运算求解能力 二、多选题(共 10 分) 5.若直线 与曲线 满足下列两个条件：直线 在点处与曲线 相切；曲线 在点 附近位于直线 的两侧，则称直线 在 (0,0) 点 处“切过”曲线 .则下列结论正确的是（ ） A.直线在点处“切过”曲线 : = 0(0,0): = 3 B.直线在点处“切过”曲线 : = 1(1,0): = C.直线在点处“切过”曲线 : = (0,0): = D.直线在点处“切过”曲线 : = (0,0): = 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可. 【详解】 A 项,因为,当时, = 32 = 0= 0 所以是曲线在点处的切线. : = 0: = 3(0,0) 当时,；当时, 0 0 0 所以曲线 在点 附近位于直线 的两侧,结论正确； B 项,当时,在处的切线为. = 1 = 1= 1(1,0): = 1 令,则, () = 1 () = 11 = 1 ( 0) 当时,；当时, 1() 00 1() 0 C 项,当时,在处的切线为, = = 0= 1(0,0): = 由正弦函数图像可知,曲线 在点 附近位于直线 的两侧,结论正确； D 项,当时,在处的切线为, = 1 2 = 0= 1(0,0): = 由正切函数图像可知,曲线 在点 附近位于直线 的两侧,结论正确. 故选：ACD. 【点睛】 本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型. 6.已知，记，则（ ） 111+ 2 = 02+ 22422 = 0 =(12)2+(12)2 A.的最小值为B.当最小时， 2 5 5 2= 12 5 C.的最小值为D.当最小时， 4 5 2= 6 5 【答案】BC 【解析】 【分析】 将视为曲线上的点到直线上的点的距离的平方，利用曲线在点 = + 2 (1,1) + 2422 = 0 (2,2) = + 2 上的切线平行于直线可求得点的坐标，利用点到直线的距离公式可求得的最小值，联立过点 (1,1) + 2422 = 0 (1,1) 且与直线垂直的直线与直线的方程，可求得的值，综合可得出结论. (1,1) + 2422 = 0 + 2422 = 0 2 【详解】 由，得：， 111+ 2 = 01= 11+ 2 的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方， (12)2+(12)2 = + 2 + 2422 = 0 由得：， = + 2 = 1 1 与直线平行的直线的斜率为， + 2422 = 0 1 2 则令，解得：，切点坐标为， 1 1 = 1 2 = 2(2,2) 到直线的距离. (2,2) + 2422 = 0 = |2 + 22422| 1 + 4 = 2 5 5 即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为. = + 2 + 2422 = 0 2 5 5 的最小值为， =(12)2+(12)2 2= 4 5 过与垂直的直线为，即. (2,2) + 2422 = 02 = 2(2)24 + 2 = 0 由，解得：，即当最小时，. + 2422 = 0 24 + 2 = 0 = 12 5 2= 12 5 故选：BC. 【点睛】 本题考查曲线上一点到直线距离最值的计算，考查导数几何意义的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 三、填空题(共 10 分) 7.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_. (2)2+ (1)2 2 0, 【答案】1,2 【解析】 【分析】 设，可得，又 ， 分别在曲线及直线 ：上，计算可得在点 (,)(2,1)|2 2() = = + 1() 处的切线与直线 平行，求出点 到直线 的距离 ，即最小值为 ，进而解不等式即可. (1,0)|2 2 【详解】 由题意，设，则，即， (,)(2,1)|2= (2)2+ (1)2|2 2 又 ， 分别在曲线及直线 ：上，且， () = = + 1 () = 1 令，解得，且，所以在点处的切线与直线 平行， 1 = 1 = 1(1) = 0()(1,0) 又点 到直线 的距离为，所以最小值为， = |1 + 1| 2 =2 |2 所以，解得. 2 21 2 故答案为：. 1,2 【点睛】 本题考查导数的几何意义的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 8.已知直线 l 与曲线（e 为自然对数的底数）和曲线都相切，则直线 l 的斜率为_ = 2 44 = 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 设直线 与两曲线的切点分别为，由题意结合导数的几何意义可得直线 的方程可表示为和 (1, 2 1 44) (2,2) = 1 24 + 2 1 44 ，进而可得，即可得解. = 1 2 + 21 1 24 = 1 2 2 1 44 = 21 【详解】 对求导得，对求导得， = 2 44 = 24 = = 1 设直线 与两曲线的切点分别为， (1, 2 1 44) (2,2) 则切线 的方程可表示为； = 1 24(1) 2 1 44 = 1 24 + 2 1 44 切线 的方程也可表示为， = 1 2(2) + 2= 1 2 + 21 所以， 1 24 = 1 2 2 1 44 = 21 消去整理得即， 2 2 1 44 = (2 4 1)1 2 1 44 + (1)= 2 + 3 令， ()= 2 44 + ()( 0 = ()()(1) 1 【答案】 （）分类讨论，详见解析；（）详见解析 【解析】 【分析】 （）求导得，对 分类讨论，根据导数的符号可得函数的单调性； ()= 22 （）设直线与函数的图象相切于点，根据导数的几何意义可求得， = () = () (0,(0) ()=(20 0)(0) + 2 00 令，求导可得，即. ()= 2+ 2 + () (1)= 1(1) 1 【详解】 （）由题意知，函数的定义域为， ()(0, + ) ()= 22 当时，函数在上单调递增 0 () 0()(0, + ) 当时，令，解得或（舍） 0 ()= 0 = 2 2 = 2 2 当时，；当时， (0, 2 2) () 0 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增 0 ()(0, 2 2) ( 2 2 , + ) （）设直线与函数的图象相切于点， = () = () (0,(0) 则在点 P 处的切线方程为， = () (2 00)=(20 0)(0) 所以， ()=(20 0)(0) + 2 00 (1)=(20 0)(10) + 2 00= 2 0+ 20 00 + 令 ()= 2+ 2 + 则 ()= 2 + 2 + 2 = (1)(22) 2 = (1)(22+ ) 2 因为，所以令，可得 0 ()= 0 = 1 当时，当时， (0,1)() 0 (1, + )() 0 所以在和上均单调递增. ()(,1)(1, + ) 因为， (0) = 2 0 (2) = 21 3 0 (5 4) = 5 49 0 0() 0 求导后求得的最小值即可得解. ()= + 21() 【详解】 （）由题意， ()= ()()= 1 + 则， ()= 1 + 1 2 + = 2+ + 1 2 令， = 2+ + 1 当时，函数在上单调递增； = 0 ()= + 1 2 0 ()(0, + ) 当时， 0 = 14 若即，即，函数在上单调递增； = 14 0 1 4 0 () 0()(0, + ) 若即，令可得， = 14 0 0 1 4 = 0 1,2= 1 14 2 0()(0, + ) 当时， 0 令可得， = 0 1= 1 14 2 02= 1 +14 2 0() 当时，函数单调递减. ( 1 14 2 , + ) () 0() 综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为 0 ()(0, + ) 0 = + 21 令，则， ()= + 21 ()= 1 + 21 = (2 + 1)(1) 所以当时，单调递减； (0,1)() 0() 所以即的最小值为. = () (1)= 1 1 【点睛】 本题考查了利用导数的确定函数的单调性和最值，考查了导数几何意义的应用，属于中档题.